SLPR_020 (Случайные процессы)

Следствие 1 !!огкольк1! Р(зпрь>, 1я — 1~ ~ )с) = Р(1 ) 1п — 4~ ~ )е) ~( ~~~ ! (~4г, — ~ь ~ )с), я)п гпо яыполявпкг. для кагясдого и > 0 услогия ! ((~а ~! )~ с) < сс я=> 13.3) дог:тагпоиио длл сходилгосп>и ~„— '-Ф ~. Лемма 3.1 Бо!>слл-Каитслли. а) Если 2.'„~ Р)Л„) ( ос. >по Р111п>„>„„- 4„) = О. !>) Если 2 ~ > !'(А„) = ос и события Ад, Аз,... нвзг>виси>ам, то !'11йпо, -.4о) = 1.

Отметим. что 11Ш Л. = (~ Д Л-: 11Ш Л- = Ц Д Л о=>я=о л=! Ь=о у!оказагельство. а) сг Ог О;-. ! ( ~;~„, Л„) = ! (Д Д Л„) = 1Ъ ! (Д Ля) < 1п ~ ~Р(Ль). ~=1 я=п я=о откуда и следует утвср>кдепис а). Ь) Если события А>, Ая,... независимьь то таков>ями же будут и события 4>..4>, . Поэтому для любого К > и ьч ! )П.4я) я=о П Р(А) откуда нетрудно пыпсстп, что П Р)А). ь=о ,Палее хг гз 1п(1+.г) = г.

— — '+ —" — ..., .~х~ < 1:, 2 3 гз О>11 —,г) — г, — — — — — .... О ( х < 1: 2 3 и В связи г условием (3.3) уместно сейчас отмстить, что положенные при его выводе рассуждения»озполя>г>т установи>ь следу>г>ший простой. »о важный результат. явля>г>шийся основн>ям средством прн исследовании свойств, вьтпояняюшиися с вероятность>о единипа. Пусть Л>. Ля,... - некоторая последовательность событий из У. Отсюда 1п ( П Р ( Лл ) ) = з 1п (1 — Р( Ль ) ) < — ~~г Р( Ль ) = — ж. у=я я=ь Ь=ь Следовательно, для любого и > 1 Р(Л.АЛ ) =О и, значит, Р( 1пп Л„) = 1. .! !емма доказана. Следствие 2 !1успгь (, „) > — последоьотехп ность полоэкггпзвльнггх чисел тонях, чгпо ь)1 , ~.

О при и — Г ж. Тоади. если 2 „' г Р(~~и — С! > =) < ос. гио С„ь'ю С. Доказательство. Н самом деле, пусть Аь = (ш: (~е(иг) — ~(иг)) > -„). Оогда по.лемме Борсггя-Каггтслгги Р(1!ггг„~ь, Лв) = О. Л это означает. что множество таких ш Е й, для которых сушсствуст Л' = Лг(ш), что для любого п > Лг(ш) верно неравенство )~„(иг)— ((ш)/ < - имеет меру 1.

Но нь ~, О, поэтому сь(ш) — + с(ю) для почти всех ш е й. П Теорема 3.2 . ХХмегот .нсстгго слсдугогцие илгггягикицииг ~ь — "'4 ~ (3.4) (3.5) ~, — г~., р>О., сь — г .. с (3.6) Доказательство.. Утвсрждгпис (3.4) следует глз критерия (3.1) теоремы 3.1. Утверждение (3.5) следует нз из неравенства '1ебьппена.,'!ля доказательства (331) пусть г' (х) < с, с > О и Лг таково, что Р()~( > Лг) < гь. Выберем 5 > О таким, чтобы для всех )х) < Лг н /х — у! < 5 было выполпгпо неравенство /Г(х) — Г(гу) < —;,. Тогда Л1(У(Ро) — У(Р) = ЛХ(У(~„) - !(~): (~о - ~! < 5, (~! < Л.)+ ЛТГг ! (Р,) — !'(О): !5„— Р! < 5, !Р! > Лг г+ О~К.)-ЯВ К.-~ >5) < < — + 2с — + 2сР( ~„— ~! > 5) = + 2сР(/~о — ~ > 5).

2 4с Но Р((~„— ~( > гг) — ь О прн и, — ~ ос, поэтому для достаточно болышгх п получаем .'1г'/г'ф,) — Я)/ < 2н, что и доказьгвает утверждение (3.6). Теорема доказана. 3.1 Задачи 1. Пусть [й, У, Хг) - вероятностное пространство, где [11 = [О. 1]. У = И[[О. 1]) — о-алгебра борелевскях множеств [О, 1], 1' — равномерная мера [мера „'1ебега) на [О, 1], н пусть 1, если ю Е О, еслимф а=1,2, ...: 1=1,2.....п. Проверить, какие виды сходимостп присутствуют, а какие нет для последовательности с(') с(') с(я) с(1) с(я) '1 ''я '«я 'ьа ''3 2. ()усть снова [й,:Г, г) — веронтностное пространство, где [й = [0,1], У' = Х1[[0,1]) — и-алгебра борелевских множеств [0,1], Р— равномерная мера [мера Лебега) на [О, 1], и пусть 1 я".

еслиО«" —: и 1 О. если — ( ю ( 1. и Проверитгн какие виды сходимости присутствукяг, а какие пет для последовательности 6:ся; 3. Пусть [~„,)„>1 — последовательность независимых случаиных величин. при атом 1. с вероятностью р.„: ~ив О. с вероятностью 1 — р„. Показать. что ~„— ~ 0 Մ— '-) 0 р„— ~0, и — ~со: б) р„-+О, и.— ~ос: '~ р, <ос, и=3 21екпяя 4 Теорема З.З (критерий 1йогаи сходиноспт почти наьерное).,,г!ля тоегг чгтобьч погледооательность случайных ьеличин (~к)„>д была сходли!гйгл с оеролтностью гдиница (к некоторой глучайиы ьгличине г). необходимо и догтаточио. чтобы она быта фундалгситальиа с ьеролтностюо единица.

Доказательство. 1Ь обходиляость. Если й„— '-4 й, то ' рь>,й>,~б -6~ < ' рь>. ~ь — 6+а р~>. бь -6: откуда вытекает необходимость. !!остаточность, !!усть теперь последовательность Д„)„>, фундаментальная вероятноп>~ стью едипппа. Обозначим П = 1ю: 1с„(ю))„>~ пе фундаментальна). Положим 1пп с„(го), при ш Е Й ~ Л: ~(,,) П-+СС ю ! О, при сх Е й. Тогда й., — -4 ~.

Тсорг ма доказана. Теорема 3.4 . Рели аослгдоьатсльность (~„)„>, у1ундагиснтальна (ггходится) по г>сролтяости, то из иге жоакино изьлечь подпоглсдоьагпельиость Д„ь), у1угдагиентальную (сходя7цуюся) с бероятногть гдиюп!6, Доказательгтпгь Пусть последовательность Д.,) фундаментальна по вероятности. Покажем, что из нее можно извлечь подпоследовательностгч сходяшуюся с вероятностью едншяпа. Положим п~ — — Е Далее, пусть пь равно наименьшему п > пь ы для которого прп псах л > и, 1 > и выполнено неравенство Р(!цг — ц,! > 2 ь) < 2 Тогда ~> Р(~~„к~,— ~т~>2 ~)< ~~ 2 ь<эс.

ь=1 ь=! По лемме Бореля — Кантелли Р1г~(„я~, — ~„„~ > 2 и длЯ бесконечного количества номеРов к.) = О. Поэтому с вероятпостшо едипипа 14 11усть Р = (ю: 2 ~. ~~и,~, — ~,„~ = ос). Тогда, если положить ~т(~)+ ,'~ (ф„,„— ~„), прп ю Е Й~Р: 6)= О. приюеР: то получим ст ™+ с. Если же исходная последовательность сходится по вероятности, то, как следует из слсдуюшей теоремы, опа и фундаментальна по вероятности и, следовательно. зтот случай сводится к уже разобранному. Оеорема доказана. П Теорема 3.5 (критерий Конт сходисиости по асроятяости). Д~'ля тово чптбы последоьапгельность случайных ье,гичин ((,)и>д была сходяи1ейоя ао вероятносппь необходиио и и>~ достаточно.

чтобы она была фупда.иеятальна по вероятности. Р Доказательство. Если ~, — + ~, то 10~- —:. ~ > -) <10Ки — а > —.,)+10~.„-~~ > —.,): и. следовательно, последовательность Д„) >, фундаментальна по вероятности. ь>1 Обратно. Если последовательность (~„)„> фундаментальна по вероятности, то тогда, ь)~1 согласно теореме 3. 1, найдутся подпоследовательность (~„,) и случайная величина ~ такие, что ~„ь — ы ~с. По тогда РОЙ -б > ) < Р0б„— ~„„~ > -') + Р0~„, — ~~ > -'), Р откуда и ел~ дуст си — г с. Теорема доказана.

В связи со сходимостью в среднем порядка р > 0 сделаем прежде всего несколько замечаний о пространствах . Будем обозначать через Ег = ь" (О, У, Р) множество случайных величин ( = ~(ш), для которых Л~Х(~!" = ( )~ "ЙР < зс. Пусть р > 1. Положим и К~я=( а')' Имеем: 1. !К1~, > О. 2. 'Ос~ )и = (с (),~ )„, с в постоиннаи. З. К+ О~~„< ~~ ~, + ~~О~~, Что еше нужно для нормы! 4.~К~! =О ~ ~=0.

Последнее свойство пе выполнено. Однако если под ЛЯ понимать множество 1пространство), элементами которого являются пс случайпыс величины ~ с ЛХ(~!", а классы эквивалсптллых случайных вели лип, то 'О.'Ор стаповллтся нормой, а ХУ вЂ” ллорьлллровапллым линейным пространством. В функпиональном анализе доказлявается, что пространство а У,л'. 1р ) 11 является полным. Сформулируем этот результат на вероятностном языке.

Теорема 3.6 (критерий Коти сходи,иосгпи ь срсднсли порядка р > Ц, Для того стобы последоьптельность случспЪных ье,тчин (с,„) > из Ли схос1плась ь среднеи порядка, р ) 1 к случайной ьсьличинс ~, иринадллсзкаилей ьг, чсобходилло и дослиаточно, чтобы зта послсдооатсльность была улундаллснтальной о срсднсси порядка р.

ья Доказательство. Пеобходимость. Пусть л, — — ь сз Тогда Л1)~,,„— ~я,!" ~ (1И(~л — ~) +,И(~ы —,)" — ь О при и, пь — + Достаточность. Пусть Од„— ~„,)(р — ь О при п. т — ь ос. Построим подпослеватсльпость (дт,) такУло, что д„—:-1 д, где ~ — некотоРаЯ слУчайнаЯ величина с лИ ~(" < ос, т.е.

Одйе ( ос. Положим п1 = 1 и пусть иь равно наименьшему и > пя ы для которого прп всех и > п и й ) и тяполпспо перавепс гпо Обозначим Аь = ( .: (~„ьл, — д„! > 2 ~). '1'огда в силу неравенства '1ебьппева 11И с ~ 2-ля Р(с1.) « ' "'' "'' = 2 пы. Отсюда следует, что сутествует такая случайная величина й, что ~лп — -+ ~. Выведем отсюда, что Од„— ду„— + О при п ь ос. С этой пелью зафиксируем " > О и выберем Л = Л'ф таким, что йс — с„'Ор < е для всех т ) Л. и ) Л".

1огда в силу леммы Фату лИ(~ — ( — И( Ьп (~ — д ) ) — И(йт (~ — д ( ) < ~1т„л~м~~с„— ьс,„к~я = Ощ !К,„— 6п р < г, Следовательно, Лй(~,, — ~(г — + О пРи п — ь ос. !(ален, в силУ М(~(л < ЛХ(~ — ~.„!и + Лй(~л,)п иллеем ЛХ),~(Я < сеь Теорема доказана. С1 3.2 Задачи р р 1. Показать, что. если д„— ь д и в то же время ~„— ь пд то случайные величины д и у эквивалентны ( 1'(с, у= л1) = О ).

л 2. Показать, что, если ~„— ь С, где С вЂ” некоторая постоянная, то имеет место и сходпмость по вероятности: н, . Р ~.— -+С с==ь с,— ьС. 3, Иривести пример случайной подпоследовательности ~~.~а,..., сходяшейся к некоторой случайной величине ~ по вероятности, по пе сходяшсйся пи с вероятностью 1, пи в среднем порядка р при л1обом р > О. 17 Лекпия 0 4 Марковские цепи 4.1 Определения и основные свойства Определение 12. Случайный пропесс С» называется ларковскилб если для любого 4 из Б(й) РЯ~ Е А ~б = хп ...