Ответы A4 на теоретические вопросы к экзамену (К экзамену АК (ответы, билеты, вопросы)), страница 2

Момент силы F относительно точки О перпендикулярен плоскостиОАВMO(F)┴(OAB). Пусть угол междуMO(F) и осью z равен α. Тогда ПрzMO(F)=2SΔO’A’B’= 2SΔOAB∙cosα =>Mz(F) =|MO(F)|cosα.Ч.т.д.2*S(OA'B') = 2*S(OAB)*cosα| Moz(F) | = | Mo(F) |*cosαMCOO = проекции на эту ось векторному МСОТВопрос 8:Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси. Скорости и ускорение точек тела.Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси – такое его движение, при котором две точки телаостаются неподвижными в течении всего времени движения.φ=φ(t) – угол поворота, n=1 степень свободы. Для задания вращения вокруг неподвижной оси необходимовыбрать ось, начало отсчета угла поворота и его положительное направление и задать зависимость углаповорота от времени.

ω=dφ/dt – угловая скорость(рад/с). ε=dω/dt= d²φ/dt² - угловое ускорение(рад/с2).Скорость любой точки тела, не лежащей на оси v=ωxr, ускорение a=dv/dt=(dω/dt)xr+ ωxdr/dt=εxr+ωx(ωxr),где aτ=εxr.Tga=|at| /an=E/ω2 – угол между полным ускорение и радиусом вращения.Скорость точек тела при вращении вокруг неподвижной оси пропорциональны их кратчайшим расстояниямдо этой оси.U=h*ω – модуль скорости точки.Частные случаи:1) ω=const – равномерное вращение (φ=φº+ωt ).2) ε=const – равноускоренное вращение (ω=ωº+εt, φ=φº+ωt+ εt²/2).Вопрос 39:Теорема о приведении произвольной системы сил к силе и паре сил - основная теоремастатики.Теорема Пуассо: Произвольная система сил, действующих на твердое тело, можно привести к какому-либоцентру О, заменив все действующие силы главным вектором системы сил R, приложенным к точке О, иглавным моментом MO системы сил относительно точки О.Доказательство:Пусть О – центр приведения.

Переносим силы F1, F2,…,Fn в точку О: FO=F1 +F2+…+Fn= ∑Fk. При этомполучаем каждый раз соответствующую пару сил (F1,F1”)…(Fn,Fn”), Моменты этих пар равны моментамэтих сил относительно точки О. M1=M(F1,F1”)=r1xF1=MO(F1). На основании правила приведения систем парк простейшему виду MO=M1+…+M2=∑MO(Fk)= ∑rkxFk => (F1, F2,…,Fn) ~ (R,MO) (не зависит от выбораточки О).При приведении системы сил к заданому центру возникает главный вектор R равный сумме всех сил иглавный момент Мо, равный сумме моментов всех сил относительно центра приведения.Первый вопрос – комплексный. Постарайтесь найти ответ на него сами, он содержится сразу в несколькихвопросах со стенда.Вопрос 45:Инварианты системы сил.

Частные случаи приведения.Инварианты в статике, такие величины, для рассматриваемой системы сил, которые не изменяются приизменении центра приведения.Виды инвариантов:1) Векторный инвариант - главный вектор системы сил (R);2) Скалярный инвариант.L0 * R = L01 * RL01 = L0 + O1O * RL01 * R = L0 * R + (O1O * R) * R = L0*R + (R * R) * O1OL01 * R = L0 * RСкалярное произведение главного вектора на главный момент не зависит отцентра приведения.L01 * R * cosα = L0 * R * cosαL01 * cosα = L0 * cosαПроекция главного момента на шлавный вектор не зависит от центраприведения.Частные случаи приведения системы сил:1) Приведение к паре сил.В этом случае система сил приводится к одной паре.R0 = R = 0L01 = L0 + O1O * R2) Приведение к равнодействующей.а) Если L0 = 0, то R = R*.Линия действия проходит через центр приведения.б) Если R≠0 , L0≠0, но R перпендикулярен L0.OY перпендикулярен (L0,R)d= L0 / R = OO1| M01(R) | = d * R = L0Отбросим (L,M0(R)), т.к.

~0 и останется R*.Плоская система сил всегда может быть приведена к равнодействующей.1)Приведение к динамическому винту (к динаме).Динамический винт - такая совокупность главного момента и главного вектора, когда векторы параллельны.L0 = L1 + L2|L1| = L0 * cosαL2 = L0 * sinαd = L2 / RM01(R) = O1O * RL0 * R = L0 * R * cosα = LxRx + LyRy + LzRzL0 = Lxi + Lyj + LzkR = Rxi + Ryj + Rzkcosα = (RxLx + RyLy + RzLz)/(L0*R)Вопрос 14:Соотношение между ускорениями двух точек плоской фигуры при плоском движении.Ускорение какой-либо точки плоской фигуры при плоском движении равно векторной сумме ускоренияполюса и ускорения этой точки от вращательного движения плоской фигуры вокруг полюса.vB=vA+ωxAB.aB=dvB/dt=dvA/dt+(dω/dt)xAB+ ωx(dAB/dt)=aA+εxAB+ωx(ωxAB).Считая, что εхАВ=(aBA)τ;(aBA)n=ω²∙AB, окончательно получим:aB=aA+(aBA)τ+(aBA)naA– ускорение полюса;aBA – ускорение движения вокруг полюса.Вопрос 46:Трение скольжения.

Законы Кулона.Между движущимися телами в плоскости их соприкосновения возникает сила трения скольжения.Обусловлено это, прежде всего, шероховатостью соприкасающихся поверхностей и наличием сцепления уприжатых тел.В инженерных расчетах обычно пользуются установленными опытным путем закономерностями, которые снекоторой степенью точности отражают действие силы трения. Эти закономерности называют законамитрения скольжения (Кулона). Их можно сформулировать следующим образом:1)Сила трения скольжения лежит в интервале 0FтрFмах;2) Сила трения скольжения не зависит от площади соприкасающихся тел, а зависит лишь от силы давленияэтого тела на поверхность3)Сила тр.скольженияопр-ся по ф-ле: Fтр=fN, N-сила реакции опоры =Р, f-коэф-т трения скольжения4)Коэф-т трения скольжения завис.от шероховатостей пов-тей трущихся тел, от температуры, отфизич.состояния материала.Вопрос 12:Мгновенный центр скоростей.

Способы нахождения.При плоском движении твердого тела в каждый момент времени существует точка, скорость которой равнанулю. vP=vO+vPO=0, vO=ω∙OP=>OP= vO/ω.Если мгновенный центр скоростей известен, то скорости точек плоской фигуры при ее движении в своейплоскости вычисляют так же, как и в случае вращения фигуры в рассматриваемый момент вокруг своегомгновенного центра скоростей с угловой скоростью w.Если известны скорости двух точек плоской фигуры, мгновенный центр скоростей находится напересечении перпендикуляров к скоростям этих точек.Способы нахождения:1) на основе физического условия задачи.2) На основе предварительного определения скорости двух точек.Вопрос 47:Трение качения. Коэффициент трения качения.Круглое тело вдавливается в опорную поверхность (дуга CD).

Трение качения – сопротивление,возникающее при качении одного тела по поверхности другого. Полная реакция N’ опорной поверхностипрепятствует качению.Нам нужен момент сопротивления качению => заменим N’ и представим в виде Fтр. и N, приложенных вточкеВ, смещенной от центра на δ.

Условия равновесия: N=P, F=Q. QmaxR=δN. Mтр.max=δ∙N. Моментсопротивления качению 0<Mк<Mк.max (не зависит от радиуса). Коэффициент трения качения δ припредельном состоянии равновесия (при Qmax) N (сила нормального давления) отстает на δ от вертикальногорадиуса. δ не зависит от материала, из которого сделано тело. Определяется экспериментально.Вопрос 18:Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки.

Углы Эйлера.Движение твердого тела, у которого одна точка неподвижна, называется сферическим. Количество степеней свободы n=3.(XA, YA, ZA).Положение тела определяется с помощью углов Эйлера. Определение: свяжем с телом подвижную систему координат Oxyz.Плоскость xOy пересекает неподвижную плоскость x1Oy1 по прямой ОК – линии узлов.Ψ – угол прецессии;φ – угол собственного вращенияθ – угол нутации.Все углы против часовой стрелке.Если заданы функции Ψ=f1(t); φ=f2(t); θ=f3(t) то движение полностью определено.Вопрос 42:Условия равновесия произвольной системы сил.

Частные случаи.R=0 и Lo=0 –ур-я равновесия. Им соотв-ют 6 скалярных алгебраических ур-1 равновесия для простр.системы сил:Fkх=0 Fkу=0 Fkz=0 Мх(Fk)=0 Му(Fk)=0 Мz(Fk)=0 – аналитическое условие равновесия для произвольной системысил.Пусть все силы пл-тихоу, тогда: Fkх=0 Fkу=0 Мо(Fk)=0 условие равновесия для произвольной плоской системы сил.Условие равновесия для плоской системы параллельных сил.Пустьсилы оси оу, тогда Fkх=0 Мо(Fk)=0Условие равновесия для пространственной системы параллельных сил.F1, F2, F3,…,Fn оси оz, тогда: Fkz=0 Мх(Fk)=0 Му(Fk)=0Вторая форма условия равновесия для пороизвольной плоской системы сил:МА(Fk)=0 МВ(Fk)=0 МС(Fk)=0 – причемт.А, т,В, т.С одной прямой.- Докажем необходимость этих условий:Допустим, система сил нах-ся в равновесии. Тогда очевидно, что  моментов всех сил относительно любой точки пл-ти=0,т.е.

выполняются эти 3 условия.- Докажем достаточность этих условий:Доказать достоточность – это значит доказать, что при выполнении этих усл-й система нах-ся в равновесии. Доказыватьбудем методом от противного, поэтому предположим, что эти усл-я выполняются, но система не нах-ся в равновесии, т.е.существует R*0 эквив.даннойсист.сил.Рассмотрим усл-е первое и 2-е: для того, чтобы они выполнялись необходимо, чтобы R* проходил через т.А и т.В.

Согласнотретьему условию hR=0. Поскольку т.С прямой АВ это может выполняться только в случае R*=0, т.е. наше предположениене верно и система действительно нах-ся в равновесии.Третья форма усл-я равновесия для произвольной плоской системы сил.Fkz=0 МА(Fk)=0 МВ(Fk)=0 – причем ось ох не перпендикулярна АВ.- Необходимость этого усл-я очевидна, т.к.если система нах-ся в равновесии, то главный вектор и главный момент =0относительно любой точки.- Докажем достаточность этих условий:Предположим, что система не нах-ся в равновесии и сущ-ет, т.е.

сущ-етR* и R* 0 является равнодействующей даннойсистемы сил. Для того, чтобы выполнялось усл-е 2 и 3 необходимо, чтобы R* проходил через АВ.Потребуем выполнения усл-я R*cos=0, поскольку х не перпендикулярна АВ , то R* должно быть равно 0, т.о. мы доказали,что эти усл-я достаточны для того чтобы система находилась в равновесии.На основании двух изложенных форм ур-й равновесия для плоской системы параллельных сил можно записать еще один видур-я равновесия для плоской системы параллельных сил:МА(Fk)=0 МВ(Fk)=0, АВ не параллельнаF1, F2, F3,…,FnВопрос 13:Определение скоростей точек плоской фигуры с помощью МЦС.Зная положение МЦС и скорость какой-либо точки фигуры, можно найти скорости всех точек плоскойфигуры. Пусть P – МЦС и известна скорость какой-либо точки фигуры vА, тогда ω= vА/AP.

vB= vАPB/PA.Соединив конец вектора vB с точкой Р, получим распределение скоростей вдоль отрезка РВ.Если мгновенный центр скоростей известен, то скорости точек плоской фигуры при ее движении в своейплоскости вычисляют так же, как и в случае вращения фигуры в рассматриваемый момент вокруг своегомгновенного центра скоростей с угловой скоростью w.Вопрос 43:Теорема Вариньона о моменте равнодействующей силы.Если данная система сил имеет равнодействующую, то момент равнодействующей относительнопроизвольной точки О равен сумме моментов относительно той же точки.Пусть система сил (F1, F2,…,Fn) приводит к равнодействующей R, проходящей через точку С пересечениялиний действия сил.

Возьмем произвольную точку О, тогда:MO(R)=rxR=rx∑Fi=∑(rxFi)= ∑MOi(Fi).Ч. т. д..Вопрос 16:Мгновенный центр ускорений. Способы нахождения.МЦУ – точка плоской фигуры, ускорение которой в данный момент времени равно нулю.aQ=aA+aAQ=0. Угол между aQA и QAtgα=aBAτ/aBAn=ε/ω², aAQ=√aAQτ+aAQn=AQ√ ε²+ω4- 1 способ нахождения МЦУ:Отложить от точки А под углом α=arctg(ε/ω²) к aA отрезок AQ=aA/√(ε²+ω4 в направлении круговой стрелки ε.- 2 способ нахождении МЦУ основан на условии задачи – если ускорение какой-либо точки по условиюзадачи равно нулю, то эта точка является МЦУ.Ускорения точек плоской фигуры при плоском движении можно определить так же, как и привращательном движении плоской фигуры вокруг мгновенного центра ускорений с угловой скоростью w иугловым ускорение E.В общем случае мгновенный центры скоростей и ускорений являются различными точками плоскойфигуры.Вопрос 38:Лемма о параллельном переносе силы.Сила, приложенная к какой-либо точке твердого тела, эквивалентна такой же силе, приложенной к любойдругой точке тела, и паре сил, момент которой равен моменту данной силы относительно новой точкиприложения.Доказательство: пусть дана сила F.