4 часть (Ефимов А.В., Поспелов А.С. - Сборник задач по математике для втузов), страница 7

Множество Е состоит из п символов, среди которых п~ символов е~, пэ символов еэ,..., и, символов е, (па+из+ +п, = = и). Опыт состоит в поэлементном выборе без возвращения всех п элементов множества Е и записи слова. а)*~ Показать, что число всех различных слов, полученных в данном эксперименте, определяется формулой (4). б) Какова вероятность, что в полученном слове первыми и~ буквами является символ е~? следующих событий: А = (на втором, третьем и четвертом этажах не выйдет ни один из пассажиров), В = (трое пассажиров выйдут на седьмом этаже), С = (на каждом этаже выйдет по одному пассажиру), .0 = (все пассажиры выйдут на одном этаже).

18.106. К четырехстороннему перекрестку с каждой стороны подъехало по одному автомобилю. Каждый автомобиль может с равной вероятностью совершить один из четырех маневров на перекрестке: развернуться и поехать обратно, поехать прямо, налево или направо.

Через некоторое время все автомобили покинули перекресток. Найти вероятности следующих событий: А = (все автомобили поедут по одной и той же улице), В = (по определенной улице поедут ровно три автомобиля), С = (по крайней мере по одной из улиц не поедет ни один автомобиль). 18.10?*. н различных предметов случайным образом распределяются по я занумерованным ящикам таким образом, чтобы 1с-й по счету ящик содержал ровно иь > 0 предметов (п~ + пэ+ + и, = = п). Показать, что число всех элементарных исходов данного опыта (число унорядоченньп разбиений из и по э) определяется формулой э 1. Случайные события 18.112.

Бросается 6 игральных костей. Найти вероятности следующих событий: А = (выпадут 3 единицы, две тройки и одна шестерка), В = (выпадут различные цифры), С = (выпадут три и только три одинаковые цифры), В = (выпадут только нечетные цифры), Е = (выпадут три четные и три нечетные цифры).

18.113. Из разрезной азбуки выкладывается слово математийа. Затем все буквы этого слова тщательно перемешиваются и снова выкладываются в случайном порядке. Какова вероятность того, что снова получится слово машематиьа? 18.114. 52 карты раздаются четырем игрокам (каждому по 13 карт). Найти вероятности следующих событий: А = (каждый игрок получит туза), В = (первый игрок получит все 13 карт одной масти).

18.115 (продолжение). В условиях предыдущей задачи найти вероятности следующих собьгтий: С = (все тузы попадут к одному из игроков), В = (двое определенных игроков не получат ии одного туза). Решить задачи 18.116 — 18.138, используя подходящие комбинаторные схемы. 18.116. Множество Е состоит из трех различных элементов: Е = (а, 6, с). Выписать состав О во всех четырех опытах по выбору двух элементов из множества Е без возвращения и с возвращением, без упорядочивания и с упорядочиванием. Определить число элементов множества Й (число различных выборок) в каждом из четырех случаев и сравнить результат с тем, который получается по соответствующей комбинаторной формуле. 18.П7.

Опыт состоит в случайном выборе одного элемента из множества Е1 = (а, 6) и одного элемента из множества Еэ = = (а, 6, с). Перечислить состав множества Е = Е1 х Еэ. Какова вероятность того, что выборка будет состоять из одинаковых элементов? 18.118. Из урны, содержащей шары с номерами 1, 2, ..., я, Ус раз (Й < п) вынимается шар и каждый раз возвращается обратно. Найти вероятность того, что номера вынутых шаров образуют возрастающую последовательность.

18.119. В условиях эксперимента, описанного в задаче 18.74, цри т > п найти вероятность того, что орудия выстрелят по различным самолетам. 18.120. Из урны, содержащей шары с номерами 1, 2,..., я, наудачу отбирается й шаров и номера вынутых шаров записываются последовательно. Какова вероятность того, что на фиксированном т-месте (т < Й) окажется шар с номером т, если выбор осуществляется: а) без возвращения; б) с возвращением? 30 Гл.18.

Теория вероятностей 18.121. На тренировке детской спортивной школы по футболу роли игроков распределяются случайным образом среди одиннадцати участников. Нужно отобрать одного вратаря, четырех защитников, трех полузащитников и трех нападающих. Какова вероятность того, что два друга-участника Коля и Миша: а) будут играть в нападении; б) получат разные роли, причем один из друзей будет играть в нападении, а другой — в защите? 18.122. В лотерее выпущено и билетов, из которых гя выигрышные.

Куплено 1 билетов. Какова вероятность следующих событий: А = (из й билетов хотя бы один выигрышный), В = (из Й билетов ровно один выигрышный), С = (из Й билетов ровно Й~ выигрышных)? 18.123. Какова вероятность р„того, что в группе из и (и ( 365) случайно отобранных студентов хотя бы у двоих окажется один и тот же день рождения? Оценить значение р„для п = 24 и п = 50. 18.124. На заводе работает 30000 рабочих и служащих.

Показать, что на данном заводе обязательно найдутся хотя бы два человека с одинаковыми инициалами имени, отчества и фамилии. 18.125. Регистр калькулятора содержит 8 разрядов. Считая, что появление любого числа на регистре равновероятно, определить вероятности следующих событий: А = (во всех разрядах стоят нули), В = (во всех разрядах стоят одни и те же пифры). 18.126 (продолжение). В условиях предыдущей задачи найти вероятности следующих событий: С = (регистр содержит ровно две одинаковые цифры), Р = (регистр содержит ровно две пары одинаковых цифр). 18.127 (продолжение). В условиях задачи 18.125 найти вероятности событий: Е = (регистр содержит ровно три одинаковые цифры), Р = (регистр содержит три и только три различные цифры). 18.128.

7 яблок, 3 апельсина и 5 лимонов раскладываются случайным образом в три пакета, но так, чтобы в каждом было одинаковое количество фруктов. Найти вероятности следующих событий: А = (в каждом из пакетов по одному апельсину), В = = (определенный пакет не содержит апельсинов). 18.129. Из множества чисел Е = (1, 2, ..., и) выбирается два числа. Какова вероятность, что второе число больше первого, если выбор осуществляется: а) без возвращения; б) с возвращением? 18.130. Из множества чисел В = (1, 2, ..., н) выбирается три числа. Какова вероятность того, что второе число заключено между первым и третьим, если выбор осуществляется: а) без возвращения; б) с возвращением? э 1. Случайные события 18.131.

Каждая из п палок случайным образом ломается на две части — длинную и короткую. Затем 2п полученных обломков наудачу объединяются в и пар, каждая из которых образует новую палку. Найти вероятности следующих событий: А = (все обломки объединятся в первоначальном порядке), В = (все длинные части объединятся с короткими).

18.132. Путем жеребьевки разыгрывается шесть подписных изданий среди десяти участников. Сколько различных распределений подписок возможно, если каждое очередное наименование разыгрывается между всеми участниками? Найти вероятность того, что первые шесть человек получат каждый по одной подписке. 18.133 (продолжение). В условиях предыдущей задачи ответить на те же вопросы, если каждый участник, получивший подписку, выбывает из игры. 18.134. Опыт состоит в том, что я различных предметов случайным образом распределяются среди т человек (т ( и), причем таким образом, что каждый может получить любое число предметов из имеющихся.

Какова вероятность следующих собьпий: А = (все предметы достанутся одному из участников), В = (определенное лицо не получит ни одного предмета). 18.135 (продолжение). В условиях эксперимента предыдущей задачи найти вероятности событий: С = (определенные т~ лиц получат па одному предмету), Х) = (определенные и, предметов достанутся одному из участников).

18.136. В условиях эксперимента, описанного в задаче 18.106, найти вероятности следующих событий: Е = (автомобили разьедутся по улицам попарно), Р = (по определенной улипе поедут два автомобиля). 18.13?. Условия эксперимента, описанного в задаче 18.106, изменены следующим образом: на перекрестке запрещены развороты. Все остальные направления движения для любого из автомобилей равновероятны.

Найти вероятности собьпий Е и Е, определенных в предыдущей задаче. 18.138*. Из совокупности всех непустых подмножеств множества Е = (ег, еэ, ..., е„) по схеме выбора с возвращением отбираются два подмножества Е~ и Еэ. Какова вероятность того, что они пересекаются? 6. Геометрические вероятности. Формула классической вероятности следующим образом обобщается ка случай непрерывных пространств элементарных исходов Й. Пусть й-квадрируемая область ка плоскости.

Рассмотрим систему У квадрируемых подмножеств множества О. Как отмечалось в примере 4, система У' является е-алгеброй. Пусть условия опьпа таковы, что ве- Гл.18. Теория вероятностей 32 роятность попадания в произвольную квадрируемую подобласть ы области й пропорциональна плошади этой подобласти и не зависит от ее местоцоложения в й. При этих условиях для вероятности осуществления любого наблюдаемого в данном эксперименте события А = ((х, у) Е Е ы ~ ы Е У) справедлива формула геометрической вероятности Р(А) = Р((х, у) Е ы~ы Е У) = 5 (ы) (5) где 5 (ы) — площадь подобласти ы. Формула (5) естественным образом обобщается на случай пространств произвольной размерности: Р (А) = Р ((хм хг,..., х ) Е ы ~ ы Е У) = шеэ (ы) гпеэ (Й) где шее (ы) — мера множества ы (длина, площадь, объем и т.д.

в зависимости от размерности того пространства, в котором рассматриваются данные множества). Пример 11. На бесконечную шахматную доску со стороной квадрата а наудачу бросается монета радиуса г < а/2. Найти вероятности следующих событий: А = (монета попадет целиком внутрь одного квадрата), В = (монета пересечет не более одной стороны квадрата). г Пусть (х, у) — координаты центра упавшей монеты. В силу бесконечности шахматной доски можно считать, что элементарные исходы данного эксперимента полностью определяются положением центра упавшей монеты относительно вершин квадрата, содержащего этот центр.