Условие типового расчёта по ФНП, страница 5

С помощью линий уровня найти наибольшее и наименьшеезначения функции f (x, y) в областиp определенияpфункции g(x, y).f (x, y) = x + |y| , g (x, y) = x2 + y 2 − 1 + 1 − x2 + 2x − y 2Задача 2. Для функции заданной неявно найти dz.z − 2 ln (x + y + z) = 0Задача 3. Найти дифференциал 2-ого порядка для функции 3-х переменных f (x, y, z) в точке M1 и дифференциал 3-ого порядка для функции 2-х переменных g(x, y) в точке M2 . π yzf (x, y, z) = cos + ln x · e + 13, M1 1; ; 0x3g (x, y) = sin y · cos 3x − 6x− 2 y − y − 3 , M2 (π; −π)Задача 4. Показать, что функция z = z(x, y) удовлетворяет данномудифференциальному уравнению.

f – произвольная дифференцируемая√√ ∂z ∂zфункция.4 x·y+= 0, z = f y 2 − x∂x ∂yЗадача 5. Проверить является ли данная дифференциальная формаполным дифференциалом некоторой функции, и если да, то найти ее:1a) cos2 y + x xdx + x2 dyy!√2psinyxyb) 2x y 2 + 1dx −dy√ −p 22 yy +1Задача 6. В точке A найти производную функции u = f (x, y, z) в направлении вектора AB и максимальную производную по направлению.Указать вектор направления максимальнойпроизводной в точке A.p√zf (x, y, z) = 1 + xyz +arcsin+ 1 · 1 + xz, A (0; −1; 1) , B (2; −3; 2)yЗадача 7. На поверхности, заданной уравнением x2 + y 2 − 4z = 0,найти точки, в которых нормаль к поверхности параллельна прямойx = y = z.

Написать уравнения касательной плоскости и нормали кповерхности в найденной точке (точках).Задача 8. Найти экстремум функции a) f (x, y), b) f (x, y, z).a) y 3 + 3y 2 − x2 y + x2b) 3z 3 + 2x2 + 5y 2 − 18z 2 − 6xy − 30x + 48y − 108z + 3Задача 4. Показать, что функция z = z(x, y) удовлетворяет данномудифференциальному уравнению. f – произвольная дифференцируемая xфункция.∂z∂ze+y= 0, z = f∂x∂yyЗадача 5. Проверить является ли данная дифференциальная формаполным дифференциалом некоторойфункции, и если да, то найти ее:ex2yex y−dx −dya)2cos2 (y ex )siny cos2 (y ex )b) x7 1 + cos2 y dx + cos xy 2 dyЗадача 6.

В точке A найти производную функции u = f (x, y, z) в направлении вектора AB и максимальную производную по направлению.Указать вектор направления максимальнойпроизводнойв точке A.zf (x, y, z) = ln (1 + xyz) + 2exz · arcsin+ 1 , A (0; 1; −1) , B (2; 5; 3)y pЗадача 7. Для заданной поверхности z = x2 + y 2 − xy в M0 (3; 4; −7)написать уравнения касательной плоскости и нормали.Задача 8.

Найти экстремум функции a) f (x, y), b) f (x, y, z).a) y 3 − x2 y + 4y 2 + 4yb) 2y 3 + x2 − 18y 2 + 10z 2 − 2xz − 4x + 30y − 14z + 3ТР ФНП Вариант 25. Чернышов Василий ВасильевичЗадача 1. С помощью линий уровня найти наибольшее и наименьшеезначения функции f (x, y) в области определенияфункции g(x, y).px22f (x, y) = ye , g (x, y) = 1 − x − y − |2xy|Задача 2. Для функции заданнойнеявно найти ∂z/∂x и ∂z/∂y.√xyF e , x2 − z 2 = 0Задача 3.

Найти дифференциал 2-ого порядка для функции 3-х переменных f (x, y, z) в точке M1 и дифференциал 3-ого порядка для функции 2-х переменных g(x, y) в точке M2 .π π π f (x, y, z) = e2z − sin x · cos y · sin z − 4, M1; ;3 6 6g (x, y) = sin 2x · cos(y/2) − y 3 ln x, M2 (1; −π)ТР ФНП Вариант 26. Шакирзьянова Айгуль АлександровнаЗадача 1. С помощью линий уровня найти наибольшее и наименьшеезначения функции f (x, y) в областиp определенияpфункции g(x, y).f (x, y) = x − |y| , g (x, y) = x2 + y 2 − 1 + 1 − x2 − 2x − y 2Задача 2.

Для функции заданной неявно найти∂z/∂x и ∂z/∂y.23F x + y , ln (2x − 3y) = 0Задача 3. Найти дифференциал 2-ого порядка для функции 3-х переменных f (x, y, z) в точке M1 и дифференциал 3-ого порядка для функции 2-х переменных g(x, y) в точке M2 . π 2f (x, y, z) = x (cos 2y + 3 ln z) + 1, M1 2; ; 1 π 2g (x, y) = sin (3x + 2y) + x1/3 y 8 , M2;09Задача 4. Показать, что функция z = z(x, y) удовлетворяет данному Задача 4.

Показать, что функция z = z(x, y) удовлетворяет данномудифференциальному уравнению. f – произвольная дифференцируемая дифференциальному уравнению. f – произвольная дифференцируемая√ √ ∂z √ ∂z√функция.∂z∂zфункция.x·+ y·= 0, z = fy− xey− 3x2= 0, z = f x3 + ey∂x∂y∂x∂yЗадача 5. Проверить является ли данная дифференциальная форма Задача 5. Проверить является ли данная дифференциальная формаполным дифференциалом некоторойфункции, и если да, то найти ее: полным дифференциалом некоторой функции, и если да, то!найти ее:√ y2p3x2 y 211y2a) xe dx + 2xy 5 ey dyppdx−−2yx3 + y dya)cos−23+y3+yyy2x2x1√2b) 2x + cos2 y dx − x sin 2y −dyb)(x+y)tgydx+2y+xdyyЗадача 6.

В точке A найти производную функции u = f (x, y, z) в направлении вектора AB и максимальную производную по направлению.Указать вектор направления максимальнойв точке A. y производнойpf (x, y, z) = cos (xyz) + 1 + xy · sin− 1 , A (0; 1; 1) , B (2; 2; 3)z pЗадача 7. Для заданной поверхности 4 + x2 + y 2 + z 2 = x + y + z вM0 (2; 3; 6) написать уравнения касательной плоскости и нормали.Задача 8. Найти экстремум функции a) f (x, y), b) f (x, y, z).a) xy 2 − x2 − 3y 2 + 2xb) 4x3 − 13y 2 − 26z 2 + 26yz − 108x + 26y + 52z + 11Задача 6. В точке A найти производную функции u = f (x, y, z) в направлении вектора AB и максимальную производную по направлению.Указать вектор направления максимальнойв точке A. x производной22 −1f (x, y, z) = arccos (xyz)+2 x + y·sin+ 1 , A (−1; 0; 1) , B (0; 2; 3)zЗадача 7.

Для заданной поверхности 4 + x + y 2 = ln z найти точку(точки), в которых касательная плоскость к поверхности параллельнаплоскости x + 2y − z = 0. Написать уравнения касательной плоскости инормали к поверхности в найденной точке (точках).Задача 8. Найти экстремум функции a) f (x, y), b) f (x, y, z).a) xy 2 + x2 y + y 2 − xy − 2yb) 4x3 − 12x2 − 13y 2 − 25z 2 + 20yz − 132y + 240z − 3ТР ФНП Вариант 27. Бекешев Артем ТимуровичЗадача 1. С помощью линий уровня найти наибольшее и наименьшеезначения функции f (x, y) в области определения функции g(x, y).f (x, y) = xy, g (x, y) = arcsin (x − y) + arccos (x − 1)Задача 2. Для функции заданной неявнонайти∂z/∂x и ∂z/∂y.√x+y =0F arctg (xz) ,Задача 3. Найти дифференциал 2-ого порядка для функции 3-х переменных f (x, y, z) в точке M1 и дифференциал 3-ого порядка для функции 2-х переменных g(x, y) в точке M2 .f (x, y, z) = ln 3 − x3 − 6xy cos z − 2, M1 (1; −2; π)π π ;−g (x, y) = cos 4x · sin 2y − 4x1/2 · y 1/3 , M244Задача 4.

Показать, что функция z = z(x, y) удовлетворяет данномудифференциальному уравнению. f – произвольная дифференцируемая√ ∂z∂zфункция.−3 x·= 0, z = f x3/2 + ey2ey∂x∂yЗадача 5. Проверить является ли данная дифференциальная формаполным дифференциалом некоторой функции,и если да, то найти ее:a) 2x3 y + y 2 x dx + y 3 + x xdy!2p(x+1)1√dyb) 2 (x + 1) 3 y + 1dx −−2 1 − y 3 (y + 1)2/3Задача 6. В точке A найти производную функции u = f (x, y, z) в направлении вектора AB и максимальную производную по направлению.Указать вектор направления максимальнойв точке A. y производнойpf (x, y, z) = arctg (xyz) + 2 y 2 + z 2 · tg+ 1 , A (1; −1; 0) , B (3; 1; 1)xЗадача 7. На поверхности, заданной уравнением z = xy, найти точки,в которых нормаль к поверхности параллельна прямой x+2= y+2= z−1.22−1Написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности внайденной точке (точках).Задача 8. Найти экстремум функции a) f (x, y), b) f (x, y, z).a) y 3 − x2 y − 4y 2 + 4yb) 3z 3 + x2 + 5y 2 + 27z 2 − 2xy + 32y + 72z + 5ТР ФНП Вариант 28.

Давудгаджиев Магомед ДавудовичЗадача 1. С помощью линий уровня найти наибольшее и наименьшеезначения функции f (x, y) в области определенияфункции g(x, y).p−x2f (x, y) = ye , g (x, y) = 1 − x − y 2 − |2xy|Задача 2. Для функции заданной неявно найти dz.exy + z 2 − 3xyz = 0Задача 3. Найти дифференциал 2-ого порядка для функции 3-х переменных f (x, y, z) в точке M1 и дифференциал 3-ого порядка для функции 2-х переменных g(x, y) в точке Myx2 .√√2f (x, y, z) = sin x + z + e − 2, M1 π; − π; 01g (x, y) = cos (2y − 5x) + y −3 · x1/4 , M2 (2; 1)3Задача 4. Показать, что функция z = z(x, y) удовлетворяет данномудифференциальному уравнению. f – произвольная дифференцируемая∂z∂zфункция.x−y·= 0, z = f (ln x + ln y)∂x∂yЗадача 5.

Проверить является ли данная дифференциальная формаполным дифференциалом некоторойфункции, и если да, то найти ее:2a) cos y + x dx + sin (x + y) dy11 −4 43255b) 4x 1 + y dx − 2y cos y − y x dy5Задача 6. В точке A найти производную функции u = f (x, y, z) в направлении вектора AB и максимальную производную по направлению.Указать вектор направления максимальной производной в точке A.xxy+ 1 , A (−1; 0; 1) , B (3; 2; −3)f (x, y, z) = tg (xyz) + 2e · arcsinzЗадача 7. Для заданной поверхности z = arctg xy в M0 1; 1; π4 написатьуравнения касательной плоскости и нормали.Задача 8. Найти экстремум функции a) f (x, y), b) f (x, y, z).a) xy 2 − x2 y − 2y 2 + xy + 2yb) 2y 3 − x2 − 6y 2 − 37z 2 + 2xz − 2x − 90y − 70z + 5ТР ФНП Вариант 29.

Краснов Дмитрий ВикторовичЗадача 1. С помощью линий уровня найти наибольшее и наименьшеезначения функции f (x, y) в области определенияфункции g(x, y).px22f (x, y) = y + e , g (x, y) = 2 − x − y − |x2 − y 2 |Задача 2. Для функции заданной неявно найти ∂z/∂x и ∂z/∂y.F (xy, yz, zx) = 0Задача 3.