Ответы A4 на теоретические вопросы к экзамену (К экзамену АК (ответы, билеты, вопросы))

Вопрос 1: Векторный способ задания движения.Траектория определяется годографом радиус-вектора точки.Положение точки М определено, если радиус-вектор rиз центра О выражен функцией времени tr= r(t) задан способ определения модуля вектора и его направления, если имеется система координат. Скорость иускорение:tr(t), тогда(t+Δt)r(t+Δt), получаемΔr=r(t+Δt)-r(t) Vср=Δr/Δt. V=lim(Δr/Δt)=dr/dt.aср=ΔV/Δt. a=lim(Δv/Δt)=dV/dt= d²r(t)/dt².Переход от векторной формы к координатной:r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k.Обратно:x=r(t)×i, y=r(t)×j, z=r(t)×k.Вопрос 37:Эквивалентность пар.

Сложение пар. Условия равновесия пар сил.Эквивалентность: А) 2 пары, имеющие равные моменты, эквивалентны. Пару сил можно перемещать,поворачивать в плоскости действия, перемещать в параллельную плоскость, менять одновременно силу иплечо.Б) 2 пары, лежащие в одной плоскости, можно заменить на одну пару, лежащую в той же плоскости смоментом, равным сумме моментов этих пар.M=M(R,R’)=BA×R=BA×(F1+F2)=BA×F1+BA×F2. При переносе сил вдоль линии действия момент пары неменяется BA×F1=M1, BA×F2=M2, M=M1+M2.СЛОЖЕНИЕ. 2 пары, лежащие в пересекающихся плоскостях, эквивалентны 1 паре, момент которой равенсумме моментов двух данных пар.Дано: (F1, F1’), (F2, F2’)Доказательство:Приведем данные силы к плечу АВ – оси пересечения плоскостей. Получим пары:(Q1,Q1’) и (Q2,Q2’).

При этом M1=M(Q1,Q1’)=M(F1, F1’),M2=M(Q2,Q2’)=M(F2, F2’).Сложим силы R=Q1+Q2, R’=Q1’+Q2’. Т. к. Q1’= - Q1, Q2’= - Q2R= -R’. Доказано,чтосистемадвухпарэквивалентнасистеме (R,R’). M(R,R’)=BA×R=BA×(Q1+Q2)= BA×Q1+BA×Q2=M(Q1,Q1’)+M(Q2,Q2’)=M(F1,F1’)+ M(F2,F2’) M=M1+M2.УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ:Система находится в равновесии, если суммарный момент всех пар сил, действующих на тело, равен нулю.M1+ M2+…+Mn=0.Вопрос 2:Движение в декартовой системе координат.Вектор r можно разложить по базису I, j, k: r=xi+yj+zk.Движение материальной точки полностью определено, если заданы три непрерывные и однозначныефункции от времени t: x=x(t), y=y(t), z=z(t), описывающие изменение координат точки со временем.

Этиуравнение называются кинематическими уравнениями движения точки. Радиус-вектор r является функциейпеременных x, y, z, которые, в свою очередь, являются функциями времени t. Поэтому производная r‫(׳‬t)может быть вычислена по правилуdr/dt=∂r/∂x∙dx/dt+∂r/∂y∙dy/dt+∂r/∂z∙dz/dt.Отсюда вытекает, что v=vxi+vyj+vzk.V=√(vx²+vy²+vz²)Ускорением точки в данный момент времени назовем вектор а, равный производной от вектора скорости vпо времени.

А=x‫(׳׳‬t)I+y‫(׳׳‬t)j+z‫(׳׳‬t)k.А=√((x‫(׳׳‬t))²+(y‫(׳׳‬t))²+(z‫(׳׳‬t))²).Вопрос 28:Аксиомы статики.1) 2 силы, приложенные к абс. твердому телу будут эквивалентны 0 тогда и только тогда, когда они равны помодулю, действуют на одной прямой и направлены в противоположные стороны.Следствие. Сумма всех внутренних сил всегда равна нулю.2) Действие данной системы сил на абсолютно твердое тело не изменится, если к ней добавить или отнятьсистему сил, эквивалентную 0 => точку приложения силы можно переносить вдоль линии еѐ действия.3) Если к телу приложены 2 силы, исходящие из одной точки, то их можно заменить равнодействующей(любую силу можно разложить на составляющие бесконечное число раз).4) Силы взаимодействия двух тел равны по модулю и противоположны по направлению.5) Механическое состояние системы не изменится, если освободить ее от связей, приложив к точкам системысилы, равные реакциям связей.Действие связей можно заменить действием сил – реакций связи.Вопрос 3:Естественный способ задания движения.Если задана траектория движения точки, выбрано начало и положительное направление отсчета и известнаS=S(t) зависимость пути от времени, то такой способ задания движения точки называется естественным.V=dr/dt∙dS/dS=S‫(׳‬t)∙dr/dS=S‫(׳‬t)∙τ= =vτ∙τ.

Dr/dS=τ. Τ направлена всегда в «+» направлении отсчетаS.A=dv/dt=S‫(׳׳‬t)∙τ+S‫(׳‬t)∙dτ/dt=S‫∙׳׳‬τ+ (S‫)׳‬²n/ρ. Aτ=S‫׳׳‬-тангенциальное ускорение, an=(S‫)׳‬²/ρ-нормальное(центростремительное) ускорение, ρ-радиус кривизны.A=√((aτ)²+(an)²).Вопрос 31:Алгебраический и векторный моменты силы относительно точки.Алгебраическим моментом М=+-F*d( пара ).

Он не меняется при перемещении сил вдоль линии их действия( ни плечо, ни направления вращения не меняются).Векторный момент – вектор М=М(F,F*), направлен перпендикулярно плоскости пары в ту сторону, откудавидно стремление пары повернуть тело против часовой стрелки, его модуль равен алгебраическому моментупары.Момент относительно точки.Алгебраическим моментом силы F относительно точки О называется взятое со знаком «+» или «-»произведение |F| на ее плечо: M0(F)=+-Fh. «+» - против часовой стрелки. Характеризует вращательныйэффект F.Свойства:А) Не меняется при переносе точки приложения вдоль линии действия силы ( т.к. |F|sinA=const).Б) М=0 если т.О лежит на линии действия силы.

Плоскость действия М - через F и О.Векторный момент силы F относительно точки О – вектор M0(F)=r*F (r – радиус вектор из А в О).|M0(F)=|F|*|r|*sinA=Fh.|ijkMO(F)=xAyAzA=>FxFyFzMOx(F)=yFz-zFy MOy(F)=zFx-xFzMOz(F)=xFy-yFxТеорема Вариньона - момент равнодействующий относительно какой-либо точки равен сумме моментов силее составляющих.Вопрос 4:Движение в полярной системе координат.Ox – полярная ось, φ – полярный угол, r – полярный радиус. Если задан закон r=r(t), φ=φ(t), то заданодвижение в полярной системе координат.

Пусть r=rºr, rº - единичный вектор, pº┴rº - единичный вектор.Тогда v=dr/dt=r‫׳‬rº+rdrº/dt=r‫׳‬rº+rφ‫׳‬pº=vrrº+vppº. vp и vr – трансверсальная и радиальная составляющая скорости.A=dv/dt=d(r‫׳‬rº+rφ‫׳‬pº)/ dt=r‫׳׳‬rº+r‫׳‬drº/dt+r‫׳‬φ‫׳‬pº+rφ‫׳׳‬pº+rφ‫∙׳‬dpº/dt=(r‫׳׳‬-(rφ‫)׳‬²)rº+(rφ‫׳׳‬+2r‫׳‬φ‫)׳‬pº= ar∙rº+appº.r²=x²+y², φ=arctg(y/x).vr=r‫(=׳‬xvx+yvy)/r,vp=rφ‫(=׳‬xvy-yvx)/r.Вопрос 35:Пара сил. Теорема о сумме моментов сил, составляющих пару, относительно произвольнойточки.Пара сил - система двух сил равных по модулю ипротивоположных по направлению.F1 = -F2R* = F1 - F2 = 0AC/F2 = BC/(R*) (стремится к бесконечности)(F1,F2) не эквивалентны 0Момент пары сил - произведение одной из сил на ее плечо.M(F1,F2) = M12 = ±F1*d = ±F2*dВекторный момент пары сил.MA = AB * F2MA = F2 * AB * sinα = F2dMB = BA * F1 = F1 * dM = MA = MB = S(ACBD)Теорема о сумме моментов сил, составляющих пару, относительнопроизвольной точки: Сумма моментов сил, входящих в состав парысил относительно любой точки не зависит от ее выбора и равнамоменту этой пары сил.F1 = -F2Mo(F2) + Mo(F1) = r2*F2 + r1*F1 = r2*F2 - r1*F2 = (r2 - r1)*F2 =AB * F2 = M(F1,F2)Теорема Пуассо: Произвольная система сил, действующих натвердое тело, можно привести к какому-либо центру О, заменив вседействующие силы главным вектором системы сил R, приложенным к точке О, и главным моментом MOсистемы сил относительно точки О.Доказательство:Пусть О – центр приведения.

Переносим силы F1, F2,…,Fn в точку О: FO=F1 +F2+…+Fn= ∑Fk. При этомполучаем каждый раз соответствующую пару сил (F1,F1”)…(Fn,Fn”), Моменты этих пар равны моментамэтих сил относительно точки О. M1=M(F1,F1”)=r1xF1=MO(F1). На основании правила приведения систем парк простейшему виду MO=M1+…+M2=∑MO(Fk)= ∑rkxFk => (F1, F2,…,Fn) ~ (R,MO) (не зависит от выбораточки О).Вопрос 6:Скорость точки в криволинейных координатах.При движении точки ее радиус вектор через обобщенные координатызависит от времени:r=r[q1(t),q2(t),q3(t)]V=dr/dt=(∂r/∂q1)∙dq1/dt+(∂r/∂q2)∙dq2/dt+(∂r/∂q3)∙dq3/dt.(qi)’=dqi/dt – обобщенная скорость точки.v=(dq1/dt)H1e1+(dq2/dt)H2e2+(dq3/dt)H3e3.v=√(dq1/dt)²H1²+(dq2/dt)²H2²+(dq3/dt)²H3².

vq1=(dq1/dt)H1, vq2=(dq2/dt)H2,vq3=(dq3/dt)H3.Пример:1) скорость в цилиндрической системе.Т.к. x=ρcosφ, y=ρsinφ, z=z, тоH1=1, H2=ρ, H3=1.vρ=dρ/dt, vφ=ρdφ/dt, vz=dz/dt.2) Движение по винтовой.ρ=R=const, φ=kt, z=ut.vρ=0, vφ=kR, vz=u.Вопрос 32:Момент силы относительно оси.Момент силы относительно оси – алгебраический момент проекции этой силы на ось,перпендикулярную оси z, взятого относительно точки A пересечения оси с этойплоскостью. Характеризует вращательный эффект относительно оси.Mz(F)=2SΔABC=F┴∙h.Если Mz(F)=0, то сила F либо параллельна оси z, либо линия еѐ действия пересекаетось z.Второе правило определения момента силы относительно оси: Момент силыотносительно оси называется произведение проекции силы на плоскостьперпендикулярную оси на плечо этой проекции относительно точки пересеченияплоскости с осью.Момент силы относительно оси Z: M0z(F) = ±hп * FпЧастные случаи: момент силы относительно оси = 0.а) Fп = 0б) hп = 0 (сила пересекает ось)Момент силы относительно оси = 0, если сила и ось находятся в одной плоскости.Момент сил относительно декартовых осей координат (проекции момента силы на эти оси).|iM0(F) = r * F = | x| FxFyFz |j k|y z | = (y*Fz - z*Fy)*i + (z*Fx - x*Fz)*j + (x*Fy - y*Fx)*kM0(F) = Mox(F)*i + Moy(F)*j + Moz(F)*kMox(F)=y*Fz - z*FyMoy(F)=z*Fx - x*FzMoz(F)=x*Fy - y*FxВопрос 5:Криволинейные координаты.

Координатные линии и оси.Устанавливают закон выбора 3 чисел q1, q2, q3 – криволинейные координаты (обобщенные координаты). Функция координат:r=r(q1,q2,q3) (из точки О).Возьмем точку М0 с координатами q1,q10,q20.X=X(q1,q20,q30);Y=Y(q1,q20,q30);Z=Z(q1,q20,q30);r=r(q1, q2, q3), q=q(t)Определяют кривую (переменная только q1). Кривая – координатная линия, соответствующая изменению q1 (аналогично q2 иq3). Касательные к координатным линиям, проведенные в точке M0 в сторону возрастания соответствующих координат –координатные оси: [q1], [q2], [q3].Вдоль каждой из координатных линий изменяется только одна криволинейная координата, а две другие сохраняютпостоянные значения, соответствующие рассматриваемой точке.H1=|∂r/∂q1|=sqrt( (∂x/∂q)^2+(∂y/∂q)^2+(∂z/∂q)^2) - kоэффициент Ламе.e1=(∂r/∂q1)/H1.Аналогично Н2, Н3, е2, е3.Вопрос 29:Основные виды связей и их реакции.Связи – ограничения, накладываемые на свободное твердое тело (занимает произвольное положение в пространстве).Реакция связи направлена в сторону, противоположную той, куда связь не дает перемещаться телу.Гладкая поверхность – по общей нормали.1)2)3)4)5)Нить – вдоль к точке закрепления.Цилиндрический шарнир (подшипник)Сферический шарнир – по любому радиусу.Подпятник, подшипник – любое направление.6)Невесомый стержень с шарнирами на концах.

Реакция прямолинейного невесомого стержня сшарнирами на концах направлена вдоль оси стержня. В отличие от нити такой стержень может передавать как силырастяжения, так и силы сжатия.Дополнительно:Скользящий; Внутренний.Вопрос * (его нет в списке вопросов):Число степеней свободы твердоготела в общем и частныхслучаях его движения.n=3N-k, где n-число степеней свободы, N-число точек, к-число связей. n =6-для свободного тв.телаДля тела, кот-е совершает сферич.дв-е достаточно 3 коор-ты, поскольку оно имеет 3 степени свободы.Вопрос 38:Лемма о параллельном переносе силы.Сила, приложенная к какой-либо точке твердого тела, эквивалентна такой же силе, приложенной к любойдругой точке тела, и паре сил, момент которой равен моменту данной силы относительно новой точкиприложения.Доказательство: пусть дана сила F. Приложим к какой-либо точке В систему F’ и F”.|F|=|F’|=|F”|.

F~(F,F’,F”), т.к. (F’,F”) ~ 0, тоF ~ (F,F’,F”) ~ (F,F’,F”) ~ (F’,M(F,F”)).НоM(F,F”)=BAxF=MB(F).Получаем:F~ (F’,M(F,F”))Ч. т. д.Вопрос 7:Поступательное движение твердого тела. Траектории, скорости и ускорение точек тела.Существует 5 видов движения – поступательное, вращательное вокруг неподвижной оси, плоское(плоскопараллельное), сферическое, общий случай. Поступательное движение твердого тела – движение,при котором любая прямая этого тела при движении остается параллельной самой себе.Число степеней свободы: 3.Траектории, скорости и ускорения любой точки тела, совершающего поступательное движение, одинаковы.Радиус – вектор любой точки движущегося поступательно тела равен rB=rA+AB, AB=const. drB/dt=drA/dt+dAB/dt=drA/dt =>vB=vA, aB=aA.Мгновенное поступательное движение – движение твердого тела, для которого векторы скоростей точекравны только в один момент времени.Поступательное движение полностью характеризуется движением одной точки тела: x=f1(t); y=f2(t); z=f3(t);Вопрос 33:Связь векторного момента силы относительно точки с моментом силы относительно оси,проходящей через эту точку.Момент силы F относительно оси z равен проекции на эту ось вектора момента силы Fотносительнопроизвольной точки О на этой оси.Доказательство:Пусть О – произвольная точка на оси z.