Лекция 2 (Лекционный курс), страница 2

2.3).Уравнение Лапласа, имеющее видd 2U 0,dy 2после интегрирования сводится к уравнениюE  U d .y2Edv y0v01vx0-xхРис. 2.3 Движение электрона в однородном электрическом полеУравнение движения электрона в прямоугольной системе координат разбивается на триуравнения:dvm x  e E x  e(v y B z  v z B y );dtdv ym e E y  e(v z B x  v x B z );dtdv zm e E z  e(v x B y  v y B x ). dtВ рассматриваемом случае магнитное поле отсутствует, а электрическое имеет однукомпоненту E y  E . Тогда система уравнений запишется какdtd vym eE y  eE;dtd vzm 0.dtПусть в момент t = 0 электрон находится в точке начала координат и движется соскоростью v0, имеющей компоненты по осям х и y, а компонента скорости по z равна нулю.

Тогдаинтегрирование приводит к уравнениям:md vx 0; const  v ; x0 ev y   m Et  v y0 ;0.vzПосле повторного интегрирования первых двух уравнений получаемx  v t;x0e2yEt  v t.y0 2mКонстанты интегрирования в обоих случаях равны нулю, поскольку в начальный моментx = y = 0 интегрирование третьего уравнения дает z = 0.Исключим t:x.tv x0Получим уравнение траектории электрона:vxex 2 v y0E 2 x.2m vx0 v x0Видно, что движение происходит по параболе (кривая 1 на рис. 2.3), обращеннойвыпуклостью вверх. Анализ показывает, что вершина этой параболы имеет координатыm1m 2 1xmax  e v x0 v y0 E ; ymax  2e v y0 E .Совершая движение по этой траектории, электрон возвращается к оси х в точке скоординатой:2m1x0  2 xmax  e v x0 v y0 E .Если вектор напряженности поля E направить в противоположную сторону –y, тоизменяется знак первого члена уравнения траектории электрона:yex2 vyE 2  0 x,2m vx0 v x0т.е.

в данном случае электрон будет двигаться по траектории 2 (рис. 2.3). Это отрезок параболы,симметричный относительно начала координат параболе 1.yДвижение электрона в однородном магнитном полеДля решения этой задачи так же воспользуемся прямоугольной системой координат. Ось унаправим навстречу вектору магнитной индукции В, а ось x – так, чтобы вектор скорости электрона, находящегося в момент времени t = 0 в точке начала координат, лежал в плоскости XOY, т.е.имеем компоненты xo и yo.В отсутствии электрического поля система уравнений движения электрона принимает вид:dm x = – е ( у  Вz – z By );dtd ym= – e (z Bx – x Bz );dtdm z =– –e (x By – y Bx ),dtили с учетом условий Bx =Bz =0, а Ву = – В:mmmd x= e B z;dtd ydt= 0;d zdt=e Bx.yBvy0hv00vx0xrzРис.

3.2 Движение электронаРис. 2.4 Движение электрона в однородном магнитном полев однородном магнитном полеИнтегрирование второго уравнения системы с учетом начального условия: при t=0, y=yoприводит к соотношению: y   yo  const ,т.е. показывает, что магнитное поле не влияет на компоненту скорости электрона в направлениисиловых линий поля.Совместное решение первого и третьего уравнений системы, состоящее вдифференцировании первого по времени и подстановке значения dz /dt из третьего, приводит куравнению, связывающему скорость электрона x cо временем:d 2 x  2 x = 0,2dtгдеe B.mРешение уравнений такого типа можно представить в виде:x = A cos t + C sin t,причем из начальных условий при t = 0, x = xo , dx /dt = 0 (что следует из первого уравнениясистемы, так как zo = 0) вытекает, чтоx = xo  cos  t.Кроме того, дифференцирование этого уравнения с учетом первого уравнения системыприводит к выражению:z =xo sin t.Заметим, что возведение в квадрат и сложение двух последних уравнений дает выражение:x2 + z2= xo2 = const,которое еще раз подтверждает, что магнитное поле не изменяет величины полной скорости(энергии) электрона.В результате интегрирования уравнения, определяющего его x, получаем: xox= sin  t,постоянная интегрирования в соответствии с начальными условиями равна нулю.Интегрирование уравнения, определяющего скорость z с учетом того, что при z = 0, t = 0позволяет найти зависимость от времени координаты Z электрона:Z xo1  cos t .Решая два последних уравнения относительно sint и cost, возводя в квадрат искладывая, после несложных преобразований получаем уравнение проекции траектории электронана плоскости XOZ:   x   Z  x0    x0  .   Это уравнение окружности радиуса r =  xo /  , центр которой расположен на оси z на222расстоянии r от начала координат (рис.

2.4). Сама траектория электрона представляет собойцилиндрическую спираль радиусаrc шагомh x02 y 0.Из полученных уравнений очевидно также, что величинаeBmпредставляет собой круговую частоту движения электрона по этой траектории.Электрический ток в вакууме при наличии объемного зарядаДо сих пор рассматривались закономерности движения электронов в вакууме, когдаобъемный заряд незначительный, картина электрического поля описывается уравнением Лапласа.Однако в большинстве приборов используются значительные токи и формируютсяобъемные заряды такой плотности, что ими нельзя пренебрегать.Различают два режима: режим пространственного заряда и насыщения.Рассмотрим закономерности режима пространственного заряда.Представим анод и катод в виде плоскостей. На рис.

2.5 по оси абсцисс отложено расстояниеот катода до анода, вверх от нулевой линии – положительное напряжение, вниз – отрицательное.Допустим, что из катода выходит определенное количество электронов и величина эта постоянная(Iэм = const). Если на анод не подано напряжение, то электроны, выйдя из катода, хаотическидвигаются в диодном промежутке, образуя между катодом и анодом отрицательный объемныйзаряд (кривая 1).UаК2 АхUminUmin01Рис.

2.5 Распределение потенциала в диодном промежуткеПодадим на анод небольшое положительное напряжение. Электроны ускоряются анодом, вцепи анода протекает ток, но он меньше, чем ток эмиссии (Iа < Iэм). Распределение потенциаламежду электродами при этом показано кривой 2. Отрицательный объемный заряд сохраняетсятолько у катода, при этом образуется потенциальный минимум Umin. Электрон, выйдя из катода,попадает в тормозящее поле этого потенциала, и только если его энергия больше Umin,преодолевает этот потенциальный барьер и ускоряется полем анода:e 2eU min.mЕсли энергия у электрона меньше, он не может преодолеть этот барьер и остается в областиотрицательного пространственного заряда.

Диодный промежуток в этом случае работает в режимеограничения анодного тока объемным пространственным зарядом.Зависимость анодного тока от напряжения на аноде определяется уравнением:324 0 2e U ajа .9m d2акПодставив постоянные, получим:ja  2,33 10 6U а3 / 2[А/см2],2d акгдеUa – выражено в вольтах;dак – в см.Это выражение носит название закона степени трех вторых. Если плотность тока анодаумножить на площадь анода, получим ток анода Iа.Уравнение степени трех вторых описывает диодную характеристику, представленную нарис. 2.6.IaUaРис 2.6 Диодная характеристика при наличии объемного зарядаЗакон степени 3/2 применим в любом электронном, вакуумном приборе при наличииобъемного пространственного отрицательного заряда у катода.Формирование потока электроновПокидая катод, электроны имеют разные тепловые скорости.

Начальные тепловые скоростиэлектронов составляют, как правило, несколько десятых долей вольта. Распределение электроновпо скоростям является Максвелловским. Покидая катод, электроны не имеют направленногодвижения. В целом ряде современных электронных приборов используются направленныеуправляемые потоки (пучки) электронов. Создание таких пучков осуществляется с помощьюсоответствующих магнитных и электрических полей.Область техники, которая охватывает создание направленных, сфокусированных,управляемых по интенсивности и по направлению электронных пучков, называется лучевойэлектроникой.

Под электроннооптической системой будем понимать совокупность электродов,имеющих определенные потенциалы и геометрии, и магнитов или проводников, создающихсоответственные электрические и магнитные поля.В настоящее время находят применение электронные пучки, обладающие разнообразнымиэлектрическими и геометрическими характеристиками. Требования, предъявляемые к свойствамэлектронных пучков, к их параметрам, определяются назначением и конструкцией приборов. Всеизвестные электронные пучки подразделяют по плотности тока – на интенсивные и слабые; поскорости электронов – на нерелятивистские и релятивистские; по признакам симметрии – наосесимметричные и неосесимметричные; по форме оси – на прямолинейные и криволинейные, поформе поперечного и осевого сечения – на прямоугольные, цилиндрические, трубчатые, конические,сходящиеся и т.д.Можно выделить следующие общие требования, предъявляемые к пучкам электроннымиприборами:1.

пучки должны иметь резко очерченные границы заданных геометрической формы иразмеров;2. пучки должны обладать заданной плотностью тока при заданном ускоряющем потенциале;3. пучки должны быть устойчивыми при необходимых плотности тока и ускоряющемпотенциале.Относительное значение каждого из этих требований зависит от специфическихособенностей конкретного применения пучков.Широкому распространению электронно-лучевых приборов способствовали замечательныесвойства электронного луча – практическая безынерционность, позволяющая перемещать луч впространстве со скоростью, соизмеримой со скоростью света, возможность при помощиэлектронного луча анализировать быстро протекающие процессы, передавать и приниматьтелевизионные изображения, «переносить» изображения из одной части спектра в другую,«записывать» и «считывать» различную информацию. Сфокусированные пучки заряженныхчастиц «работают» в различных ускорителях в ядерной физике (циклотрон, бетатрон, синхротрон,линейные ускорители и др.).

Созданы приборы, в которых для получения увеличенныхизображений малых объектов вместо световых пучков используют электронные – электронныемикроскопы.Электронные и ионные пучки находят все более широкое применение в технологии(плавка, сварка и обработка материалов, сверление, получение новых материалов, упрочение,создание полупроводниковых переходов и т.д.)..