4 часть (Ефимов А.В., Поспелов А.С. - Сборник задач по математике для втузов), страница 6

Все исходы данного матча считаются равновероятными. Найти вероятность того, что первый игрок выиграет ровно т партий (т < и). Схема выбора, приводящан к размещенинм. Если опыт состоит в выборе т элементов без возвращения, но с упорядочиванием их па мере выбора в последовательную цепочку, то различными исходами данного опыта будут упорядоченные т-элементные подмножества множества Е, отличающиесн либо набором элементов, либо порядком их следования. Получаемые при этом комбинации элементов (элементарные исходы) называютсн раэмеи4еиилми из п элементов ио т, а их общее число определяется формулой и! М(й) = А„= С„.т! = ' = п(п — 1) ... (п — т+1).

(3) (и — т)! В частном случае т = п опыт фактически состоит в произвольном упарндочивании множества Е, т.е, сводится к случайной перестановке элементов всего множества. При этом?1' (й) = А„"= и!. Пример 8. Множество Е состоит из 10 первых букв русского алфавита. Опыт состоит в выборе без возвращения 4 букв и записи слова в порядке поступления букв. Сколько 4-буквенных слов может быть получена в данном опыте? Какова вероятность того, что наудачу составленное слово будет оканчиваться буквой а? Гл.18. Теория вероятностей 24 э М (й) — число всех 4-буквенных слов в данном опыте — равно числу 4-элементных упорядоченных подмножеств нз 10 элементов, т.е. Я(й) = А4о --10 9 8 7 = 5040. Пусть событие А = (наудачу составленное слово нз 4 букв множества Е оканчивается буквой а).

Число элементов множества А равно числу способов разместить на трн оставшиеся места по одному символу нз 9 (символ а исключен нз рассмотренна, поскольку его место уже определено); хаким образом, М (А) = Аз э9 8 7 504 М (А) 504 1 Р(А) = с М (й) 5040 10 Числа 1, 2, ..., 9 записываются в случайном порядке.

В задачах 18.87 — 18.89 найти вероятности указанных событий. 18.87. А = (числа будут записаны в порядке возрастания). 18.88. В = (числа 1 и 2 будут стоять рядом и в порядке возрастания), С = (числа 3, б и 9 будут стоять рядом). 18.89. В = (нв четных местах будут стоять четные числа), Е = (сумма каждых двух чисел, стоящих на одинаковом расстоянии от концов, равна 10). 18.90.

Группа, состоящая из 8 человек, занимает места за круглым столом в случайном порядке. Какова вероятность того, что при этом два определенных лица окажутся сидящими рядом? 18.91. Группа, состоящая из 8 человек, занимает места с одной стороны прямоугольного стола. Найти вероятность того, что два определенных лица окажутся рядам, если а) число мест равно 8; б) число мест равно 12.

18.92. На пяти карточках написаны цифры от 1 до 5. Опыт состоит в случайном выборе трех карточек и раскладывании их в порядке поступления в ряд слева направо. Найти вероятности следующих событий: А = (появится число 123), В = (появится число, не содержащее цифры 3). 18.93 (продолжение). В условиях предыдущей задачи найти вероятности событий: С = (появнтся число, состоящее из последовательных цифр), В = (появится четное число), Е = (появится число, содержащее хотя бы одну из цифр 2 или 3). 18.94. п человек входят в комнату, где имеется всего т стульев (гп < п), и рассаживаются случайным образом, но так, что все стулья оказываются занятыми.

з 1. Случайные событил 25 а) Показать, что число всех способов рассаживания определяется формулой (3). б) Какова вероятность того, что два определенных лица окажутся без места? в) Какова вероятность того, что й определенных лиц будут сидеть (/с < гп)? 18.95. п мужчин и п женщин случайным образом рассаживаются в ряд на 2п мест. Найти вероятности следующих событий: А = (никакие два мужчины не будут сидеть рядом), В = (все мужчины будут сидеть рядом). 18.96.

10 вариантов контрольной работы, написанные каждый на отдельной карточке, перемешиваются и распределяются случайным образом среди восьми студентов, сидящих в одном ряду, причем каждый получает по одному варианту. Найти вероятности следующих событий: А = (варианты с номерами 1 и 2 останутся неиспользованными), В = (варианты 1 и 2 достанутся рядом сидящим студентам), С = (будут распределены последовательные номера вариантов). 18.97. 12 студентов, среди которых Иванов и Петров, случайным образом занимают очередь за учебниками в библиотеку.

Какова вероятность, что между Ивановым и Петровым в образовавшейся очереди окажутся ровно 5 человек? Схема выбора, приводящая к сочетаниям с повторениям м и. Если опыт состоит в выборе с возвращением ги элементов множества Е = (еп еэ, ., е„), но без последующего упорядочивания, то различными исходами такого опыта будут всевозможные гп-элементные наборы, отличающиеся составом. При этом отдельные наборы могут содержать повторяющиеся элементы.

Например, при т = 4 наборы (еы еп еэ, е~) и (еэ, еп еы е~) неразличимыдляданногоэксперимента, а набор (еп еы еэ, е~ ) отличен от любого из предыдуших. Получающиеся в результате данного опыта комбинации называются сочетаниями с повторениями, а их общее число определяется формулой Я(й) = С„ Пример 9. В технической библиотеке имеются книги по математике, физике, химии и т.д.; всего по 16 разделам науки. Поступили очередные четыре заказа на литературу, Считая, что любой состав заказанной литературы равновозможен, найти вероятности следующих событий: А = (заказаны книги из различных разделов науки), В = = (заказаны книги из одного и того же раздела науки).

а Число всех равновероятных исходов данного эксперимента равно, очевидно, числу сочетаний с повторениями из 16 элементов по 4, т.е. Л(й) =С,'в~4 ~ — С,'э Число исходов, благоприятствующих событию А, равно числу способов 26 Гл. 18. Теория вероятностей отобрать без возвращения четыре элемента из 16, поэтому Р(А) = = — 'в = — 0,47. Л (А) С~4в 455 М (й) С4 969 Число исходов, благоприятствующих событию В, равно числу способов выбрать один элемент из шестнадцати, поэтому Р(В) = Ж (В) С,'в 4 = — 'в = — ж 0,004.

> Х(О) С „969 18.98. В кондитерской имеется 7 видов пирожных. Очередной покупатель выбил чек на 4 пирожных. Считая, что любой заказываемый набор пирожных равновероятен, вычислить вероятность того, что покупатель заказал: а) пирожные одного вида; б) пирожные разных видов; в) по два пирожных различных видов. 18.99. Из общего количества костей домино, содержащих числа О, 1, 2, ..., п, наудачу извлекли одну кость. Оказалось, что это не дубль.

Какова вероятность р„ того, что вторую извлеченную также наудачу кость домино можно будет приставить к первой. Найти числовые значения вероятности для я = 6 (обычный набор домино) и и = 9 (расширенный набор). Схема выбора, приводнщан к размещениям с повторениями. Если выбор нг элементов из множества Е = (ем ег,..., е„) производится с возвращением и с упорядочиванием их в последовательную цепочку, то различными исходами будут всевозможные нг-элементные наборы (вообще говоря, с повторенинми), отличающиеся либо составом элементов, либо порядком их следования.

Например, при нг = 4 множества ыг = (ем ем ег, ез), ыг — — (ег ем ем ез) и ыз = (ем ем ез, ез) являются различными исходами данного опыта. Получаемые в результате комбинации называются размещениями с повторениями, а их общее число определяется формулой Ф(й) = и Пример 10. 7 одинаковых шариков случайным образом рассыпаютсн по 4 лункам (в одну лунку может поместиться любое число шариков). Сколько существует различных способов распределения 7 шариков по 4 лункам? Какова вероятность того, что в результате данного опыта первая лунка окажется пустой (при этом может оказаться пустой и еще какая-либо лунка)? З Занумеруем лунки и шарики. Можно считать, что опыт состоит в 7-кратном выборе с возвращением номера лунки и записи 7-буквенного слова. При этом каждому порядковому номеру буквы (номеру шарика) будет поставлена в соответствие одна из четырех букв алфавита (номер лунки).

3 1. Случайные события 27 Так, например, слово 1 2 3 4 5 6 7 означает, что в первую лунку попали шары №1, № 2 и №4, во вторую Г ч нку — шар№7, в третью — шар№З, в четвертую — шары№5 и№6. аким образом, число всех способов распределить 7 шариков по 4 лункам равно числу различных 7-буквенных слов из алфавита в 4 буквы, т.е. Ю(й) = 4". Событие А = (первая лунка окажется пустой) соответствует такому выбору, когда символ 1 (номер первой лунки) удален из алфавита. Поэтому М (А) = 3' и Р(А) = — = 1-) 0,133. > М (А) /3~ У (О) 1,4) 18.100. Бросается 10 одинаковых игральных костей.

Вычислить вероятности следующих собьпий: А = (ни на одной кости не выпадет 6 очков), В = (хотя бы на одной кости выпадет 6 очков), С = (ровно на 3 костях выпадет 6 очков). 18.101. Опыт состоит в четырехкратном выборе с возвращением одной из букв алфавита Е = (а, б, к, о, м) и выкладывании слова в порядке поступления букв. Какова вероятность того, что в результате будет выложено слово мама? 18.102. В подъезде дома установлен замок с кодом.

Дверь автоматически отпирается, если в определенной последовательности набрать три цифры из имеющихся десяти. Некто вошел в подъезд и, не зная кода, стал наудачу пробовать различные комбинации из трех цифр. На каждую попытку он тратит 20 секунд. Какова вероятность события А = (вошедшему удастся открьпь дверь за один час)? 18.103. Телефонная книга раскрывается наудачу и выбирается случайный номер телефона.

Считая, что телефонные номера состоят из 7 цифр, причем все комбинации цифр равновероятны, найти вероятности следующих событий: А = (четыре последние цифры телефонного номера одинаковы), В = (все цифры различны). 18.104 (продолжение). В условиях предыдущей задачи найти вероятности событий: С = (номер начинается с цифры 5), П = = (номер содержит три цифры 5, две цифры 1 и две цифры 2). 18.105.

Шесть человек вошли в лифт на первом этаже семиэтажного дома. Считая, что любой пассажир может с равной вероятностью выйти на 2-м, З-м, ..., 7-м этажах, найти вероятности Гл. 18. Теория вероятностей 28 У(й) = и~!нэ!... п,! (4) 18.108. Десять приезжих мужчин, среди которых Петров и Иванов, размещаются в гостинице в два трехместных и один четырехместный номер. Сколько существует способов их размещения? Какова вероятность события А, состоящего в том, что Петров и Иванов попадут в четырехместный номер? 18.109.

В условиях залачи 18.80 найти вероятность события В = (будут выбраны; 1 первокурсник, 2 второкурсника и 2 третьекурсника). 18.110. 20 футбольных команд, среди которых 4 призера предыдущего первенства, по жеребьевке разбиваются на 4 занумерованные подгруппы по 5 команд. Найти вероятности событий: А = (в первую и вторую подгруппы не попадет ни один из призеров), В = (в каждую подгруппу попадет один из цризеров). 18.111.