4 часть (Ефимов А.В., Поспелов А.С. - Сборник задач по математике для втузов), страница 4

Сл чайные событии 15 18.35. Я1 — — (из трех событий А, В, С произойдет ровно одно), Р1 = (из трех событий А, В, С произойдет ровно два). 18.36. Вэ = (из трех событий А, В, С произойдет хотя бы одно), Рэ = (из трех событий А, В, С произойдет не меньше двух). 18.37. Еэ = (из трех событий А, В, С не произойдет ни одного), Рэ = (из трех событий А, В, С произойдет хотя бы два), С = (из трех событий А, В, С не произойдат хотя бы одно). 18.38. Поражение боевого самолета может наступить или в реаультате поражения обоих двигателей (события 111 и йэ), или в результате попадания в кабину пилота (событие К). Производится длительный обстрел самолета из зенитного орудия.

Любое попадание в соответствующий агрегат приводит к его поражению. Пусть событие А = (поражение самолета). а) Описать множество элементарных исходов. б) Записать А в алгебре событий как непосредственно с помощью событий Р1, Рэ и К, так и через элементарные исходы. в)** Получить из второй записи первую путем допустимых алгебраических преобразований.

18.39. Электрическая цепь составлена по схеме, приведенной на рис. 2. Событие Аь = (элемент с номером й вышел нз строя), й = 1, 2, 3, 4. Событие В = (разрыв цепи). Выразить событие В в алгебре событий Ан Аэ, Аэ, А4. Рис. 3 Рис. 2 18.40. Электрическая цепь составлена по схеме, приведенной на рис. 3.

Событие Аь = (элемент с номером й вышел из строя), й = = 1, 2, 3, 4, 5. Событие В = (разрыв цепи). Выразить событие В в алгебре событий А1, Аъ Аэ, А4, Аа 18.41. На отрезке ~а, 5] наудачу ставятся две точки. Пусть х и р — координаты этих точек. Изобразить на плоскости Охр области, соответствующие событиям й, А, В, АВ, А — В, А + В, где А = (вторая точка ближе к левому концу отрезка, чем первая точка к правому концу), В = (расстояние между точками меньше половины длины отрезка). Гл, 18. Теория вероятностей Пусть заданы и множеств йы йж ..., й„, содержащих, вообще го- воря, различное число элементов.

Множество вида ((ЫЫ О/Э~ 1 Ып~) ~ Ы1 б ЙЫ ЫЭ Е Йж ..., Ы)н б Йп) называется прямым произведением множеств йы ..., Й„и обозначается й=йгхйэх хй„. Пусть каждое кз множеств йп 1 = 1, 2, ..., является множеством элементарных исходов некоторого эксперимента Е;. Тогда составной эксперимент, состоящий в проведении последовательно экспериментов Еы Еэ,..., Е„н наблюдений совместного результата, имеет множество элементарных исходов й = й1 х йэ х ° ° х й„и называется последова1пельностью испытаний.

18.42. Произведено три выстрела из орудия по цели. Событие Аь = (попадание при й-м выстреле) (й = 1, 2, 3). а) Выяснить состав множества Й, выразив каждый элементарный исход ы; через события Аь. б) Записать в алгебре событий следующие события: А = (ровно одно попадание), В = (хотя бы одно попадание), С = (хотя бы один промах), Р = (не меньше двух попаданий), Е = (попадание не раньше, чем при третьем выстреле).

18.43. Из ящика, содержащего 10 деталей, из которых 3 бракованных, наудачу последовательно и без возвращения извлекается па одной детали до появления бракованной, после чего опыт прекращается. Обозначим исход 1-го испытания и; = (бракованная деталь появится при 1-м испытании).

Рассмотрим событие А = = (придется производить третье по счету извлечение детали). а) Сконструировать элементарные исходы данного опыта с помощью алгебраических операций над исходами ы;, ь' = 1, 2, ... б) Записать событие А через элементарные исходы и упростить запись путем алгебраических преобразований. 18.44.

Два баскетболиста по очереди бросают мяч в корзину до первого попадания. Выигрывает тот, кто первый забросит мяч. События: Аь = (первый баскетболист попадает при своем й-м броске), Вь = (второй баскетболист попадает при своем Ус-м броске): А = (выигрывает первый баскетболист), В = (выигрывает второй).

Первый баскетболист бросает первым. Определить состав множества элементарных исходов и записать события А и В в алгебре событий. Система множеств (Еы Еэ, ..., Е~) называется разбиением множества Е, если выполняются следующие условия: Е;~о, ь'=1,2,...,1, ЕЕ, =И, 1фу', Е1 + Еэ + ... +Е~ = Е. 3 1. Случайные события 17 Если разбиению подвергается множество элементарных исходов Й некоторого эксперимента, то говорят, что система подмножеств (событий), осуществляющих разбиение, составляет полную группу несовместных событий. 18.45. Показать, что совокупность элементарных исходов любого эксперимента с конечным множеством Й образует разбиение множества Й. 18.46.

Образуют ли события А, В и С из задачи 18.4 полную группу событий? 18.47. Показать, чта система событий (Р1 + Рз, КР1Рз, Рг + Рз + К), где Ры Рз и К вЂ” наблюдаемые события в эксперименте, описанном в задаче 18.38, образует разбиение множества Й для данного эксперимента. 18.48. Множество элементарных исходов некоторого эксперимента состоит из четырех исходов. Сколько различных разбиений можно составить для данного множества? 18.49. Пусть А — произвольное наблюдаемое в некотором эксперименте событие такое, что А ~ Й и А ~ И. Показать, чта система множеств 1А, А) образует разбиение множества Й. 18.50.

Пусть Й = 11, 2, 3, ... ) — множество натуральных чисел. Показать, что система (Ям Яз, Яз), где Я1 = (х ~ х = Зп; п = =1,2,3, ...),Яз=1х)х=Зп — 1;п=1,2,3,, )1Яз=1х!х= = Зп — 2; п = 1, 2, 3, ... ), образует разбиение множества Й. 18.51.

Для некоторого эксперимента множества Й содержит ровно и элементарных исходов. Показать, чта число всех наблюдаемых событий, содержащихся в поле событий для данного эксперимента, равно 2". 3. Акеиоматичесиое определение вероятности события. Для количественного описания степени объективной возможности наступления того или иного наблюдаемого в эксперименте события вводится специальная числовая фунвция Р (А), называемая вероятностью события А. Пусть У' — поле событий для данного эксперимента. Вероятяносгяыо Р(А) называется числовая функция, определенная для всех А Е .с и удовлетворяющая трем условиям (аксиомам вероятностей): 1) Р(А) > О. 2) Р(Й) = 1. 3) Для любой конечной или бесконечной последовательности наблюдаемых событий Аы Аз, ..., А„, ... таких, что А;А = о при 1 ф ~, е(1'А.) = 1'~'(А„).

Так как событие есть множество, то вероятность является также функцией множества. Указанные аксиомы выделяют специальный класс 18 Гл. 18. Теория ве оятностей числовых функций, являющихся вероятностями. В соответствии со смыслом этих аксиом вероятность есть неотрицательная, нормированная и аддитивная функция множеств, принадлежащих алгебре У'. Тройку ~й, У, Р), где У вЂ” алгебра подмножеств множества й, Р— числовая функция, удовлетворяющая аксиомам 1 — 3, называют вероятностнььн пространством случайного эксперимента. Аксиоматическая теория вероятностей в ее современном виде была создана А.

Н. Колмогоровым в 1933 г. Пример б. Доказать, что если для некоторого эксперимента А с В, то Р (А) < Р (В). 0 Так как А С В, то АВ = А (см. задачу 18.19, а)), поэтому В = = В(А+А) = ВА+ВА = А+ВА, причем оба слагаемых несовместны. В силу аксиомы аддитивности Р (В) = Р (А) + Р (ВА), а в силу аксиомы 1) Р(ВА) > О. Следовательно, Р(В) > Р(А). г> Доказать справедливость следующих следствий из определения вероятности события: 18.52*.

Р (И) = О. 18.53. Р (А) = 1 — Р (А). 18.54*. Р (А) < 1. 18.55**. Р (А+В) = Р (А)+Р (В) — Р (АВ) (формула сложения вероятностей). 18.56. Р(А+ В) < Р(А) + Р(В). 18.57. Р(АВ) < Р(А) < Р(А+В). 18.58. Доказать, чта, если А = В, то Р (А) = Р (В). 18.59в. Пусть А, В и С вЂ” три события из паля событий для данного эксперимента.

Показать, что Р ИА — В) + ( — С) + (С вЂ” А)) = 1 — Р (АВС) — Р (А В С). 18.60в. Пусть А и  — наблюдаемые события в эксперименте. Показать, что Р(АгхВ) = Р(А) + Р(В) — 2Р(АВ) = Р(А+ В) — Р(АВ). 18.61. Доказать, что если А Э В, то Р(А — В) = Р(А) — Р(В). 18.62. Доказать, что если А и  — наблюдаемые события в эксперименте, то справедливо равенство Р(АВ) — Р(АВ) = Р(А) — Р(В).

18,63. Показать, что для любых наблюдаемых в эксперименте событий А, В и С справедливо неравенства Р (АВ + В С + АС) < — (Р (А) + Р (В) + Р (С) ). 2 3 1. Сл чайные события 19 18.64Я. Показать, что для трех наблюдаемых в эксперименте событий А, В и С справедлива следующая формула сложения вероятностей: Р(А+ В+ С) = = Р(А)+Р(В)+Р(С) -Р(АВ) -Р(АС) -Р(ВС)+Р(АВС). 18.65**. Известно, что для данного эксперимента совместное наступление событий А и В с необходимостью влечет за собой наступление события С.

Доказать, что Р(С) > Р(А) + Р(В) — 1. 4. Классическая вероятностная схема — схема урн. Во многих случаях вероятностное пространство строится на основе проведения аналогии между описываемым экспериментом и какой-либо хорошо изученной моделью случайного эксперимента с известным распределением вероятностей. Таковы, например, опыты, сводящиеся к классической или геометрической схеме, которые подробно рассматриваются далее.

Всякий эксперимент, удовлетворяющий тому условию, что соответствующее ему множество Й представляет собой конечное множество 11 равновероятных исходов т.е. Р(ы1) = Р(ыэ) = .. = Р(ы„) = — ), пап) зывается классической схемой или схемой урк. В силу конечности Й алгебра событий У совпадает с множеством всех подмножеств множества Й (включая и пустое множество). Поэтому любое событие вида А = (ым, ыь„..., ыь„) С Й наблюдаемо в таком эксперименте, и вероятность его осуществления определяется по формуле классической вероятности Р(А) = — = —, 11' (А) т М(Й) и ' где М (А) = т — число элементов множества А (число всех благоприятствующих событию А исходов), Л (Й) = я — число элементов множества Й (число всех исходов эксперимента).