4 часть (Ефимов А.В., Поспелов А.С. - Сборник задач по математике для втузов), страница 8

Помешан начало координат в одну из вершин указанного квадрата, можем записать еЪ множество элементарных исходов в виде Й = = ((х у) (О < х у < а) Множество ыл соответствующее событию А, имеет вид ыл = = ((х, у) ~г < х, у < а -г'), т.е. является квадратом со стороной а — 2г. По формуле геометрической вероятности (5) находим Рис. 4 5 (ы4) (а — 2г) 5 (й) аг Множество ыв, имеющее более сложную структуру, изображено на рис.

4. Так как 5(ыв) = аг — 4гг, то, снова используя формулу (5), находим о — г Р(В) = =1 — 4 —. ~> 5 (ыв) г 5 (Й) аг 18.139. Внутри квадрата с вершинами (О, 0), (1, 0), (1, 1) и (О, 1) наудачу выбирается точка М (х, у). Найти вероятность события А = ((х, у) ! хг + уг < аг, а ) О). 3 1. Случайные события 18.140 (продолжение). В условиях предыдущей задачи найти вероятность события В = ((х, у) (ху < а, а > О). 18.141 (продолжение). В условиях задачи 18.139 найти вероятности событий: С = ((х, у)( шах(х, у) < а, а > 0), П = = ((х, у)( ппп (х, у) < а, 0 < а < 1). 18.142. На перекрестке установлен автоматический светофор, в котором одну минуту горит зеленый свет и полминуты — красный, затем снова одну минуту — зеленый и полминуты — красный и т.

д. В случайный момент времени к перекрестку подъезжает автомобиль. Какова вероятность того, что он проедет перекресток без остановки? 18.143. Какова вероятность того, что сумма трех наудачу взятых отрезков, длина каждого из которых не превосходит 1, будет больше 1? 18.144. Луч локатора перемещается в горизонтальной плоскости с постоянной угловой скоростью. Какова вероятность того, что пель будет обнаружена в угловом секторе а радиан, если появление пели по любому направлению одинаково возможно? 18.145. Какова вероятность, не целясь, попасть бесконечно малой пулей в прутья квадратной решетки, если толщина прутьев равна а, а расстояние между их осями равно 1 (1 > а)? 18.146.

На поверхности шара берут наудачу две точки и соединяют меньшей дугой большого круга. Найти вероятность того, что дуга не превзойдет а радиан. 18.147. Какова вероятность того, что случайно выбранная на глобусе точка лежит: а) за полярным кругом (66'ЗЗ' северной широты); б) между 60' и 30' северной широты; в) между 10' и 40' аападной долготы? 18.148 (задача о естрече). Найти вероятности событий А из аадачи 18.7 и С из задачи 18.8. 18.149 (продолжение задачи о встрече). Найти вероятности событий В, Е и Е из задачи 18.9.

18.150. Два парохода должны подойти к одному и тому же причалу. Время прихода обоих пароходов независимо и равновоаможно в течение данных суток. Определить вероятность того, что одному из пароходов придется ожидать освобождения причала, если время стоянки первого парохода — один час, а второго — два часа. 18.151. В случайный момент времени х Е [О, Т) появляется радиосигнал длительностью 11. В случайный момент времени у Е (О, Т) включается приемник на время 13 < 11. Найти вероятность обнаружения сигнала, если: а) приемник настраивается мгновенно; б) время настройки приемника равно 13 (13 < 13 < 11), Гл.

18. Теория вероятностей 18.152*. Значения а и 6 равновозможны в квадрате ~а~ < 1, ~Ь| < 1. Найти вероятности следующих событий: А = (корни квадратного трехчлена хе + 2ах+ 6 действительны), В,= (корни квадратного трехчлена хэ + 2ах + 6 положительны). 18.153*. Однородный прямой круговой цилиндр с высотой 6 и радиусом основания г случайным образом бросается на горизонтальную плоскость. Найти вероятность того, что цилиндр упадет на боковую поверхность. 18.154*.

На отрезке длины 1 наудачу выбираются две точки М~ н Мэ. Определить вероятность того, что из полученных трех отрезков можно построить треугольник. 18.155*. На плоскость с нанесенной на ней квадратной сеткой многократно бросается монета диаметра о', в результате чего установлено, что в 40 7е случаев монета не пересекает ни одной стороны квадрата.

Оценить размер сетки. 18.156*, На окружности единичного радиуса наудачу ставятся три точки А, В и С. Какова вероятность того, что треугольник АВС остроугольный? 18.157. Даны две концентрические окружности радиусов гэ > тм На большей окружности наудачу ставятся две точки А и В. Какова вероятность того, что отрезок АВ не пересечет малую окружность'? 18.158. Из отрезка ( — 1, 2] наудачу взяты два числа. Какова вероятность того, что их сумма больше единицы, а произведение меньше единицы? 18.159* (задача Бюффона). На плоскость, разграфленную параллельными прямыми линиями, отстоящими друг от друга на расстояние 2а, наудачу бросается игла длиной 21. Какова вероятность того, что игла пересечет одну из параллельных прямых, если 1 < а.

18.159 (1) (парадокс Бергпраяа). В круге единичного радиуса наудачу проводится хорда. Какова вероятность, что длина хорды окажется больше длины стороны правильного треугольника, вписанного в данную окружность? Парадокс заключается в неоднозначности результата, который зависит от истолкования слова юнаудачу». рассмотрим следующие варианты.

1) Случайным образом выбирается точка в круге и через нее единственным способом проводится хорда перпендикулярно радиусу. 2) Кзк бы ни была проведена хорда, всегда можно сориентировать вписанный треугольник таким образом, чтобы одна из его вершин совпала с одним из концов хорды. Фиксируем этот конец хорды, например, в точке (1, О). Другую точку выбираем наудачу на окружности. 3) Тот же правильный треугольник можно сориентировать так, чтобы одна из его высот была параллельна проведенной хорде. Поэтому считаем, что хорда проводится параллельно заданному направлению, на- 3 1.

Случайные события 35 Р(В/А) = Р (А) (6) Для краткости условную вероятность Р (В/А) называют»вероятностью событин В при условии А». При Р (А) = 0 условная вероятность Р (В А) не определена. етрудно проверить, что в случае произвольного вероятностного пространства определенная формулой (6) вероятность Р (В/А), рассматриваемая как функцин наблюдаемых событий В Е У при фиксированном событии А, удовлетворяет трем основным аксиомам и всем их следствиям (см. задачу 18.160). Формула (6), по существу, сводит вопрос о вычислении условной вероятности к вычислению двух безусловных вероятностей, определенных в заданном вероятностном пространстве.

Пример 12. Из урны, содержащей 3 белых и 7 красных шаров, наудачу последовательно и без возвращения извлекаются два шара. События: А = (первый шар белый), В = (второй шар белый), С = (по крайней мере один из вынутых шаров белый). Вычислить вероятности Р(В/А), Р (А/В) и Р (А/С). О Для вычисления искомых условных вероятностей воспользуемся формулой (6). Занумеруем белые шары цифрами 1, 2, 3, а черные— цифрами 4, 5,..., 10.

Согласно описанию зксцеримента имеем следующую схему: выбор наудачу, без возвращения пары чисел из множества (1, 2, ..., 10) с упорядочиванием, цозтому множество элементарных исходов можно записать в виде й = (ь»0 = (», у)!» = 1,..., 10; у = 1,..., 10; » ф 1). Отсюда следует, что Ж (й) = Аз»о = 90, Р (ь»0) = 1/90 для всех допустимых значений » и у. Подмножества, соответствующие событиям А и В, имеют следующий состав: А = ((»', 1) ! » = 1, 2, 3; у = 1, ..., 10; » ~ у), В = ((», у') ) »' = 1, ..., 10; у = 1, 2, 3; » ф у), пример оси Ох.

Лля этого достаточно выбрать наудачу точку на радиусе, ориентированном вдоль оси Оу, и провести единственную хорду перпендикулярно радиусу. 7. Условные вероятности. Независимость событий. Ранее было введено понятие вероятности как числовой функции, определенной на поле событий для данного эксперимента и удовлетворяющей трем основным аксиомам (п.3). Такую вероятность называют безусловной вероятностью, подчеркивая этим, что она не зависит ни от каких дополнительных условий, кроме фиксированного комплекса условий Я, которым характеризуется эксперимент. Пусть А и  — наблюдаемые события в эксперименте, причем Р (А) > > О. Условной вероятностью Р (В/А) осушествления события В при условии, что событие А произошло в результате даннозо энсперия»ента, называется величина, определяемая равенством Гл.18.

Тео няне оятностей 36 причем, как нетрудно подсчитать, Ж (А) = 3 ° 9, М (В) = 9 ° 3, Р(А) = —, Р(В) = —. 3 3 10' 10 Событию АВ соответствует подмножество АВ=((г,у)~г=1,2,3; у=1,2,3; гну), следовательно, Ф(АВ) = 3 2, Р(АВ) = —. 1 15 По формуле (6) отсюда находим Р (В/А) = (АВ) = Р (А/В) = Р(А) 9' Р(В) 9' Далее, по формуле классической вероятности Р(С) = 1 — Р(С) = 1 —— — Сг 8 Сго 15 Для вычисления вероятности произведения АС заметим, что АВ с С А, поэтому АС = А(А+ В) = А+ АВ = А (см. задачу 18.19, формула (1)).

Отсюда Р (АС) = Р(А) = —. 3 10 Наконец, снова используя формулу (6), получаем Р(А/С) = — = —. е Р(А) 9 Р (С) 16 18.160. Пусть А, В и С вЂ” наблюдаемые события, причем Р(С) > О, Р(АС) > О. Доказать справедливость следующих формул для условной вероятности: Р(АВ/С) = Р(А/С) Р(В/АС) (формула умножения), Р(А + В/С) = Р(А/С) + Р(В/С) — Р (АВ/С) (формула сложения). 18.161. Показать, что если А, В и С вЂ” такие наблюдаемые в эксперименте события, что Р (А) ~ О, ВС ф И и А = ВС, то справедлива следующая формула сложения: Р(В+ С/А) = Р(В/А) +Р(С/А). Э 1. Случайные события 37 18.162. Доказать, что Р (А/В) > 1 — —.