Мартинсон Л.К., Смирнов Е.В. - Элементы квантовой механики

Московский Государственный Технический Университет имени Н.Э. БауманаЛ.К. Мартинсон, Е.В. СмирновМЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯК ДОМАШНЕМУ ЗАДАНИЮ ПО КУРСУ ОБЩЕЙ ФИЗИКИРАЗДЕЛ "ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ"1. ВОЛНОВЫЕ СВОЙСТВА ЧАСТИЦ. ГИПОТЕЗА ДЕ БРОЙЛЯВ 1924 г. Луи де Бройль выдвинул гипотезу о том, что все частицы обладают волновымисвойствами. В частности, волновые свойства свободной частицы, движущейся с постояннойскоростью в направлении оси X, описываются плоской волной де Бройля, распространяющейся в том же направлении. Частота этой волны ω и ее длина λБ связаны с энергией Е частицы и ее импульсом р соотношениямиE2 π!ω=, λБ =(1.1)!phЗдесь ! == 1,05⋅10-34 Дж⋅с - рационализированная постоянная Планка.2πВ комплексной форме уравнение плоской волны де Бройля для частицы может быть записано в виде:Ψ(x, t) = A exp[- i (ωt - kx)] = A exp[- (i/ ħ)(Et - px)](1.2)Здесь А - амплитуда волны; k =2 π/λБ = p/ ħ - волновое число; i = (-1)1/2 - мнимая единица.Начальная фаза волны в (1.2) выбрана равной нулю.Волны де Бройля можно назвать волнами материи.

По физическому смыслу этих волн вероятность обнаружения частицы в некоторой области пространства тем больше, чем большеквадрат амплитуды волны де Бройля, т.е. чем больше ее интенсивность.Волны де Бройля могут отражаться, преломляться, интерферировать друг с другом, испытывать дифракцию при взаимодействии с неоднородностями.

В этом смысле, например, можноговорить о дифракции частиц и наблюдать дифракционные эффекты в экспериментах с движущимися частицами.Один из первых опытов по наблюдению дифракции электронов на кристалле (рис. 1.1, где 1 электронная пушка; 2 - детектор отраженных электронов) был выполнен в 1927 г. К. Дэвиссоном и Л. Джермером; в нем разогнанные в электронной пушке электроны падали на кристалл никеля под некоторым углом скольжения Θ. Как показал опыт, резкое увеличение числа отраженных от кристалла и попадающих в детектор электронов наблюдалось в тех случаях, когда выполнялось условие Вульфа - Брэгга2d sin Θ = n λБ ,n =1,2, …(1.3)соответствующее условию усиления вторичных электронных волн, отраженных от различных атомных слоев плоскостей.

В формуле (1.3) d -расстояние между атомными плоскостями, проходящими через узлы кристаллической решетки, а целое число n - порядок максимума отражения.В представленной схеме опыта основная система атомных плоскостей, для которых атомыкристалла расположены наиболее густо, была параллельна отшлифованной поверхностикристалла. В общем случае, однако, атомные плоскости могут располагаться под некоторымуглом к поверхности кристалла.

Тогда в формуле (1.3) угол Θ следует рассматривать какугол скольжения пучка падающих электронов по отношению к системе атомных плоскостей,отражающих волны де Бройля.Примеры решения задачЗадача 1.1. Получить выражение для длины волны де Бройля релятивистской частицы, обладающей кинетической энергией ЕК . При каких значениях ЕК ошибка в определении длиныволны де Бройля по нерелятивистской формуле не превышает одного процента: а) для электрона; б) для протона?Решение. Связь между импульсом нерелятивистской частицы р и ее кинетической энергиейЕк имеет вид:р2 = 2 m0 EК.Для релятивистской частицы, движущейся со скоростью, сравнимой со скоростью света ввакууме с, эта связь выражается формулойр2 с2 = ЕК(ЕК + 2m0с2)Тогда в соответствии с формулой (1.1) находим длину волны де Бройля.Для нерелятивистской частицыλБ =2 π!=р2 π!2m0 Е КДля релятивистской частицыλ( р)Б2 π!==р12 π!−ЕК2(1 +)22m0 c2m0 Е КОтносительная ошибка расчетов по этим формулам1−λ Б − λ(Бр )ЕК2)ε == 1 − (1 +2λБ2m 0 cОтсюда находим значение кинетической энергии частицы, для которого расчет по нерелятивистской формуле приводит к относительной ошибке ε,[Е К ( ε ) = 2 m 0 c 2 (1 − ε )−2]−1Для малых ε << 1 получаем ЕК (ε) ≈ 4 ε m0c2 = 4εE0 , где Е0 =m0 с2 - энергия покоя частицы.

Вчастности, для электрона Е0 = 0,511 МэВ, а для протона E0 = 938,2 МэВ. Поэтому вплоть дозначений кинетической энергии ЕК = 20,4 кэВ для электрона и ЕК =37,5 МэВ для протона прирасчете длины волны де Бройля по нерелятивистской формуле относительная ошибка расчета не превышает одного процента.Задача 1.2. Какую ускоряющую разность потенциалов U должен пройти электрон, чтобыдлина волны де Бройля стала равной 10-10 м ?Решение.

Электрон, прошедший ускоряющую разность потенциалов U приобретает кинетическую энергию ЕК = е U . Используя нерелятивистскую формулу для длины волны де Бройля2 π!2 π!2 π!λБ ===р2m0 Е К2 m 0 eUвозможность применения которой можно обосновать расчетом, получимU =2π 2 ! 2m 0 eλ2БПодставляя числовые значения, находим U = 150 В.Так как значение кинетической энергии электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов 150 В, составляет 150 эВ, то на основании оценок, полученных в задаче 1.1, можно сделать вывод о правомерности использования нерелятивистской формулы для длиныволны де Бройля в этой задаче.Задача 1.3. Электрон с кинетической энергией ЕК = 100 эВ из вакуума попадает в металл,внутренний потенциал которого Ui =10 В.

Найдите показатель преломления металла пe дляэлектронной волны де Бройля.Решение. При попадании электрона в металл его потенциальная энергия уменьшается на величину, равную eUi . Поэтому из закона сохранения следует, что в металле кинетическаяэнергия электрона увеличится и станет равнойEK(1) = ЕK + eUi .Длина волны де Бройля нерелятивистского электрона в вакууме (см. задачу 1.1) определяется соотношениемλБ =2 π!2m0 Е КПри попадании электрона в металл длина волны де Бройля уменьшается и становится равнойλ(Б1 ) =2 π!2 m 0 Е К( 1 )=2 π!2 m 0 ( Е К + eU i )Теперь, используя аналогию из волновой оптики, определим показатель преломления металла для электронной волны де Бройля через отношение длин волнne =λБ=λ(Б1 )1+eU iEKДля данных из условия задачи находим, что ne = 1,05.Задача 1.4.

Пучок нерелятивистских электронов падает под углом скольжения Θ = 30° награнь монокристалла с расстоянием между атомными плоскостями d = 2,4⋅10-10 м. Определите значение первой ускоряющей разности потенциалов U1 , при которой наблюдается интенсивное отражение электронов от кристалла.Решение. Считая, что система атомных плоскостей, от которых отражаются электронныеволны де Бройля, параллельна поверхности монокристалла, запишем условие (1.3) максимума отражения электронов от кристалла для п-го порядка отражения2 d sin Θ = n λБДля длины волны де Бройля электронов, ускоренных разностью потенциалов U , можно записать выражение (см. решение задачи 1.2)λБ =2 π!2 m 0 eUПоэтому в случае интенсивного отражения электронов от кристалла n-го порядка они ускоряются разностью потенциаловn2π2! 2Un =2 d 2 m 0 e sin ΘОтсюда минимальное значение ускоряющей разности потенциалов соответствует п= 1 и составляет U1 = 26 В для данных из условия задачи.Задача 1.5.

Пучок нерелятивистских электронов, прошедших ускоряющую разность потенциалов U = 180 В, падает на монокристалл под углом α =75° к его поверхности. В направлении, составляющем угол β = 55° с поверхностью кристалла, наблюдается максимум отражения электронов четвертого порядка. Найдите расстояние между отражающими атомнымиплоскостями кристалла при условии, что падающий и отраженный пучки лежат в однойплоскости, перпендикулярной к поверхности кристалла.Решение: Длину волны де Бройля для электронов, прошедших ускоряющую разность потенциалов U , определим по формулеλБ =2 π!2 m 0 eUполученной при решении задачи 1.2.В рассматриваемом случае, когда α ≠ β, система отражающих атомных плоскостей не параллельна поверхности кристалла (рис.

1.2, где 1 - падающий электронный пучок; 2 - отраженный электронный пучок; 3 - отражающая плоскость кристалла). С учетом зеркального отражения волн от атомных плоскостей находим, что атомные плоскости должны быть перпендикулярны биссектрисе, делящей пополам угол γ между падающим и отраженным электронными пучками. Из рис. 1.2 видно, что угол между падающим электронным пучком и системой отражающих атомных плоскостей.Θ =πγα+β=−222Поэтому если отражение от этой системы атомных плоскостей соответствует дифракционному максимуму п - го порядка, то выполняется условие (1.3) Вульфа - Брегга 2dsinΘ =nλБкоторое можно записать в виде2 d sinα+β=2n 2 π!2 m 0 eUОтсюда находим искомое межплоскостное расстояниеd =nπ!α+βsin2 m 0 eU2Выполняя расчет по этой формуле, получаем d = 2,1⋅10-10 м.2.

СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ ГЕЙЗЕНББРГАВ 1927 г. В.Гейзенберг установил, что при наличии у частиц волновых свойств существуетсвязь между неопределенностями координат и соответствующими неопределенностями компонент импульса частицы. Эта связь имеет вид неравенств∆ x ⋅ ∆p x ≥ !∆y ⋅ ∆p y ≥ !(2.1)∆z ⋅ ∆p z ≥ !Эти соотношения играют важную роль, позволяя очертить границы применимости классической механики, в которой, в отличие от квантовой механики, пренебрегают волновыми свойствами частиц.

(Иногда в правой части неравенств (2.1)записывают не ħ , а ħ/2 или 2π ħ . Всилу того, что эти соотношения используются как оценочные, принципиального отличиямежду такими формами записи нет)Из соотношений Гейзенберга (2.1) следует, что из-за наличия у частицы волновых свойствнельзя одновременно точно измерить координату частицы, например х, и соответствующуюпроекцию импульса ∆рх. Действительно, при одновременном точном измерении этих величин ∆х→0 и ∆рх→0.

Но это противоречит неравенствам (2.1). Отсюда следует, в частности,что в квантовой механике для описания движения частицы нельзя использовать представление о движении частицы по определенной траектории, так как такое движение предполагаетвозможность одновременного точного определения и координат, и импульса (скорости) частицы.Аналогичные соотношения неопределенностей в квантовой механике записываются и длядругих пар физических величин. Так, например, энергия системы, существующей в течениепромежутка времени ∆t, имеет неопределенность ∆Е, причем(2.2.)∆E ⋅ ∆t ≥ !Ограничения на информацию о движении частицы и ее состоянии, вытекающие из соотношений неопределенностей, оказываются несущественными для лабораторных макроскопических масштабов. Однако эти ограничения становятся существенными для малых масштабоврасстояний, импульсов, энергий и времен жизни частиц, с которыми мы сталкиваемся ватомной и ядерной физике и в физике элементарных частиц.Примеры решения задачЗадача 2.1.