Кольца и поля. Кольца. Специальные типы колец. Гомоморфизмы колец и факторизация. Модули и алгебры. Алгебры на полем (1078528), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Такая сумма называется прямой, если указанное представление любогоэлемента суммы единственно. Сумма n подмодулей является прямой тогда и тогда, когдапересечение любого из n подмодулей с суммой остальных нулевое.Среди подмодулей выделим так называемые конечно порожденные подмодули, т.е.подмодули, порожденные конечным множеством, и циклические подмодули, порожденныеодним элементом. В унитарном левом модуле M циклический подмодуль, порожденный элементом u имеет вид Ku. Действительно, любой подмодуль, содержащий u, содержит и любой элемент вида αu, т.е.
любой подмодуль, содержащий u, включает в себя множество Ku.Само множество Ku является подмодулем, поскольку для элементов α1 u и α2 u их сумма есть(α1 +α2 )u ∈ Ku. Для любого β ∈ K и v = αu ∈ Ku имеем βv = (βα)u ∈ Ku. Если v = αu ∈ Ku,то −v = (−α)u ∈ Ku. Наконец, в унитарном модуле u ∈ Ku. Поэтому Ku — минимальныйподмодуль, содержащий u, или, иначе, подмодуль, порожденный элементом u.Аналогично в унитарном модуле подмодуль, порожденный элементами u1 , . . . , un , представляет собой сумму Ku1 +. .
.+Kun . Проверка этого аналогично случаю циклического подмодуля.ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓ39Гомоморфизмы модулейПусть K — кольцо и M , N — модули над K. Отображение ϕ: M → N называется гомоморфизмом K-модулей, если оно сохраняет операции K-модулей, т.е.ϕ(u + v) = ϕ(u) + ϕ(v),ϕ(αu) = αϕ(u).Если K — поле, то K-модуль представляет собой линейное пространство над полем K, апонятие гомоморфизма K-модулей сводится к понятию линейного оператора. Как и в случаелинейного оператора множество Im ϕ = ϕ(M ) есть подмодуль в N , называемый образом гомоморфизма ϕ, а множество Ker ϕ = ϕ−1 (0) = {u ∈ M : ϕ(x) = 0} — подмодуль, называемыйядром гомоморфизма ϕ.Пусть M — K-модуль и H ⊂ M — его подмодуль.
Тогда H есть подгруппа в абелевойгруппе M . Возможна факторизация. Оказывается, что фактор-группа G/H имеет естественную структуру K-модуля. В самом деле, факторизация аддитивной группы K-модуля определяется отношением эквивалентности u ∼ v ⇔ u−v ∈ H. Легко убедиться в том, что если u ∼ v,то для любого α ∈ K будет αu ∼ αv. Значит, на фактор-группе G/H можно задать умножениена элементы кольца в соответствии с равенствомα(u + H) = αu + HХарактеристики модуля и его элементовАннулятором (кручением) элемента модуля называется множество AnnK (u) элементов кольца, аннулирующих элемент модуля, т.е.ÌÃÒÓ(т.е. для умножения класса смежности a + H на элемент α достаточно в этом классе взятьпроизвольный элемент u и умножить на элемент α; результат определит класс смежности,который и будет произведением a + H на α).Подчеркнем, что в то время как в теории групп и теории колец факторизация требует дополнительного условия на знаменатель“ факторизации, в теории модулей фактоизация возможна”по любому подмодулю.ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-1216.
КОЛЬЦА И ПОЛЯÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓАннулятор элемента в левом K-модуле — левосторонний идеал в K. В самом деле, если α ∈AnnK (u) и β ∈ K, то αu = 0 и βαu = β · 0 = 0, т.е. βα ∈ AnnK (u). Коротко результат этогорассуждения можно записать так: β AnnK (u) ⊂ AnnK (u). А это и означает, что AnnK (u) естьлевосторонний идеалУ элемента аннулятор может состоять из единственного элемента — нуля кольца. Другойкрайний случай, когда AnnK (u) = K. Это означает, что αu = 0 для любого элемента α ∈ K.Отметим, что такое невозможно в унитарном модуле.Элемент K-модуля, имеющий ненулевой аннулятор, называется периодическим.
Если вK-модуле все элементы периодические, то модкль называется периодическим. Пример периодического модуля — конечная абелева группа как Z — модуль. В этом случае периодическийэлемент есть элемент конечного порядка.Аннулятор Ann(M ) K-модуля M — пересечение аннуляторов всех элементов модуля.Если Ann(G) = 0, то модуль точный.
Аннулятор K-модуля — двусторонний идеал вK. Поэтому можно рассмотреть фактор-кольцо K/ Ann(M ). При этом K-модуль M можнонаделить структуроймодуля над фактор-кольцом K/ Ann(M ), если ввести левое умножениеa + Ann(M ) u = au. Это определение корректно, поскольку для эквивалентных элементовa и b имеем a − b ∈ Ann(M ) и для любого элемента u ∈ M верно au − bu = (a − b)u = 0,или au = bu. Полученныйпри этом модуль над фактор-кольцом будет точным.
В самом деле,если a + Ann(M ) u = 0 для любого u ∈ M , то элемент a ∈ K аннулирует любой элемент модуля, а потому принадлежит аннулятору модуля, т.е. a + Ann(M ) = Ann(M ) и является нулемфактор-кольца.ÔÍ-12ÔÍ-12AnnK (u) = {α ∈ K: αv = 0} .ÌÃÒÓJ Пусть верно утверждение а). Выберем в качестве K-модуля N стандартный“ модуль K n и”гомоморфизм ϕ, для которого ϕ(ui ) = ei , где e1 , . . . , en — стандартный базис в K n . Тогдадля любых αi ∈ K имеемϕnXi=1αi ui =nXαi ϕ(ui ) = (α1 , . .
. , αn ).i=1ÔÍ-12Алгебра над полем P — это линейное пространство L над P с дополнительной бинарнойоперацией, называемой умножением, которая в совокупности со сложением превращает L вкольцо, в общем случае неассоциативное, и связана с операцией умножения на элементы полязаконом ассоциативности (αu)v = α(uv).Структура кольца предполагает, что умножение ассоциативно. Однако, вспоминая, что могут рассматриваться неассоциативные кольца, заключаем, что могут быть неассоциативные алгебры. В этом случае закон ассоциативности заменяется некоторым более слабымÌÃÒÓ16.5. Алгебры на полемÔÍ-12Равенство u = α1 u1 + .
. . + αn un = 0 влечет за собой ϕ(u) = 0. Но это возможно только тогда,когда αi = 0, i = 1, n. Таким образом, заключаем, что система u1 , . . . , un линейно независима.Пункт б) следует из пункта в) как частный случай u = 0. С другой стороны, если элементы u1 , . . . , un линейно независимы, то так же, как и в линейной алгебре, нетрудно показать,что разложение любого элемента модуля по этой системе единственно. Существование такогоразложения вытекает из условия, что элементы u1 , . . . , un порождают модуль.Единственность представления u = α1 u1 + .
. . + αn un можно переформулировать как утверждение, что сумма Ku1 +. . .+Kun является прямой. Это равносильно эквивалентности пунктовв) и г). Наконец, единственность разложения позволяет построить отображение, которое каждому элементу ставит в соответствие коэффициенты его разложения по системе u1 , . . . , un .Это отображение, как легко убедиться, есть изоморфизм между рассматриваемы модулем имодулем K n . Если M ∼= K n , то изоморфизм устанавливает соответствие между стандартнымnбазисом в K и некоторым набором u1 , u2 ,.
. . , un элементов модуля M . Нетрудно показать,что u1 , u2 ,. . . , un порождают M свободно (как стандартный базис порождает свободно K n ).Таким образом, из д) следует а). IÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓТеорема 16.1. Пусть K — кольцо с единицей и M — левый унитарный модуль. Тогдаследующие утверждения эквивалентны:а) множество {u1 , . . . , um } порождает M свободно;б) множество {u1 , .
. . , um } порождает M и элементы u1 , . . . , um линейно независимы;в) любой элемент u ∈ M представим в виде u = α1 u1 + . . . + αm uM , и притом единственнымобразом.г) модули Kui образуют прямую сумму;д) M ∼= K m.ÔÍ-12ÔÍ-12Говорят, что множество {u1 , . . . , um } порождает K-модуль M свободно, если оно порождаетэтот K-модуль и, кроме того, для любого K-модуля N и любого множества {v1 , . . . , vm } ⊂ Nсуществует K-гомоморфизм ϕ: M → N , для которого ϕ(ui ) = vi , i = 1, m. При этом модуль Mназывают свободным, а совокупность его элементов {u1 , .
. . , um } — его базисом.Понятие системы, порождающей модуль свободно, тесно связано с понятием линейной независимости (зависимости). Фактически это понятие позволяет перенести на произвольныемодули основную часть аппарата линейной алгебры, опирающегося на понятие линейной независимости и базиса. Этот тезис вытекает из следующей теоремы.ÌÃÒÓÌÃÒÓСвободные модулиÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ40ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-1216.
КОЛЬЦА И ПОЛЯÌÃÒÓ(a + H)(b + H) = ab + H,λ(a + H) = (λa) + H.Теорема 16.2. Всякая n-мерная ассоциативная алгебра над полем P изоморфна некоторойподалгебре в Mk (P ), где k 6 n + 1.J Доказательство близко к доказательству теоремы Кэли. Алгебра с 1 вкладывается в Mn (P ),которое можно интерпретировать как алгебру эндоморфизмов, а вложение имеет вид ϕx (u) =ÔÍ-12Ядро гомоморфизма — двусторонний идеал. С другой стороны, для любого двустороннегоидеала H на множестве классов смежности можно построить структуру алгебры, используяприведенные выше операции.
Это означает, что факторалгебру можно построить по любомудвустороннему идеалу. В частности, любой двусторонний идеал есть ядро некоторого гомоморфизма. В качестве примера можно рассмотреть канонический гомоморфизм алгебр,который каждому элементу алгебры ставит в соответствие класс смежности, порожденныйэтим элементом.ÌÃÒÓ(a + H) + (b + H) = (a + b) + H,ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓназываемому тождеством Якоби. Неассоциативная алгебра, удовлетворяющая тождествуЯкоби, называется алгеброй Ли.Примеры алгебр:1) кольцо многочленов над полем P ;2) кольцо матриц Mn (P ) над полем P ;3) алгебра линейных операторов в линейном пространстве над полем P ;4) любое расширение поля P , т.е.
поле P 0 , включающее в себя поле P .Как и для других алгебраических структур, вводится понятие подалгебры — подмножества алгебры, которое замкнуто относительно всех операций алгебры (включая операцию вычитания, обратную к операции сложения). Пересечение любого подмножества подалгебр даннойалгебры снова является подалгеброй. Отсюда приходим к понятию подалгебры, порожденнойданным множеством элементов A: это пересечение всех подалгебр, содержащих множество A,или минимальная подалгебра, содержащая множество A.
На алгебры и их подалгебры, каклинейные пространства, распространяется понятие размерности.Гомоморфизм алгебры A1 над полем P в алгебру A2 над P — это отображение ϕ: A1 → A2 ,сохраняющее три операции алгебры. Если гомоморфизм является биективным отображением,то между элементами двух алгебр, а также между операциями в этих алгебрах, устанавливаетсявзаимно однозначное соответствие. Такое соответствие означает, что две алгебры идентичныпо своей внутренней структуре.
Такие алгебры называются изоморфными.Для ассоциативных алгебр гомоморфизм есть, с одной стороны, линейный оператор, действующий из A1 в A2 , а с другой, — гомоморфизм соответствующих колец. Следовательно,ядро гомоморфизма алгебр обладает свойствами двустороннего идеала, как ядро гомоморфизма колец. Понятие левостороннего (правостороннего, двустороннего) идеала переноситсяна алгебры. Таким образом, ядро гомоморфизма алгебр есть двусторонний идеал. Факторизация в алгебрах строится также, как и в других алгебраических структурах. Любойгомоморфизм ϕ: A1 → A2 алгебр переносит структуру алгебры со своего образа A2 (или подAалгебры в A2 ) на множество классов смежности 1 (относительно сложения) по своему ядруHH = Ker ϕ. Множество классов смежности с перенесенной структурой называется факторалAгеброй 1 алгебры A1 по подалгебре H. Операции факторалгебры записываются аналогичноHоперациям фактормодулей и факторколец:ÔÍ-12ÔÍ-12(a × b) × c + (b × c) × a + (c × a) × b,ÌÃÒÓÌÃÒÓзаконом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
