Мартинсон Л.К., Смирнов Е.В. - Элементы квантовой механики, страница 5

Координаты x и y частицы лежат в пределах 0 < x < a , 0 < y < b ,где a и b - стороны ямы. Определите вероятность нахождения частицы с наименьшейababэнергией в области: а) 0 < x < ; б) 0 < y < ; в) 0 < x < , 0 < y < .444424.

Частица находится в двумерной квадратной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками во втором возбужденном состоянии. Сторона ямы равна a . Определитеa2aa2a<x<< y<вероятность нахождения частицы в области: а); б);3333a2aa2a<x<< y<,.в)333325. Частица массой m0 находится в основном состоянии в двумерной квадратной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Найдите энергию частицы, если максимальное значение плотности вероятности местонахождения частицы равно wm .26. Частица массой m0 находится в кубической потенциальной яме с абсолютно непроницаемыми стенками. Найдите длину ребра куба, если разность энергий 6-го и 5гоуровней равна ∆E .

Чему равна кратность вырождения 6-го и 5-го уровней?27. Частица находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечновысокими стенками, имеющей ширину a . В каких точках интервала 0 < x < a плотностьвероятности обнаружения частицы одинакова для основного и второго возбужденногосостояний?28. Квантовый гармонический осциллятор находится в основном состоянии. Найдите вероятность P обнаружения частицы в области − a < x < a , где a - амплитуда классических колебаний.29.

Частица массой m0 находится в одномерном потенциальном поле U (x ) в стацио-нарном состоянии, описываемом волновой функцией ψ (x ) = A exp(− αx 2 ) , где A и α постоянные ( α > 0 ). Найдите энергию частицы и вид функции U (x ), если U (0) = 0 .30. Частица находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечновысокими стенками. Найдите отношение вероятностей нахождения частицы в среднейтрети ямы для первого и второго возбужденных состояний.31. Электрон с энергией Е = 4,9 эВ падает на прямоугольный потенциальный барьер высотой U = 5 эВ.

Оцените, при какой ширине барьера d коэффициент прохождения электрона через барьер D будет равен 0,2 ?32. Электрон, обладающий энергией E = 50 эВ, встречает на своем пути потенциальный порог высотой U = 20 эВ. Определите вероятность отражения электрона от этогопорога.33. Частица массой m0 падает на прямоугольный потенциальный порог высотой U 0 .Энергия частицы равна E , причем E > U 0 .

Найдите коэффициент отражения R и коэффициент прозрачности D этого барьера. Убедитесь, что значения этих коэффициентов не зависят от направления движения падающей частицы (слева направо или справаналево).34. Найдите коэффициент прохождения частицы массой m0 через треугольный потенциальный барьер видаx<0 0, xU (x ) = U 0 1 −  , 0 < x < d  d 0,x>dв зависимости от энергии частицы E при E < U 0 .35.

Найдите коэффициент прохождения частицы массой m0 через потенциальный барьервида 0, x2U (x ) = U 0 1 − 2  d 0,x<0 , 0 < x < dx>dв зависимости от энергии частицы E при E < U 0 .36. Найдите коэффициент прохождения частицы массой m0 через потенциальный барьервидаx < −d 0,2 xU (x ) = U 0 1 − 2 , − d < x < 0d   0,x>0в зависимости от энергии частицы E при E < U 0 .37. Считая, что радиоактивный α -распад происходит за счет туннелирования α частицы через потенциальный барьер, получите закон радиоактивного α -распада, определяющий зависимость числа нераспавшихся ядер от времени распада t . Скорость α частицы в материнском ядре равна v , радиус ядра - r0 , коэффициент прозрачностипотенциального барьера - D , число нераспавшихся ядер в начальный момент времени –N0 .38.

Частица массой m0 падает на прямоугольный потенциальный порог высотой U 0 .Энергия частицы равна E , причем E < U 0 . Найдите эффективную глубину проникновения частицы в область порога, т.е. на расстояние от границы порога до точки, в которой плотность вероятности нахождения частицы уменьшается в e раз.39. Частица с энергией E падает на прямоугольный потенциальный порог высотой U 0 .UНайдите приближенное выражение для коэффициента отражения R для случая 0 << 1 .E40. Частица массой m0 , обладающая энергией E , падает на прямоугольную потенциальную яму шириной a и глубиной U 0 .

Найдите коэффициент прохождения ямы дляэтой частицы, а также значения энергии E , при которых частица будет беспрепятственно проходить через яму.41. Определите возможные результаты измерений квадрата модуля момента импульсадля частицы, находящейся в состоянии, описываемом волновой функциейL2ψ (θ , ϕ ) = A sin θ cos ϕ , где θ -полярный угол, ϕ - азимутальный угол, A - некотораянормировочная постоянная.42.

Определите возможные результаты измерений проекции момента импульса Lz навыделенное направление для частицы, находящейся в состоянии, описываемом волновойфункцией ψ (θ , ϕ ) = A sin θ cos ϕ , где θ -полярный угол, ϕ - азимутальный угол, A некоторая нормировочная постоянная.43.Волновая функция основного состояния электрона в атоме водорода имеет вид rψ (r ) = A exp −  , где r - расстояние электрона от ядра, a - радиус первой боровской aорбиты. Определите среднее значение квадрата расстояния < r 2 > электрона от ядра вэтом состоянии.44. Частица находится в двумерной квадратной потенциальной яме с непроницаемымистенками во втором возбужденном состоянии. Найдите среднее значение квадрата импульса частицы < p 2 > , если сторона ямы равна a .45. Частица массой m0 находится в одномерной потенциальной яме с непроницаемымистенками во втором возбужденном состоянии.

Найдите среднее значение кинетическойэнергии частицы < E K > , если ширина ямы равна a .46. Возможные значения проекции момента импульса на произвольную ось равны m! ,где m = l , l − 1, " , − l + 1, − l . Считая, что эти проекции равновероятны и оси равноправны, покажите, что в состоянии с определенным значением l среднее значение квадратамомента импульса < L2 > = ! 2 l (l + 1) .47. В некоторый момент времени координатная часть волновой функции частицы, находящейся в одномерной прямоугольной потенциальной яме с абсолютно непроницаемы-ми стенками ( 0 < x < a ), имеет вид ψ (x ) = Ax(a − x ) . Найдите среднюю кинетическуюэнергию частицы в этом состоянии, если масса частицы равна m0 .48. В некоторый момент времени частица находится в состоянии, описываемом волновой x2функцией, координатная часть которой имеет вид ψ (x ) = A exp − 2 + ikx  , где A и a  aнекоторые постоянные, а k - заданный параметр, имеющий размерность обратной длины.Найдите для данного состояния средние значения координаты < x > и проекции импульсачастицы < p x > .49.

В некоторый момент времени координатная часть волновой функции частицы, находящейся в одномерной прямоугольной потенциальной яме с абсолютно непроницаемымиπxстенками ( 0 < x < a ), имеет вид ψ (x ) = A sin 2 . Найдите вероятность пребывания часaтицы в основном состоянии.50. Найдите средние значения кинетической и потенциальной энергий квантового осциллятора с частотой ω 0 в основном состоянии, описываемом волновой функцией m0 ω 0 x 2ψ (x ) = A exp −2! , где A - некоторая постоянная, а m0 - масса осциллятора.51.

Докажите, что квадрат момента импульса частицы L2 может быть одновременноизмерим с кинетической энергией частицы E K .Указание: Рассмотрите коммутатор операторов L2 и E KСПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ1. Врунов П.А., Мартинсон Л.К., Смирнов Е.В. Операторы в квантовой механике. М.: Изд-воМГТУ им. Н.Э.Баумана, 1994. 40 с.2. Мартинсон Л.К. Методические указания к решению задач по курсу общей физики. Разделы "Элементы квантовой механики", "Физика твердого тела".

М.: МВТУ им. Н.Э.Баумана,1983. 64 с.3. Чертов А.Г., Воробьев А.А. Задачник по физике. М.: Высш, шк., 1988. 527 с.4. Иродов И.Е. Задачи по общей физике. М.: ЗАО "Издательство БИНОМ", 1998. 448 С.5. Иродов И.Е. Задачи по квантовой физике. М.: Высш. шк., 1991. 175 с..