Ответы A4 на теоретические вопросы к экзамену (К экзамену АК (ответы, билеты, вопросы)), страница 3

Приложим к какой-либо точке В систему F’ и F”.|F|=|F’|=|F”|. F~(F,F’,F”), т.к. (F’,F”) ~ 0, тоF ~ (F,F’,F”) ~ (F,F’,F”) ~ (F’,M(F,F”)).НоM(F,F”)=BAxF=MB(F).Получаем:F~ (F’,M(F,F”))Ч. т. д.Вопрос 19:Скорости и ускорения точек тела при его вращении вокруг неподвижной точки.VA=ω×rA. Пусть точка М лежит на мгновенной оси вращения.ij kVM=ω×rM= ωxωyωzXMYMZMX/ωx=Y/ωy=Z/ωz – мгновенная ось вращения.aA=dv/dt=dω/dt×rA+ω×drA/dt=ε×rA+ω×vA=aAвр+aAос.aAвр=ε×rA – вращательное ускорение точки.aAос=ω×vA – осестремительное ускорение точки.Формула Ривальса: aAoc=ωvAsin(ω, vA).

aвр направлен перпендикулярно плоскости (ε,r) в сторону, откудапереход от ε к r виден против часовой стрелки.aвр направлен по перпендикуляру к плоскости (ω,v).Скорости точек тела пропорциональны расстояниям от этих точек до мгновенной оси.Вопрос 34:Аналитические выражения для моментов силы относительно осей координат.Используя связь момента силы относительно оси с векторным моментом силы относительно точки на оси,можно получить формулы для вычисления моментов относительно осей координат, если даны проекциисилы на оси координат и координаты точки приложения силы.i j kMO(F)=xAyAzA=>FxFyFzMOx(F)=yFz-zFy MOy(F)=zFx-xFzMOz(F)=xFy-yFxПо этим формулам получают необходимые знаки для MOx(F), MOy(F), MOz(F) если проекция силы F на осикоординат и координаты x,y,z точки приложения силы подставлять в них со знаками этих величин.При решении задач момент силы относительно какой-либо оси часто получают, используя его определение,т.е. проецируя силу на плоскость, перпендикулярную оси, и вычисляя затем алгебраический момент этойпроекции относительно точки пересечения оси с этой плоскостью.Вопрос 20:Скорости и ускорения точек твердого тела при его свободном движении.Разложение общего вида движения на поступательное, связанное с точкой О, и вращательное относительно О.Переносное движение - поступательное движение вместе с полюсом.

(Ve)Относительное движение - вращательное движение относительно полюса. (Vr)Поступательное:X1o=f1(t); Y1o=f2(t); Z1o=f3(t).Вращательное:Ψ=f4(t); φ=f5(t); θ=f6(t).Таким образом, число степеней свободы при свободном движении твердого тела равно 6.ρA=ρо+rvA=dρ/dt+dr/dt=vo+ω×r.aA=dvA/dt=dvo/dt+dω/dt×r+ω×dr/dt=ao+ε×r+ω²r=ao+aAвр+aAос.1) Полюс - т. А: vB = vA + ωS*AB2) Полюс - т. В: vA = vB + ωB*BA = vB - ωB*AB1) + 2) : (vB + vA) = (vA + vB) + ω*AB- ωB*AB(ωA - ωB)*AB = 0Вопрос 33:Связь векторного момента силы относительно точки с моментом силы относительно оси, проходящейчерез эту точку.Момент силы F относительно оси z равен проекции на эту ось вектора момента силы Fотносительно произвольной точки Она этой оси.Доказательство:Пусть О – произвольная точка на оси z.

Момент силы F относительно точки О перпендикулярен плоскости ОАВMO(F)┴(OAB). Пусть угол междуMO(F) и осью z равен α. Тогда ПрzMO(F)=2SΔO’A’B’= 2SΔOAB∙cosα =>Mz(F) = |MO(F)|cosα.Ч.т.д.2*S(OA'B') = 2*S(OAB)*cosα| Moz(F) | = | Mo(F) |*cosαMCOO = проекции на эту ось векторному МСОТВопрос 21:Сложное движение точки. Основные понятия.Сложное движение – движение по отношению к системе координат, выбранной за основную (абсолютную).Относительное движение – движение точки по отношению к подвижной системе координат.Переносное движение – движение подвижной системы координат относительно неподвижной. Установление связи междуэтимидвижениями позволяет решать различные задачи.Положение точки М в подвижной системе координат O'XYZ характеризует радиус-векторс началом в точке О'.Траектория точки М в подвижной системе отсчета называется относительной траекторией и представляет собой годографрадиус-вектораСкорость движения точки М по отношению к осям подвижной системы координат называетсяотносительной скоростью и обозначается Vr.

Вектор Vr определяет скорость изменения с течением времени радиус-векторав подвижной системе O'XYZ и поэтому выражается его относительной, или локальной, производной по времени,Ускорение точки М в этом движении называется относительным ускорением и обозначается аr. Вектор аr характеризуетскорость изменения вектора относительной скорости Vr в подвижной системе O'XYZ и поэтому выражается относительной,или локальной, производной по времени от Vr:Движение подвижной системы O'XYZ по отношению к неподвижной Oxyz является для точки М переносным движением, аскорость и ускорение той неизменно связанной с подвижнойсистемой отсчета точки А, с которой в данный момент времени совпадает точка М, называют переносными скоростью иускорением точки М и обозначают Ve и ае.Переносные скорость и ускорение точки М определяются по формулам:Vo' и ao' - скорость и ускорение точки О' подвижной системы координат., где вектораВопрос 48:Центр системы параллельных сил.

Формула для радиус-вектора и координат центра системыпараллельных сил.На каждую частицу тела, находящегося вблизи поверхности Земли, действует направленная вертикально вниз сила, котораяназывается силой тяжести. Силы тяжести каждой частицы тела, строго говоря, направлены по радиусам к центру Земли и неявляются параллельными. Но для тел, размеры которых малы по сравнению с размерами Земли, непараллельность настольконезначительна, что в расчетах с большой точностью силы тяжести их частиц можно считать параллельными, сохраняющимисвои значения, точки приложения и параллельность при любых поворотах тела.

Поэтому, обозначив силу тяжести частицычерез Рк , можно, согласно формулами, найти точку С, котораянеизменно связана с телом и называется центром системы параллельных сил тяжести.Таким образом, центром тяжести твердого тела называется центр системы параллельных сил тяжести частиц данного тела.Дано :F1 || F2 .R=F1+F2. MC(R)=MC(F1)+MC(F2)=0F1∙CA1=F2∙CA2. ПовернемF1 и F2 на угол α, при этом Rповернется тоже на угол α. С – центр параллельных сил.То же самое, если сил несколько и не по одной прямой. R=∑Fi, R||Fi (точка С принадлежит R) MO(R)=∑MO(Fi),rC×R=∑(ri×Fi).Введем единичный вектор eFk=Fk∙eR=∑Fk∙e.rC×∑Fi∙e=∑ri×(Fi∙e).

∑FirC×e=∑Firi×e.(∑FirC-∑Firi)×e=0rC=∑Firi/∑Fi.Координаты центра системы параллельных сил:XC=∑Fixi/R; YC=∑Fiyi/R;ZC=∑Fizi/rВопрос 23:Сложное движение точки.Скорости и ускорения точки при сложном движении.Сложное движение – движение по отношению к системе координат, выбранной за основную (абсолютную).Относительное движение – движение точки по отношению к подвижной системе координат.Переносное движение – движение подвижной системы координат относительно неподвижной.Установление связи между этими движениями позволяет решать различные задачи.Положение точки М в подвижной системе координат O'XYZ характеризует радиус-векторс началом вточке О'.Скорость движения точки М по отношению к осям подвижной системы координат называетсяотносительной скоростью и обозначается Vr.

Вектор Vr определяет скорость изменения с течением временирадиус-векторав подвижной системе O'XYZ и поэтому выражается его относительной, или локальной,производной по времени,ρ = r0 + rdp/dt = d(r0+r)/dt = dr0/dt + dr/dtdp/dt = v0 + dr/dt + ω*r = v0 + vr + ω*rv = v0 + ω*r + vr = ve + vrВопрос 49:Центр тяжести тела. Методы нахождения центра тяжести.Центр тяжести – центр системы параллельных сил тяжести частиц тела. Его радиус-вектор rC=∑Piri/P.XC=∑Pixi/P; Yc=∑Piyi/P; ZC=∑Pizi/PВес тела P=∑Pi, Pi – сила тяжести частицы.Методы определения координат центра тяжести тела.1) Свойства симметрии: если тело имеет плоскость, ось или центр симметрии, то центр тяжести лежит наних.2) Разбиение: Если известны центры тяжести отдельных частей тела, тоrC=(V1rC1+V2rC2+…+VnrCn)/VОтрицательные массы:rC=VсплrC-V1rC1-…-VnrCn, где Vk, rCk – объемы и радиус-векторы пустот тела.3) Интегрирование: если тело нельзя разбить)XC=(∫xdV)/V, YC=(∫ydV)/V,ZC=(∫zdV)/VКогда тело нельзя разбить на составные части, центры тяжести которых известны,используют метод интегрирования, являющийся универсальным.Вопрос 21:Сложное движение точки.

Сложение ускорений.Ускорение Кориолиса.Сложное движение – движение по отношению к системе координат, выбранной за основную (абсолютную).Относительное движение – движение точки по отношению к подвижной системе координат.Переносное движение – движение подвижной системы координат относительно неподвижной.

Установление связи междуэтими движениями позволяет решать различные задачи.Положение точки М в подвижной системе координат O'XYZ характеризует радиус-векторс началом в точке О'.Ускорение точки М в этом движении называется относительным ускорением и обозначается аr. Вектор аr характеризуетскорость изменения вектора относительной скорости Vr в подвижной системе O'XYZ и поэтому выражается относительной,или локальной, производной по времени от Vr:Движение подвижной системы O'XYZ по отношению к неподвижной Oxyz является для точки М переносным движением, аскорость и ускорение той неизменно связанной с подвижной системой отсчета точки А, с которой в данный момент временисовпадает точка М, называют переносными скоростью и ускорением точки М и обозначают Ve и ае.a = dv/dt = d(v0 + ω*r +vr)/dt = a0 + (dω/dt)*r + ω*(dr/dt) + dvr/dtdr/dt = d(~)r/dt + ω*r = vr + ω*rdvr/dt = d(~)vr/dt + ω*vr = ar + ω*vra = a0 + ε*r + ω*vr + ω*vr + ω*(r*ω) + ar + ω*vr = a0 + a(вр) + ω*vr + ω*vr + а(ос) + ar + ω*vra = a0 + ε*r + ω*(r*ω) + ar + + 2*ω*vr, где 2*ω*vr - добавочное (поворотное) ускорение, a0 + ε*r + ω*(r*ω) - (ае) переносноеускорение.Опр-е ускорения точки в сложном движенииVM=VO+[ωr]+ VrWM=dVM/dt=(dVO/dt)+[ εr]+[ ω(dr/dt)]+dVr/dtdr/dt=[ ωr]+ VrWM=Wo+[ εr]+ [ω[ωr]]+[ ωVr]+ [ ωVr]+WrdVr/dt=[ ωVr]+ WrWk=2[ωVr]WM=WL+Wr+WK – кинематическая теорема КориолисаКинематическая теорема Кориолиса: абсолютное ускорение точки является векторной суммой трех ускорений относительного, переносного и ускорения Кориолиса.Переносное ускорение хар-ет измен-е переносной скорости впереносном движении, относительное – в относительном.Ускорение Кориолиса хар-етизм-е относительной скорости впереносном движении.

Оно равно удвоенному векторному произведению угловой скорости переносного движения наотносительную скорость точки:, следовательно по модулю ускорение Кориолиса:.Кориолисово ускорение обращаетсяв нуль, когда:1) переносное движение - поступательное, т.е. омега переносное равно нулю;2) в те моменты времени, когда в относительном движении точка останавливается, например.при изменении направленияотносительного движения.Частные случаи:А) ω0 – смена знакаБ) vr0 – относительный покой (смена знака движения).В) sin(ω,vr)0, ω||vr.Правило Жуковского: Кориолисово ускорение можно получить, спроецировав вектор радиальной скорости на плоскость,перпендикулярную вектору омега переносное, увеличив полученную проекцию радиальной скорости в 2*(омега переносное)раз и повернув ее на 90 градусов в направлении переносного вращения.Вопрос 38:Лемма о параллельном переносе силы.Сила, приложенная к какой-либо точке твердого тела, эквивалентна такой же силе, приложенной к любой другой точке тела,и паре сил, момент которой равен моменту данной силы относительно новой точки приложения.Доказательство: пусть дана сила F.