В.К. Манжосов, О.Д. Новикова - Статика (Манжосов В.К., Новикова О.Д. - Статика), страница 4

Можно рассмотреть равновесие балки CD и равновесие всей двухпролетной балки ABCD. Из уравнений равновесия для балки CD (3.4), (3.5) и (3.6) легко находятся реакции шарнира С иопоры D, так как эти три уравнения содержат три неизвестных: RСx, RСy, RD.Рассматривая далее равновесие двухпролетной балки ABCD, составим триуравнения равновесия, из которых определяются три оставшихся неизвестных:RAx, RAy, RB.3.2. Определение реакций составной конструкции (задание С 4 [8])Рис.

3.4.Дано: схема конструкции (рис. 3.4);Р1 = 5 кН, Р2 = 7 кН; М = 2 кН⋅м; q = 2 кН/м;α = 60°.Определить реакции в опорах и в промежуточном шарнире составной конструкции.Решение. Рассмотрим систему уравновешивающихся сил, приложенных ко всей конструкции(рис. 3.5).Составим уравнение моментов сил относительно точки В. Для упрощения вычислениямомента силы Ð1 разложим ее на вертикальнуюи горизонтальную составляющие:Р1′ = Р1 ⋅ cos 60° = 2,5 кН;Рис. 3.5.Р1′′ = Р1 ⋅ sin 60° = 4,33 кН;22∑ M iB = 0; P1′ ⋅ 3 + P1′′⋅ 8 − Q ⋅ 1 − YA ⋅ 5 + X A ⋅ 1 − M + P2 1 + 1,5 = 0, (3.7)где Q = q⋅⋅4 = 2 ⋅ 4 = 8 кН.После подстановки данных и вычислений уравнение (3.7) получает вид22XA – 5YA = – 44,74 кН.(3.8)Второе уравнение с неизвестными ХА и YA получим, рассмотрев систему уравновешивающихся сил,приложенных к части конструкции, расположеннойлевее шарнира С (рис. 3.6):∑ M iC = 0; P1′′⋅ 6 + Q ⋅ 2 + X A ⋅ 4 − Y A ⋅ 3 = 0,откудаРис.

3.6.4XA – 3YA = – 41,98 кН.(3.9)Решая систему уравнений (3.8) и (3.9), находим:ХА = – 4,44 кН,YA = 8,06 кН.Модуль реакции опоры А при шарнирном соединении в точке С равенRA =X A2 + YA2 = 4,44 2 + 8,06 2 = 84,67 = 9,2 кН.Определим составляющие реакции в промежуточном шарнире С. Составим уравнение равновесия части конструкции, расположенной левее шарнираС (рис. 3.6) в виде равенства нулю суммы проекций сил на ось х и на ось у:∑ Xi = 0,− P1′ + X A + Q + X C = 0 ,X C = P1′ − X A − Q ,ХС = 2,5 + 4,44 – 8 = – 1,06 кН;∑ Yi = 0 ,− P1′′+ YA + YC = 0 ,YC = P1′′− YA = 4,33 – 8,06 = – 3,73 кН.Модуль реакции в промежуточном шарнире С равенRС =X С2 + YС2 = 1,06 2 + 3,732 = 15,03 = 3,88 кН.Для определения реакции в опоре В рассмотрим равновесие сил, приложенных к частиконструкции правее шарнира С (рис.

3.7). Реакции ХС и YC уже определены. На схеме рис. 3.7реакции ХС и YC направлены противоположно,чем эти же реакции на схеме рис. 3.6 (равенствосил действия и противодействия).Используем уравнение равновесия в виде равенства нулю суммы проекций всех сил на ось х:∑ Xi = 0,Рис. 3.7− X C + X B − P2 ⋅ cos β = 0, откудаX B = X C + P2 ⋅ cos β , cos β =32 2 + 32=3= 0,833;3,6ХВ = – 1,06 + 7·0,833 = – 1,06 + 5,83 = 4,77 кН.23Используем уравнение равновесия в виде равенства нулю суммы моментов сил относительно точки С:∑ M iC = 0 , YB ⋅ 2 + X B ⋅ 3 − M − P2 ⋅ hp = 0,hp = BC − 1,8 =(3.10)2 2 + 32 – 1,8 = 3,6 – 1,8 = 1,8 м,где hp – плечо силы Р2 относительно точки С.В результате из (3.10) с учетом, что ХВ = 8, 3 кН, получимYB ⋅ 2 + 4,77 ⋅ 3 − 2 − 7 ⋅ 1,8 = 0 , YB = 0,15 кН.Модуль реакции опоры В равенRВ =X В2 + YВ2 = 4,77 2 + 0,145 2 = 22,77 = 4,78 кН.Для проверки правильности выполненных расчетов возвратимся к схемесил и реакций в опорах на рис.

3.5 и воспользуемся уравнениями равновесия ввиде:∑ X i = 0 , − P1′ + X A + Q + X В − Р2 ⋅ cos β = 0 ,3= 0, – 12,77 + 12,77 =0;3,6− P1′′+ YA + YВ − Р2 ⋅ sin β = 0 ,∑ Yi = 0 ,2– 4,33 + 8,06 + 0,15 – 7·= 0, – 8,21 + 8,21 = 0.3,6– 2,5 – 4,44 + 8 + 4,77 – 7·3.3. Тестовые задания1.

Момент в заделке равен…С11)2)3)4)0,5 ММ1,5 М2М2. Момент в заделке равен…С2С3241)2)3)4)0,5 РаРа1,5 Ра2 Ра3. Сила в заделке равна…М1)2)аМ4)3)2а2Ма2М3а4. Сила в заделке равна:1) 0,5 Р2) Р3) 2 Р4) 2,5 РС4С55. Реакция в опоре А равна…М1) М2)а2М3) 2 М4)а6. Реакция в опоре А равна…1) Р2) 2 РС63) 3 Р4) 4 Р7. Горизонтальная реакция H в трехшарнирной раме равна…1) 0,5 Р2) Р3) 1,5 Р4) 2 РС7Горизонтальная реакция H в трехшарнирной раме равна:1) 0,5 Р2) Р3) 1,5 РС84) 2 Р25Горизонтальная реакция H в трехшарнирной раме равна…1) 0,5 Р2) Р3) 1,5 Р4) 2 РС 10Вертикальная реакция в опоре В плоской рамы равна…1) 0,5 Р2) Р3) 1,5 Р4) 2 РС 124. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕАКЦИЙ ОПОР ТВЕРДОГО ТЕЛА(ПРОИЗВОЛЬНАЯ СИСТЕМА СИЛ)4.1. Определение реакций опор нагруженного валаДано: схема нагружения вала, установленного на опорах (рис.

4.1).На рис. 4.1, а изображена косозубая шестерня радиусом r, закрепленная нагоризонтальном валу. Вал лежит в двух опорах: упорном подшипнике А и цилиндрическом подшипнике В.26Рис. 4.1В точке К, расположенной в вертикальной плоскости симметрии шестерни,к ее зубу приложено давление Т со стороны другой шестерни, находящейся сней в зацеплении (на рис. 4.1, а сила Т и вторая шестерня не изображены).

Давление Т разложено на три составляющие Тх, Ту и Tz, которые соответственнопараллельны осям координат х, у и z (начало координат взято в точке А, осьх направлена вдоль вала, ось z – по вертикали вверх, ось у – 1 так, чтобы вместе с осями х и z была образована правая система координат).К валу, вращающемуся равномерно, приложена пара сил с вращающиммоментом mвр так, что ее моменты относительно осей равны: mх = mвр,mу = mz = 0.Определить реакции опор А и В и вращающий момент mвр. Даны модулисоставляющих Тх, Ту и Tz давления Т на зуб шестерни. Размеры указаны на рисунке.

Весом шестерни и вала пренебречь.РешениеДля определения неизвестных реакций опор А и В и вращающего момента mвр рассмотрим равновесие вала с сидящей на нем шестерней. Под равновесием вала мы понимаем не только покой, но и его равномерное вращение, упомянутое в условии задачи.К валу и шестерне приложены следующие активные силы, изображенныена рисунке: три составляющие Тх, Ту, Тz давления Т и пара сил, момент которой mх = mвр требуется определить (в данной задаче момент активной парысил неизвестен).Связями, наложенными на вал, являются две опоры: упорный подшипникА и подшипник В, мысленно отбросим связи и заменим их действия на вал реакциями. Подшипник В допускает перемещение вала вдоль оси х, поэтому27составляющая реакции вдоль оси х отсутствует, и нам остается изобразитьлишь две составляющие RBy и RВz, перпендикулярные к оси вала.Мы направляем на рис.

4.1, а эти составляющие в сторону возрастания соответствующих координат. Если в действительности направление какой-либосоставляющей противоположно, то ответ окажется отрицательным.Упорный подшипник А, в отличие от подшипника В, не допускает перемещения вала вдоль оси х.

Поэтому в точке А мы изображаем все три составляющие RAx, RAу, RAz реакции.Итак, нам предстоит рассмотреть равновесие свободного вала с шестернейпод действием активных сил Тх, Ту, Tz и пары сил с моментом mх = mвр, а также составляющих реакций RAx, RAy, RAz, RBy, RBz. Все эти силы образуют пространственную систему сил, для которой надо записать шесть уравнений равновесия. Так как число алгебраических неизвестных также равно шести (mвр, RAx,RAy, RAz, RBy и RBz), то задача является статически определенной.Составим уравнения проекций сил на оси декартовых координат х, у, z. Всесилы либо перпендикулярны, либо параллельны этим осям.

Поэтому их проекции равны нулю или модулю соответствующей силы. Так, силы Ту, Tz, RAy,RAz, RBy, RBz и пара сил перпендикулярны к оси х, и, следовательно, их проекции на эту ось равны нулю. Из проекций на ось х лишь RAx и Т х отличны отнуля, причем обе проекции положительны.Итак,(4.1)∑ Fkx = Tx + R Ax = 0.Аналогично запишем уравнения проекций сил на оси у и z:∑ Fky = T y + R Ay + RBy = 0 ,(4.2)∑ Fkz = Tz + R Az + RBz = 0.(4.3)Напомним, что проекция пары сил на любую ось равна нулю, ибо главныйвектор пары сил равен нулю.Переходим к составлению уравнений моментов сил относительно осей x,у, z.

Предварительно заметим, что составление этих уравнений в данной задачепроизводится достаточно просто. Действительно, линии действия сил параллельны или пересекают оси координат и, значит, имеют моменты, равные нулю, либо силы лежат в плоскостях, перпендикулярных к осям и, следовательно, отпадает необходимость в проектировании этих сил на плоскости,перпендикулярные к осям.При составлении уравнения моментов сил относительно оси х предварительно заметим, что силы RAx и Тх параллельны оси х, а линии действия силRAy, RAz, Tz, RBy и RBz пересекают ось х. Следовательно, их моменты равны нулю. Значит, в уравнение моментов войдут лишь моменты силы Ту и пары сил.По условию момент пары относительно оси х равен mвр , т.е.mх = – mвр.28(4.4)Знак минус взят, поскольку если смотреть с положительного направления осих, то вращение, вызываемое парой, происходит по ходу часовой стрелки.Сила Ту лежит в плоскости, перпендикулярной к оси х.

Из точки О пересечения оси с плоскостью опускаем перпендикуляр ОК = r на линию действия Ту.Момент положителен, так как с конца оси x к ее началу видно, что сила Тустремится повернуть тело вокруг точки О против часовой стрелки. Итак,m х (Ту) = Ту ⋅ r.(4.5)Используя формулы (4) и (5), запишем уравнение моментов∑ m x (Fk ) = −mâð + T y ⋅ r = 0.(4.6)При составлении уравнения моментов относительно оси у заметим, чтосилы Ту, RAy, RBy параллельны оси у, а линии действия сил RAx и RAz пересекаютось у.

Следовательно, моменты их равны нулю. Кроме того, по условию момент пары сил my равен нулю. Значит, отличными от нуля являются толькомоменты сил Тх, Tz и RBz.Все эти силы лежат в плоскости xz, перпендикулярной к оси у. Плоскость xz пересекается с осью у в точке А. Поэтому из точки А опускаем перпендикуляры на линии действия сил Т х , T z и RBz. Соответственно получим:AM = r , АО = а и АВ = а + b.Момент силы Тх отрицателен, так как с конца оси y к ее началу видно, чтосила Тх стремится повернуть тело вокруг точки А по ходу часовой стрелки, а моменты сил Tz и RBz положительны, ибо они видны противоположно направленными.

Итак,m y (Tx ) = −Tx ⋅ r , m y (Tz ) = Tz ⋅ a, m y (RBz ) = RBz (a + b ).(4.7)Приняв во внимание формулы (4.7), запишем уравнение моментов относительно оси у в виде∑ m y (Fk ) = −Tx ⋅ r + Tz ⋅ a + RBz (a + b ) = 0.(4.8)При составлении уравнения моментов относительно оси z надо учесть, чтосилы Tz, RAz, RBz параллельны оси z, а линии действия сил Тх, RAx, RAy пересекаютэту ось.