Ответы A4 на теоретические вопросы к экзамену (К экзамену АК (ответы, билеты, вопросы)), страница 4

Приложим к какой-либо точке В систему F’ и F”.|F|=|F’|=|F”|. F~(F,F’,F”), т.к. (F’,F”) ~ 0, тоF ~ (F,F’,F”) ~ (F,F’,F”) ~ (F’,M(F,F”)).НоM(F,F”)=BAxF=MB(F).Получаем:F~ (F’,M(F,F”)), ч. т. д.Вопрос 24:Сложное движение точки. Ускорение Кориолиса. Правило Жуковского.Сложное движение – движение по отношению к системе координат, выбранной за основную (абсолютную).Относительное движение – движение точки по отношению к подвижной системе координат.Переносное движение – движение подвижной системы координат относительно неподвижной.

Установление связи междуэтими движениями позволяет решать различные задачи.Положение точки М в подвижной системе координат O'XYZ характеризует радиус-векторс началом в точке О'.Кинематическая теорема Кориолиса: абсолютное ускорение точки является векторной суммой трех ускорений относительного, переносного и ускорения Кориолиса.Ускорение Кориолиса равно удвоенному векторному произведению угловой скорости переносного движения наотносительную скорость точки:, следовательно по модулю ускорение Кориолиса:.Кориолисово ускорение обращаетсяв нуль, когда:1) переносное движение - поступательное, т.е.

омега переносное равно нулю;2) в те моменты времени, когда в относительном движении точка останавливается, например.при изменении направленияотносительного движения.Частные случаи:А) ω0 – смена знакаБ) vr0 – относительный покой (смена знака движения).В) sin(ω,vr)0, ω||vr.Правило Жуковского: Кориолисово ускорение можно получить, спроецировав вектор радиальной скорости на плоскость,перпендикулярную вектору омега переносное, увеличив полученную проекцию радиальной скорости в 2*(омега переносное)раз и повернув ее на 90 градусов в направлении переносного вращения.Вопрос 37:Эквивалентность пар.

Сложение пар. Условия равновесия пар сил.Эквивалентность: А) 2 пары, имеющие равные моменты, эквивалентны. Пару сил можно перемещать, поворачивать вплоскости действия, перемещать в параллельную плоскость, менять одновременно силу и плечо.Б) 2 пары, лежащие в одной плоскости, можно заменить на одну пару, лежащую в той же плоскости с моментом, равнымсумме моментов этих пар.M=M(R,R’)=BA×R=BA×(F1+F2)=BA×F1+BA×F2. При переносе сил вдоль линии действия момент пары не меняетсяBA×F1=M1, BA×F2=M2, M=M1+M2.СЛОЖЕНИЕ.

2 пары, лежащие в пересекающихся плоскостях, эквивалентны 1 паре, момент которой равен сумме моментовдвух данных пар.Дано: (F1, F1’), (F2, F2’)Доказательство:Приведем данные силы к плечу АВ – оси пересечения плоскостей. Получим пары:(Q1,Q1’) и (Q2,Q2’). При этомM1=M(Q1,Q1’)=M(F1, F1’),M2=M(Q2,Q2’)=M(F2, F2’).Сложим силы R=Q1+Q2, R’=Q1’+Q2’. Т. к. Q1’= - Q1, Q2’= - Q2R= -R’. Доказано, чтосистемадвухпарэквивалентнасистеме(R,R’). M(R,R’)=BA×R=BA×(Q1+Q2)= BA×Q1+BA×Q2=M(Q1,Q1’)+ M(Q2,Q2’)=M(F1,F1’)+ M(F2,F2’) M=M1+M2.УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ:Система находится в равновесии, если суммарный момент всех пар сил, действующих на тело,равен нулю.

То есть: M1+M2+…+Mn=0.Вопрос 39:Теорема о приведении произвольной системы сил к силе и паре сил - основная теорема статики.Теорема Пуассо: Произвольная система сил, действующих на твердое тело, можно привести к какому-либо центру О,заменив все действующие силы главным вектором системы сил R, приложенным к точке О, и главным моментом MOсистемы сил относительно точки О.Доказательство:Пусть О – центр приведения.

Переносим силы F1, F2,…,Fn в точку О: FO=F1 +F2+…+Fn= ∑Fk. При этом получаем каждыйраз соответствующую пару сил (F1,F1”)…(Fn,Fn”), Моменты этих пар равны моментам этих сил относительно точки О.M1=M(F1,F1”)=r1xF1=MO(F1). На основании правила приведения систем пар к простейшему виду MO=M1+…+M2=∑MO(Fk)=∑rkxFk => (F1, F2,…,Fn) ~ (R,MO) (не зависит от выбора точки О).При приведении системы сил к заданому центру возникает главный вектор R равный сумме всех сил и главный момент Мо,равный сумме моментов всех сил относительно центра приведения.Вопрос 25:Сложное вращение твердого тела вокруг пресекающихся осей.В случае вращательных относительного и переносного движений твердого тела, когда оси их вращенийпересекаются в точке О (рис.

7.2), абсолютное движение будет движением твердого тела вокругнеподвижной точки О (сферическим движением) с угловой скоростью, определяемой согласноНетрудно убедиться, что скорости всех точек, лежащих на линии, по которой направлен вектор угловойскорости, равны нулю. В самом деле, например, скорость находящейся на этой линии точки А тела(по свойству произведения коллинеарных векторов "омега" и r). Таким образом, прямая, на которойрасположен вектор угловой скорости, является мгновенной осью вращения тела.Скорость любой точки М тела в данном случае можно определить так:или, гдеМодули составляющих, а также абсолютной скорости точки М равны модулям соответствующих векторныхпроизведений и могут быть вычислены по формулам:, где- кратчайшиерасстояния от точки М до соответствующих осей вращения.Вопрос 44:Зависимость между главными моментами системы сил относительно двух центровприведения.Главный момент системы сил относительно второго центра приведения О 1 равен вектору главного моментасистемы сил относительно первого центра приведения О, плюс векторный момент главного вектора,приложенного в первом центре приведения относительно второго центра.Доказательство:Момент относительно любой точки O1 MO1=∑(rO1ixFi).

Момент относительно первого центра приведенияОMO=∑(rOixFi). ПричемrO1i=O1O+rOi.MO1=∑(O1O+rO1)xFi=O1O∑Fi+ ∑(rOixFi)=MO+O1OxR= MO+MO1(R).MO1= MO+MO1(R) (1)Вопрос 17: Определение ускорений точек плоской фигуры с помощью МЦУ.Если МЦУ — точку Q выбрать за полюс, то ускорение любой точки А плоской фигуры, так как aQ = 0. ТогдаУскорение аА составляет с отрезком QA,соединяющим эту точку с МЦУ, угол "альфа", откладываемый от QA в сторону, противоположнуюнаправлению дуговой стрелки углового ускорения. Ускорения точек фигуры при плоском движениипропорциональны расстояниям от МЦУ до этих точек.Таким образом, ускорение всякой точки фигуры при ее плоском движении определяется в данный моментвремени так же, как и при вращательном движении фигуры вокруг МЦУ.1) Пусть известны направления ускорений двух точек плоской фигуры, ее угловые скорость и ускорение.Тогда МЦУ лежит на пересечении прямых линий, проведенных к векторам ускорений точек фигуры пододним и тем же острым углом:, отложенным от векторов ускорений точек в направлениидуговой стрелки углового ускорения.2) Пусть известны направления ускорений хотя бы двух точек плоской фигуры, ее угловое ускорение = 0, аугловая скорость не равна 0.3) Угловая скорость = 0, угловое ускорение не равно 0.

Угол прямой.Вопрос 30:Система сходящихся сил. Условия равновесия.Система сил называется сходящейся, если линии всех сил пересекаются в одной точке. Попарно поочередносложим эти силы, перенесенные к точке пересечения. Тогда R=∑Fk – главный вектор, так как R12=F1+F2,R13=R12+F3 и т. д.Rx=∑FixR=√(Rx²+Ry²+Rz²), cos(x,R)=Rx/R – аналитический способ задания.Условия равновесия.Система находится в равновесии когда главный вектор R=0.А) Векторная форма: R=∑Fk=0;Б) Аналитическая форма: Rx=Fkx=0, Ry=Fky=0, Rz=Fkz=0;В) Графическая форма: замкнут многоугольник сил.Система сходящихся сил эквивалентна одной равнодействующей силе, которую можно определитьзамыкающим вектором R* силового многоугольника, построенного на векторах-сипах системы сходящихсясил. Другими словами, равнодействующая системы сходящихся сил равна их геометрической сумме.Многоугольник OABCD называется силовым многоугольником.Вопрос 15:Способы определения углового ускорения при плоском движении.т.

е. ускорение какой-либо точки плоской фигуры при плоском движении равно векторнойсумме ускорения полюса и ускорения этой точки при вращательном движении плоской фигуры вокругполюса.Ускорение точки В вокруг А состоит из касательной и нормальной составляющих:, модули которыхКасательное ускорение направлено перпендикулярно отрезку АВ в сторону, указанную дуговой стрелкойуглового ускорения.Нормальное ускорение направлено от точки В к полюсу А. Таким образом,Обозначив угол между ускорением точки В вокруг А и отрезком АВ через "альфа", найдем:Вопрос 47:Трение качения. Коэффициент трения качения.Круглое тело вдавливается в опорную поверхность (дуга CD).

Трение качения – сопротивление,возникающее при качении одного тела по поверхности другого. Полная реакция N’ опорной поверхностипрепятствует качению.Нам нужен момент сопротивления качению => заменим N’ и представим в виде Fтр. и N, приложенных вточкеВ, смещенной от центра на δ. Условия равновесия: N=P, F=Q. QmaxR=δN. Mтр.max=δ∙N. Моментсопротивления качению 0<Mк<Mк.max (не зависит от радиуса). Коэффициент трения качения δ припредельном состоянии равновесия (при Qmax) N (сила нормального давления) отстает на δ от вертикальногорадиуса.

δ не зависит от материала, из которого сделано тело. Определяется экспериментально.Вопрос 22:Полная и локальная производные вектора. Формула Бура.Рассмотрим изменение вектора b(t) по отношению к двум системам координат —подвижной O'XYZ и неподвижной Oxyz.Абсолютной, или полной, производной вектора b по аргументу t назьшается векторопределяющий изменение вектоpa b(t) в неподвижной системе Oxyz.Относительная, или локальная, производнаяподвижной системе O'XYZ.определяет измененине вектора b(t) вФормула Бура (получается из зависимости между полной и локальной производными):Рассомтрим частные случаи.1) угловая скорость = 0, то2) вектор b не меняется в подвижной системе отсчета3)=0), то, т.е. вектор b все время параллелен вектору угловой скорости (), то=.

В частности, еслито, т.е. вектор угловой скорости изменяется одинаково для подвижной и неподвижной систем координат.Выведение формулы Бура:Найдем зависимость между полной и локальными производными. Если воспользоваться проекциями вектора b(t) на осиподвижной системы O'XYZ, то можно записать:отсчета. Поэтому локальная производная, где I, J, К — орты, не изменяемые в этой системе, а полная производнаяс учетом изменения такжеортов I, J , К имеет вид:. В правой части уравнения первые трислагаемых выражают локальную производную, а производные от ортов I, J, K определяются формулами Пуассона (), т.е.получаем:. С учетом.Вопрос 49:Центр тяжести тела. Методы нахождения центра тяжести.Центр тяжести – центр системы параллельных сил тяжести частиц тела.

Его радиус-вектор rC=∑Piri/P.XC=∑Pixi/P; Yc=∑Piyi/P; ZC=∑Pizi/PВес тела P=∑Pi, Pi – сила тяжести частицы.Методы определения координат центра тяжести тела.1) Свойства симметрии: если тело имеет плоскость, ось или центр симметрии, то центр тяжести лежит на них.2) Разбиение: Если известны центры тяжести отдельных частей тела, тоrC=(V1rC1+V2rC2+…+VnrCn)/VОтрицательные массы:rC=VсплrC-V1rC1-…-VnrCn, где Vk, rCk – объемы и радиус-векторы пустот тела.3) Интегрирование: если тело нельзя разбить)XC=(∫xdV)/V, YC=(∫ydV)/V,ZC=(∫zdV)/VКогда тело нельзя разбить на составные части, центры тяжести которых известны, используют методинтегрирования, являющийся универсальным.,Вопрос 27:Пара вращений.При противоположных направлениях векторов ωe и ωrи равенстве их модулей (ωe = ωr), если условие ωe=-ωrвыполняется на отрезке времени t2-t1, абсолютное движение будет поступательным. Такой случай сложениявращательных движений называется парой вращений.Действительно, ω=ωe+ωr= -ωr+ωr=0, и для любой точки тела справедливы соотношения:v=ωe×r1+ωr×r2=ωe×(r1-r2)=ωe×OeOr=ωr×OrOe;Следовательно, скорости всех точек тела в данном случае одинаковы и равны скорости поступательногодвижения.Вопрос 39:Теорема о приведении произвольной системы сил к силе и паре сил - основная теоремастатики.Теорема Пуассо: Произвольная система сил, действующих на твердое тело, можно привести к какому-либоцентру О, заменив все действующие силы главным вектором системы сил R, приложенным к точке О, иглавным моментом MO системы сил относительно точки О.Доказательство:Пусть О – центр приведения.

Переносим силы F1, F2,…,Fn в точку О: FO=F1 +F2+…+Fn= ∑Fk. При этомполучаем каждый раз соответствующую пару сил (F1,F1”)…(Fn,Fn”), Моменты этих пар равны моментамэтих сил относительно точки О. M1=M(F1,F1”)=r1xF1=MO(F1). На основании правила приведения систем парк простейшему виду MO=M1+…+M2=∑MO(Fk)= ∑rkxFk => (F1, F2,…,Fn) ~ (R,MO) (не зависит от выбораточки О).При приведении системы сил к заданому центру возникает главный вектор R равный сумме всех сил иглавный момент Мо, равный сумме моментов всех сил относительно центра приведения.Вопрос 26:Сложное вращение твердого тела вокруг параллельных осей.Если оси вращательных движений тела параллельны, то векторрезультирующей угловой скорости ω тела в неподвижной системекоординат будет коллинеаренωе и ωr. Положение мгновенной осивращения тела как оси, проходящей в данный момент времени черезточку Р – МЦС в плоскости П, перпендикулярной осям вращений,можно определить из анализа: vrP=ωr×OrP, veP=ωe×OeP, Or, Oe – точкипересечений П с соответствующими осями вращения.vP=veP+vrP=0veP= -vrPveP= vrPωrOrP=ωeOeP.В зависимости от взаимного расположения и численного значениявекторов ωr и ωe можно выделить 3 случая сложения вращательных движений:А) При совпадении направлений векторов ωe и ωr абсолютное движение будет плоским.