Условие типового расчёта по ФНП, страница 4

Прохоренко Кирилл ВадимовичЗадача 1. С помощью линий уровня найти наибольшее и наименьшеезначения функции f (x, y) в области pопределения функции g(x, y).2f (x, y) = y + x , g (x, y) = 8 − x2 − 4y 2 − |x2 − 4y 2 |Задача 2. Для функции заданной неявно найти dz.x2 + 3yz + arctg (xy) + z 2 x = 0Задача 3. Найти дифференциал 2-ого порядка для функции 3-х переменных f (x, y, z) в точке M1 и дифференциал 3-ого порядка для функции 2-х переменных g(x, y) в точке M2 . π sin z+ zx cos y − 6, M1 1; ; πf (x, y, z) =y 4π−22−4 −3g (x, y) = x cos y − 3x y , M2 −1;3Задача 4. Показать, что функция z = z(x, y) удовлетворяет данномудифференциальному уравнению.

f – произвольная дифференцируемая∂z∂zфункция.−3= 0, z = f x3 eyx∂x∂yЗадача 5. Проверить является ли данная дифференциальная формаполным дифференциаломфункции, и если да, то найти ее: некоторой1a) x + √cos x2 dx + x ln ydyy− 32sin y56· cos ydx − √− cos y dyb) − 3x x + 1x6 + 1Задача 6. В точке A найти производную функции u = f (x, y, z) в направлении вектора AB и максимальную производную по направлению.Указать вектор направления√ максимальной производной в точке A.f (x, y, z) = arctg (xyz) + x2 + z 2 · ln (−yz) , A (0; 1; −1) , B (2; −1; −3)Задача 7.

Для заданной поверхности 12x − 2y 2 − 3z 2 = 18 найти точку(точки), в которых касательная плоскость к поверхности параллельнаплоскости x + y + z = 10. Написать уравнения касательной плоскости инормали к поверхности в найденной точке (точках).Задача 8. Найти экстремум функции a) f (x, y), b) f (x, y, z).a) y 2 − x2 y + 4x2 − 4yb) 3z 3 − 16x2 − 5y 2 + 9z 2 + 8xy + 72x − 26y − 72z + 6Задача 7. На поверхности, заданной уравнением x2 + y 2 − xz − yz = 7,найти точки, в которых касательная плоскость к поверхности перпендикулярна заданному вектору α = (−6; 0; 1) .

Для каждой из найденныхточек написать уравнения касательной плоскости и нормали.Задача 8. Найти экстремум функции a) f (x, y), b) f (x, y, z).a) y 3 − 2x2 y − xy 2 − 6y 2 + 12xyb) 4x3 − 36x2 + 13y 2 + 9z 2 − 12yz + 76y − 60z + 5ТР ФНП Вариант 19. Савельев Ярослав ВячеславовичЗадача 1. С помощью линий уровня найти наибольшее и наименьшеезначения функции f (x, y) в области определенияфункции g(x, y).p22f (x, y) = y − x , g (x, y) = 4 − 4x2 − y 2Задача 2. Для функции заданной неявнонайти ∂z/∂x и ∂z/∂y.F zx, ln x2 + y 2 = 0Задача 3. Найти дифференциал 2-ого порядка для функции 3-х переменных f (x, y, z) в точке M1 и дифференциал 3-ого порядка для функции 2-х переменных g(x, y) в точке M2 .1 11/33yzf (x, y, z) = x yz + cos x · e + 2, M1 −π; ;2 21 −1 3/222g (x, y) = y sin y − x y , M2 (−1; π)2Задача 4. Показать, что функция z = z(x, y) удовлетворяет данномудифференциальному уравнению.

f – произвольная дифференцируемая∂z∂zфункция.−= 0, z = f ln x + y 33xy 2∂x ∂yЗадача 5. Проверить является ли данная дифференциальная формаполным дифференциалом некоторойфункции, и если да, тонайти ее:a)1y dyppdx − sin y − px + y2 + 1x + y2 + 1y2 + 1√4b) 3 x + 1ey dy + 3y (x + 1) 3 dyЗадача 6. В точке A найти производную функции u = f (x, y, z) в направлении вектора AB и максимальную производную по направлению.Указать вектор направления максимальнойпроизводной в точке A.−1x+ 1 · x2 + z 2, A (−1; 1; 0) , B (1; 3; 1)f (x, y, z) = arccos (xyz)+2 sinyЗадача 7.

Для заданной поверхности x3 + y 3 + z 3 + xyz − 6 = 0 вM0 (1; 2; −1) написать уравнения касательной плоскости и нормали.Задача 8. Найти экстремум функции a) f (x, y), b) f (x, y, z).a) x2 y − 9y 3 − 2x2 + 18y 2b) x3 + 15x2 − 13y 2 − z 2 − 4yz + 72x − 86y − 16z + 7ТР ФНП Вариант 20. Серебренников Олег ПавловичЗадача 1. С помощью линий уровня найти наибольшее и наименьшеезначения функции f (x, y) в области определения функции g(x, y).py,g(x,y)=1 − |x2 + y 2 − 2|f (x, y) = 2x + y2Задача 2.

Для функции заданной неявно найти dz.x2 · e2y − z 2 · e2x + y 2 · e2z = 0Задача 3. Найти дифференциал 2-ого порядка для функции 3-х переменных f (x, y, z) в точке M1 и дифференциал 3-ого порядка для функции 2-х переменных g(x, y) в точке M√2 .f (x, y, z) = arctg x · ln y + 3 − z 2 · x + 4, M1 (0; e; 1)1 12x−4y5 −1/3g (x, y) = e+ 3x y, M2;4 8Задача 4. Показать, что функция z = z(x, y) удовлетворяет данномудифференциальному уравнению. f – произвольная дифференцируемая∂z∂zфункция.− (sin 2y)= 0, z = f (x · tgy)2x∂x∂yЗадача 5.

Проверить является ли данная дифференциальная формаполным дифференциалом некоторой функции, и если да, тонайти ее: p2x1a) 2 2y + 1 + 2 cos (2x + 1) dx −dy3 − √2y + 122y√cos ydy+ sin y x6 + 1dyb) √x6 + 1Задача 6. В точке A найти производную функции u = f (x, y, z) в направлении вектора AB и максимальную производную по направлению.Указать вектор направления максимальнойв точке A. y производнойpf (x, y, z) = arcctg (xyz) + 1 + yz · tg+ 1 , A (−1; 1; 0) , B (0; 3; 2)xЗадача 7.

На поверхности, заданной уравнением z = 1 + x2 + y 2 , найтиточки, в которых касательная плоскость к поверхности перпендикулярна заданному вектору α = (2; 2; −1) . Для каждой из найденных точекнаписать уравнения касательной плоскости и нормали.Задача 8. Найти экстремум функции a) f (x, y), b) f (x, y, z).a) xy 2 − x2 y − 4y 2 + 5xy − 4yb) 4x3 + 12x2 + 13y 2 + z 2 − 4yz − 36x + 34y − 8z + 5ТР ФНП Вариант 21. Соколова Юлия АлексеевнаЗадача 1. С помощью линий уровня найти наибольшее и наименьшеезначения функции f (x, y) в области определения функции g(x, y).f (x, y) = y + ln x, g (x, y) = arccos y + arcsin (x − 2)Задача 2. Для функции заданнойнеявнонайти ∂z/∂x и ∂z/∂y.x=0F z 2 + xy,x+yЗадача 3. Найти дифференциал 2-ого порядка для функции 3-х переменных f (x, y, z) в точке M1 и дифференциал 3-ого порядка для функции 2-х переменных g(x, y) в точке M2 . π π√f (x, y, z) = 4 xy − x · sin y · cos z − 6, M1 1; ;4 4p35g (x, y) = cos (5y − 2x) − 3 y x , M2 (1; 4)ТР ФНП Вариант 22.

Соколюк Виктор ВитальевичЗадача 1. С помощью линий уровня найти наибольшее и наименьшеезначения функции f (x, y) в области определенияфункции g(x, y).p22f (x, y) = 4x − y , g (x, y) = 4 − x2 − y 2Задача 2. Для функции заданной неявно найти ∂z/∂x и ∂z/∂y.F 4x2 − 3z, z 2 + y = 0Задача 3. Найти дифференциал 2-ого порядка для функции 3-х переменных f (x, y, z) в точке M1 и дифференциал 3-ого порядка для функции 2-х переменных g(x, y) в точке M2 .√123f (x, y, z) = xz · y + ln 1 − z − 4, M1 1; −1;21; 1g (x, y) = x3 y 1/3 − 3ey−3x , M23Задача 4.

Показать, что функция z = z(x, y) удовлетворяет данному Задача 4. Показать, что функция z = z(x, y) удовлетворяет данномудифференциальному уравнению. f – произвольная дифференцируемая дифференциальному уравнению. f – произвольная дифференцируемая∂z√ ∂z√функция.∂z∂zфункция.+ 6x2 y ·= 0, z = fy − x3− (y ln y)= 0, z = f (ex ln y)∂x∂y∂x∂yЗадача 5. Проверить является ли данная дифференциальная форма Задача 5.

Проверить является ли данная дифференциальная формаполным дифференциаломpнекоторой функции,pи если да, то найти ее: полным дифференциалом некоторой функции, и если да, то найти ее:2 3a) (x + 1)y + 1 dx + (x + 1)3 5 y + 1 dya) 6x2 cos y + sin y 2 dx − 2x3 sin y − 2y · x cos y 2 − 1 dy!√2yx2 + 1dx + e−y xdyb)y23−cosxdyb) 3x cos x − x + y sin x dx −3(y 2 + 1) 2Задача 6. В точке A найти производную функции u = f (x, y, z) в наЗадача 6. В точке A найти производную функции u = f (x, y, z) в направлении вектора AB и максимальную производную по направлению.правлении вектора AB и максимальную производную по направлению.Указать вектор направления максимальнойв точке A.

z производнойpУказать вектор направления максимальнойпроизводной в точке A.22yf (x, y, z) = arctg (xyz) + y + z · sin− 1 , A (1; 0; 1) , B (3; 1; 3)xxf (x, y, z) = arcsin (xyz) + cos· arctg− 1 , A (0; 1; 1) , B (1; 3; 3)yzЗадача 7. Для заданной поверхности z = 2x2 −4y 2 найти точку (точки),222Задача 7. Для заданной поверхности 4x + y + z = 17 найти точку в которых касательная плоскость к поверхности параллельна плоскости(точки), в которых касательная плоскость к поверхности параллельна 8x − 8y − z = 0. Написать уравнения касательной плоскости и нормалиплоскости 4x − 3y + 2z + 1 = 0. Написать уравнения касательной плос- к поверхности в найденной точке (точках).кости и нормали к поверхности в найденной точке (точках).Задача 8.

Найти экстремум функции a) f (x, y), b) f (x, y, z).Задача 8. Найти экстремум функции a) f (x, y), b) f (x, y, z).a) 4y 3 − x2 y − xy 2 + 12y 2 − 3x22322a) xy − 9x − 18x − y − 9xb) 2y 3 − x2 − 18y 2 − 17z 2 + 2xz − 12x + 42y + 108z + 732b) 2y − 5x − 18y 2 − 25z 2 + 20xz − 40x + 30y + 100z + 6ТР ФНП Вариант 23. Соломонов Илья КонстантиновичЗадача 1. С помощью линий уровня найти наибольшее и наименьшеезначения функции f (x, y) в области определения функции g(x, y).qx2 + y 2, g (x, y) = 1 − x2 − (y − 3)2f (x, y) =yЗадача 2. Для функции заданной неявно найти dz.y 3 = z · ex+zЗадача 3.

Найти дифференциал 2-ого порядка для функции 3-х переменных f (x, y, z) в точке M1 и дифференциал 3-ого порядка для функции 2-х переменных g(x, y) в точке M2 .π√; 1; −1f (x, y, z) = xy + x2 y 3 z 4 + 6, M121/3 1/42g (x, y) = 2y x − 3x ln y, M2 (1; e)ТР ФНП Вариант 24. Филатов Александр СергеевичЗадача 1.