Кольца и поля. Кольца. Специальные типы колец. Гомоморфизмы колец и факторизация. Модули и алгебры. Алгебры на полем (Избранные лекции)

Московский государственный технический университетимени Н.Э. БауманаÌÃÒÓФакультет «Фундаментальные науки»Кафедра «Математическое моделирование»ÌÃÒÓÀ.Í. ÊàíàòíèêîâÈÇÁÐÀÍÍÛÅ ËÅÊÖÈÈÏÎ ÀËÃÅÁÐÅÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12Äëÿ ñòóäåíòîâ ôàêóëüòåòà ÔÍÌÃÒÓÊîíñïåêò ëåêöèéÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12Москва2009ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓ16. КОЛЬЦА И ПОЛЯОпределение. Ядро и образ. Изоморфизм колец. Идеалы. В Z все подкольца являются идеалами.В Mn (Z) множество верхних треугольных матриц — подкольцо, но не идеал. Идеалы, порожденныемножеством элементов. Главные идеалы (с одним образующим). Понятие факторкольца и канонический гомоморфизм.

Пример: факторкольцо Z/mZ — кольцо Zm вычетов по модулю m. Теорема:Zm является полем тогда и только тогда, когда m — простое число. Мультипликативная группавычетов по простому модулю. Теорема Ферма. Примеры: а) факторкольцо R[x]/(x2 + 1)R[x] естьполе, изоморфное полю комплексных чисел; б) кольцо фундаментальных рациональных последовательностей, факторизованное подкольцом б.м. последовательностей.16.4. Модули и алгебрыÔÍ-1236ÔÍ-12Умножение элементов модуля на элементы кольца представляет собой многосортную операцию. Под многосортной n-арной операцией понимают отображение ϕ: A1 × A2 × .

. . × An → A0 ,элементы множеств Ai называют сортами. Мы видим, что аргументы многосортной операции являются объектами разной природы. Многосортные операции обозначают общепринятымспособом — точкой по центру или вообще опускают знак операции, если для операндов используются однобуквенные обозначения. При таком обозначении аксиомы левого умножения имеютследующий вид:M∗1 ) α(u + v) = αu + αv;M∗2 ) (α + β)u = αu + βu;ÌÃÒÓОпределение 16.1. Пусть K — кольцо, а M — абелева группа, для которой будем использовать аддитивную запись. Эта группа называется левым K-модулем (левым модулем надкольцом K), если задано левое умножение элементов группы на элементы кольца, т.е. отображение ϕ: K × M → M , удовлетворяющее аксиомам (α, β ∈ K, u, v ∈ M ):M1 ) ϕ(α, u + v) = ϕ(α, u) + ϕ(α, v);M2 ) ϕ(α + β, u) = ϕ(α, u) + ϕ(β, u);M3 ) ϕ(αβ, u) = ϕ(α, ϕ(β, v)).ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓ16.3.

Гомоморфизмы колец и факторизацияÔÍ-12ÔÍ-12Тело — кольцо с делением (все ненулевые элементы обратимы). Поле — коммутативное тело.Мультипликативная группа поля. Проблема расширения полугруппы до группы и кольца до тела(поля). Коммутативное кольцо без делителей нуля — целостное кольцо. Теорема: конечное целостное кольцо есть поле.

Пример: Z есть коммутативное кольцо без делителей нуля, но не поле.ÌÃÒÓÌÃÒÓ16.2. Специальные типы колецÔÍ-12ÔÍ-12Определение: а) (K, +) — группа, б) (K, ·) — полугруппа, в) дистрибутивность умножения.Неассоциативные кольца. Аддитивная группа и мультипликативная полугруппа кольца. Кольцос единицей. Коммутативное кольцо. Понятие подкольца. Подкольцо, порожденное множествомэлементов. Примеры: Z; Mn (R); кольцо функций (отображений) f : X → K, где K — кольцо;кольцо линейных операторов в ЛП.

Свойства: 1) a0 = 0a = 0; 2) 0 6= 1, если в кольце более одногоэлемента; 3) (−a)b = a(−b) = −ab; 4) (−1)a = −a в кольце с единицей; 5) (a − b)c = ac − bc,c(a − b) = ca − cb; 4) бином Ньютона в коммутативном кольце. Подкольца в Z.ÌÃÒÓÌÃÒÓ16.1. КольцаÌÃÒÓПример. а. Первым примером модуля является действительное или комплексное линейноепространство. Анализ аксиом линейного пространства показывает, что в них используютсятолько две основные арифметические операции (сложение и умножение), выполняемые над числами. Поэтому не представляет трудностей ввести общее понятие линейного пространства над произвольным полем P .

Это понятие — частный случай модуля над коммутативным кольцом.б. Любая абелева группа G имеет структуру Z-модуля, в котором произведение na естьвычисление n-кратного для элемента a ∈ G:na = a{z. . . + a} .|+a+n разÌÃÒÓÔÍ-12Отметим, что если алгебраическая система K = (K0 , {+, ·}) есть кольцо, то и алгебраиe = (K0 , {+, ∗}) с операцией a ∗ b = ba тоже будет кольцом.

Любый левыйческая система KeeK-модуль является правым K-модулем,а правый K-модуль — левым K-модулем.Таким образом, двойственные понятия правый“ и левый“ взаимозаменяемы. Вернемся к примеру в. В””зависимости от интерпретации композиции (под f ◦ g можно понимать и f (g(x)), и g(f (x)), т.е.отображения могут применяться и справа налево, так и слева направо) абелева группа будетили левым EG -модулем, или правым.Если K — кольцо с единицей, то к трем аксиомам модуля уместно добавить аксиомуM∗1 ) 1 · a = a (умножение любого элемента на единицу кольца не изменяет этого элемента).Модуль над кольцом с единицей, удовлетворяющий этой аксиоме, называется унитарныммодулем.

Модули, рассмотренные в примерах а–в, д являются унитарными. Модуль в примере г является унитарным в случае кольца с единицей и неунитарным, если кольцо не имеетединицы. Эти примеры показывают, что требование унитарности естественное, но автоматически не выполняется: несложно привести пример неунитарного модуля над кольцом с единицей,например, взяв унитарный модуль и заменив исходное умножение αu на элементы кольца другим умножением α∗u = (α+α)u. Если единица кольца имеет порядок (по сложению), отличныйот 2, то получим неунитарный модуль.ÔÍ-12Действительно, вычисление n-кратного можно рассматривать как бинарную многосортную операцию.

Не составляет труда проверить выполнение аксиом модуля.в. Множество EG автогомоморфизмов“ (они называются эндоморфизмами) заданной”абелевой группы G, т.е. гоморфизмов G в себя, есть кольцо относительно операций поточечного сложения и композиции как умножения, а сама группа G является EG -модулем, если подумножением эндоморфизма ϕ на элемент группы a понимать значение ϕ(a).г. Любое кольцо K является K-модулем (сравните: R есть ЛП над R). Пример можнообобщить: n-я декартова степень K n кольца K с операциями покомпонентного сложения ипокомпонентного умножения на скаляр“ есть K-модуль.”д.

В кольце K структуру левого (правого) K-модуля имеет любой левый (правый) идеал.В этом примере умножение произвольного элемента кольца справа (слева) на элемент идеаламожно рассматривать как многосортную операцию. #ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓМожно сказать, что при левом умножении внешним (вторым) множителем является левый, апри правом умножении — правый. Если кольцо K коммутативно, то понятия левого и правогоK-модулей совпадаютÔÍ-12ÔÍ-12u(βα) = (uβ)α.ÌÃÒÓÌÃÒÓM∗3 ) (αβ)u = α(βu).Наряду с понятием левого модуля существует понятие и правого модуля. Правым K-модулем над кольцом K называется абелева группа, в которой введено правое умножение наэлементы кольца. Правое умножение отличается от левого третьей аксиомой:ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ37ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-1216.

КОЛЬЦА И ПОЛЯÌÃÒÓÔÍ-12ПодмодулиÔÍ-12ÌÃÒÓ38Пусть K — кольцо и M есть K-модуль. Множество H ⊂ M называется подмодулеммодуля K, если H замкнуто относительно групповых операций и относительно умножения наэлементы кольца, т.е.1) u, v ∈ H ⇒ u + v ∈ H;2) u ∈ H ⇒ −u ∈ H;3) u ∈ H, α ∈ K ⇒ αu ∈ H.Из второго условия вытекает, что подмодуль всегда включает нуль (нейтральный элементпо операции сложения). Само второе условие вытекает из первого и третьего, если кольцоимеет единицу. В этом случае верно равенство (−u) = (−1)u, посколькуÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-1216. КОЛЬЦА И ПОЛЯÌÃÒÓ0 · u + 0 · u = (0 + 0)u = 0 · u,откуда 0 · u = 0.Как и в случае линейных пространств, можно утверждать, что пересечение двух подмодулей, как, впрочем, и пересечение любого числа подмодулей, является подмодулем.

Это позволяет ввести понятие подмодуля порожденного заданным множеством элементов. В частности,если H1 и H2 — подмодули, то их объединение не является подмодулем, однако определен минимальный подмодуль, содержащий и H1 , и H2 . Этот подмодуль называется суммой подмодулейH1 и H2 и обозначается H1 + H2 . Несложно показать, чтоH1 + H2 = {x ∈ M : x = h1 + h2 , h1 ∈ H1 , h2 ∈ H2 } ,ÔÍ-12т.е., как и в случае линейных пространств, сумма подмодулей — это множество всевозможных сумм элементов двух подмодулей. Сумма подмодулей является прямой, если для любогоэлемента u ∈ H1 + H2 разложение u = h1 + h2 , h1 ∈ H1 , h2 ∈ H2 , единственно. Сумма двухподмодулей прямая тогда и только тогда, когда пересечение этих подмодулей нулевое (доказательство повторяет соответствующее доказательство из линейной алгебры).Понятие прямой суммы можно перенести на любое конечное число подмодулей.

Сумма nnPподмодулей Hi , i = 1, n, представляет собой множество всевозмозможных сумм видаhi ,ÌÃÒÓÔÍ-12а в силу свойств умножения на элементы кольцаÔÍ-12ÔÍ-12u + (−1)u = 1 · u + (−1)u = (1 − 1)u = 0 · u,ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓi=1где hi ∈ Hi , i = 1, n.