Условие типового расчёта по ФНП, страница 2

Найти экстремум функции a) f (x, y), b) f (x, y, z).Задача 8. Найти экстремум функции a) f (x, y), b) f (x, y, z).a) − x3 + 3xy 2 + 2x2 y + 6x2 − 6xy − 9xa) x6 + x4 y − 2x4 − x2 y − y 2 + 2y3222b) 4x − 36x + 13y + 2z − 10yz + 96x + 10y − 4z + 6b) 2y 3 + x2 − 6y 2 + 2z 2 − 2xz + 6x − 18y − 12z − 2ТР ФНП Вариант 7. Ефимов Федор СергеевичЗадача 1.

С помощью линий уровня найти наибольшее и наименьшеезначения функции f (x, y) в областиp определенияpфункции g(x, y).f (x, y) = |x| + y, g (x, y) = x2 + y 2 − 1 + 1 − x2 + 2y − y 2Задача 2. Для функции заданной неявно найти dz.xy+ y ln (x + z) = 0zЗадача 3. Найти дифференциал 2-ого порядка для функции 3-х переменных f (x, y, z) в точке M1 и дифференциал 3-ого порядка для функции 2-х переменных g(x, y) в точке M2 .xyf (x, y, z) = 2 + ln z 2 − 5 − 9, M1 (−3; 1; 3)z23y−x−3g (x, y) = e− xy , M2 2;3Задача 4. Показать, что функция z = z(x, y) удовлетворяет данномудифференциальному уравнению.

f – произвольная дифференцируемая yфункция.e∂z ∂z+= 0, z = fx∂x ∂yxЗадача 5. Проверить является ли данная дифференциальная формаполным дифференциаломнекоторойфункции,да, то и если найти ее:21cos x1a) cos2 x − x + √· sin 2x dx −√ + 2 dy2y y ypyb) ln x + y 2 + 1 dx + cos x2 + y dyЗадача 6. В точке A найти производную функции u = f (x, y, z) в направлении вектора AB и максимальную производную по направлению.Указать вектор направления максимальнойв точке A. производнойyzf (x, y, z) = ln (1 + xyz) + tg− 1 cos, A (1; 1; 0) , B (3; −1; 1)xyЗадача 7. На поверхности, заданной уравнением x2 −xy −8x−z +5 = 0,найти точки, в которых касательная плоскость к поверхности перпендикулярна заданному вектору α = (1; 2; 1) .

Для каждой из найденныхточек написать уравнения касательной плоскости и нормали.Задача 8. Найти экстремум функции a) f (x, y), b) f (x, y, z).a) x2 y + xy 2 + 2x2 + 3xy + y 2 + 2x + 2yb) 2y 3 + 5x2 + 9z 2 − 12xz − 4x − 6y + 12z + 11ТР ФНП Вариант 8. Зиновкин Илья АлександровичЗадача 1. С помощью линий уровня найти наибольшее и наименьшеезначения функции f (x, y) в области определения функции g(x, y).f (x, y) = x + y, g (x, y) = arcsin (x − y) + arccos (x − 1)Задача 2. Для функции заданной неявно найти dz.5x3 y + 3z 2 y + 7xyz − 2x2 z + 4 = 0Задача 3.

Найти дифференциал 2-ого порядка для функции 3-х переменных f (x, y, z) в точке M1 и дифференциал 3-ого порядка для функции 2-х переменных g(x, y) в точке M2 .12 42f (x, y, z) = 3x y z − ln 1 + z − 2, M1 − ; 2; e21g (x, y) = 3x−2y − 2x−2 y 1/3 , M2 −1; −2Задача 4. Показать, что функция z = z(x, y) удовлетворяет данномудифференциальному уравнению. f – произвольная дифференцируемая∂z∂zфункция.−y·= 0, z = f (ex + ln y)e−x∂x∂yЗадача 5. Проверить является ли данная дифференциальная формаполным дифференциалом некоторой функции, и если да, то найти ее:1√a) x7 tg 3 ydx +√ x8 dy2cos 3 y!1dyb) 5x4 ln ydx −3 − ln y − 12y (ln y) 2Задача 6.

В точке A найти производную функции u = f (x, y, z) в направлении вектора AB и максимальную производную по направлению.Указать вектор направления максимальнойпроизводнойв точке A.xp22f (x, y, z) = sin (xyz)+2 x + y ·arcsin+ 1 , A (−1; 0; 1) , B (1; −1; 3)zЗадача 7. На поверхности, заданной уравнением x2 − y 2 + xy − yz = 2,найти точки, в которых касательная плоскость к поверхности перпендикулярна заданному вектору α = (5; −3; −1) . Для каждой из найденныхточек написать уравнения касательной плоскости и нормали.Задача 8. Найти экстремум функции a) f (x, y), b) f (x, y, z).a) y 3 − x2 y − 12y 2 + 36yb) 2y 3 − 5x2 − 24y 2 − 16z 2 + 16xz + 72y + 11ТР ФНП Вариант 9. Зозулин Егор МихайловичЗадача 1.

С помощью линий уровня найти наибольшее и наименьшеезначения функции f (x, y) в области определенияфункции g(x, y).p22f (x, y) = x − 4y , g (x, y) = 4 − x2 − y 2Задача 2. Для функции заданной неявно найти dz.tg (xz) + sin (yx) + ctg (yz) = 0Задача 3. Найти дифференциал 2-ого порядка для функции 3-х переменных f (x, y, z) в точке M1 и дифференциал 3-ого порядка для функции 2-х переменных g(x, y) в точке M2 .11/2f (x, y, z) = z log3 x + y zx + 6, M1 3; 4; 211/3;1g (x, y) = x−2 y − 2y−3x , M23Задача 4.

Показать, что функция z = z(x, y) удовлетворяет данномудифференциальному уравнению. f – произвольная дифференцируемая∂z∂zфункция.+3= 0, z = f x3 · cos y(x · tg y)∂x∂yЗадача 5. Проверить является ли данная дифференциальная формаполным дифференциалом некоторойфункции,и если да, то найти ее:pa) x3 + y cos xdx + x y 2 + 1 dy!1cos yx71 − 6√x 7 y + cos x dx −− √dyb)7sin2 y 2 yЗадача 6. В точке A найти производную функции u = f (x, y, z) в направлении вектора AB и максимальную производную по направлению.Указать вектор направленияпроизводной в точке A.

xмаксимальнойxyz22· ln x + y , A (0; 1; 1) , B (3; 3; 7)f (x, y, z) = e + coszЗадача 7. На поверхности, заданной уравнением x2 + y 2 − 4x + 2y +2z + 10 = 0, найти точки, в которых касательная плоскость к поверхности перпендикулярна заданному вектору α = (1; 2; −1) . Для каждойиз найденных точек написать уравнения касательной плоскости и нормали.Задача 8. Найти экстремум функции a) f (x, y), b) f (x, y, z).a) 2xy 2 + y 3 − 3x2 y − 12y 2 + 12xyb) 2y 3 + 5x2 + 4z 2 − 8xz + 56x − 54y − 48z + 3ТР ФНП Вариант 10. Ильин Валерий ВладимировичЗадача 1. С помощью линий уровня найти наибольшее и наименьшеезначения функции f (x, y) в области определения функции g(x, y).f (x, y) = x2 − (y − 1)2 , g (x, y) = arcsin (x − y) + arccos xЗадача 2.

Для функции заданной неявно найти ∂z/∂x и ∂z/∂y.F (xz, eyz ) = 0Задача 3. Найти дифференциал 2-ого порядка для функции 3-х переменных f (x, y, z) в точке M1 и дифференциал 3-ого порядка для функции 2-х переменных g(x, y) в точке M2 .π12; −2;f (x, y, z) = y log2 x − xctg z − 3, M12412g (x, y) = ln (x − y) − y 1/3 sin 3x, M2 1;2Задача 4. Показать, что функция z = z(x, y) удовлетворяет данномудифференциальному уравнению. f – произвольная дифференцируемая∂z∂zфункция.− ex−y= 0, z = f (ex + ey )∂x∂yЗадача 5. Проверить является ли данная дифференциальная формаполным дифференциалом некоторой функции, и если да, то найти ее:a) 2xydx − ye−y − x2 − e−y dy√ √ b) x + x ey dx − x y 2 + x dyЗадача 6.

В точке A найти производную функции u = f (x, y, z) в направлении вектора AB и максимальную производную по направлению.Указать вектор направленияp максимальной производной в точке A.f (x, y, z) = sin (xyz) + 2 x2 + y 2 · ln (−yz) , A (0; −1; 1) , B (2; 0; 3)Задача 7. Для заданной поверхности z = sin x + exy + y в M0 (0; 2; 3)написать уравнения касательной плоскости и нормали.Задача 8. Найти экстремум функции a) f (x, y), b) f (x, y, z).a) y 3 − x2 y + 12y 2 + 36yb) 4x3 − 24x2 − 13y 2 − 17z 2 + 22yz − 74y + 78z + 11ТР ФНП Вариант 11. Курятников Николай НиколаевичЗадача 1.

С помощью линий уровня найти наибольшее и наименьшеезначения функции f (x, y) в области определения функции g(x, y).f (x, y) = y − ln x, g (x, y) = arcsin y + arccos (x − 2)Задача 2. Для функции заданной неявно найти dz.5x3 − 2z 2 + xy − zy + 10y − 8 = 0Задача 3. Найти дифференциал 2-ого порядка для функции 3-х переменных f (x, y, z) в точке M1 и дифференциал 3-ого порядка для функции 2-х переменных g(x, y) в точке M2 .√ √f (x, y, z) = arctg z · ln x − y 2 − x2 + 1, M1 1; −2; 3ТР ФНП Вариант 12. Литвинов Даниил НиколаевичЗадача 1. С помощью линий уровня найти наибольшее и наименьшеезначения функции f (x, y) в области определенияфункции g(x, y).p22f (x, y) = x − y , g (x, y) = 4 − x2 − 4y 2Задача 2.

Для функции заданной неявно найти dz.zex + yez = xeyЗадача 3. Найти дифференциал 2-ого порядка для функции 3-х переменных f (x, y, z) в точке M1 и дифференциал 3-ого порядка для функции 2-х переменных g(x, y) в точке M2 .12f (x, y, z) = y arccos x + x y ln z + 4, M1 − ; 2; e22g (x, y) = y 4 x−1/2 − ln (y − x) , M2 (1; 2)2y1;g (x, y) = 2 ln − 3x1/5 · y −2 , M2x2 3Задача 4. Показать, что функция z = z(x, y) удовлетворяет данномудифференциальному уравнению.