Лекции в электронном виде, страница 6

. . ∪ Hn = Ω.Определение 4.1 События H1 , H2 , . . . , Hn удовлетворяющие условиям 1 и 2, называют гипотезами.Заметим, что если события удовлетворяют второму из двух указанныхтребований, то их совокупность называют полной группой событий.Таким образом, гипотезы — это попарно несовместные события, образующие полную группу событий.Пусть также имеется некоторое событие A и известны вероятностигипотез P(H1 ), . . . , P(Hn ), которые предполагаются ненулевыми, и условные вероятности P(A|H1 ), . .

. , P(A|Hn ) события A при выполнении этихгипотез. Задача состоит в вычислении безусловной вероятности событияA. Для решения этой задачи используют следующую теорему.Рис. 4.1.Теорема 4.1 Пусть для некоторого события A и гипотез H1 , . . . , Hn известны P(H1 ), . . . , P(Hn ),которые положительны, и P(A|H1 ), .

. . , P(A|Hn ). Тогда безусловную вероятность P(A) определяют по формулеP(A) = P(H1 )P(A|H1 ) + . . . + P(Hn )P(A|Hn ),(4.1)которую называют формулой полной вероятности.Доказательство. Представим событие A в видеA = AΩ = A(H1 + . . . + Hn ) = AH1 + . . . + AHn(на рис. 4.1 область, соответствующая событию A, заштрихована). С учетом того, что событияAHi , i = 1, n, несовместны, имеемP(A) = P(AH1 ) + . . . + P(AHn ).В соответствии с формулой умножения вероятностей получаемP(AH1 ) = P(H1 )P(A|H1 ), . . . , P(AHn ) = P(Hn )P(A|Hn ).ПоэтомуP(A) = P(H1 )P(A|H1 ) + .

. . + P(Hn )P(A|Hn ).Формула полной вероятности при всей своей простоте играет весьма существенную роль в теориивероятностей.Пример 4.1 Путник должен попасть из пункта B в пункт A в соответствии со схемой дорог изображенной на рис. 4.2. Выбор любой дороги в любом пункте равновозможен. Найдем вероятностьсобытия A — достижения путником намеченной цели.16Для того чтобы попасть в пункт A, путник должен пройти одиниз промежуточных пунктов H1 , H2 или H3 . Введем гипотезы Hi , гдеHi означает, что путник выбрал в пункте B путь, ведущий в пунктHi , i = 1, 2, 3. Ясно, что события Hi несовместные и одно из них обязательно происходит, причем в силу равновозможности выбора дорог из1B в Hi P(Hi ) = .

Остается вычислить условные вероятности P(A|Hi ),3которые легко найти, если рассматривать новое пространство элеменРис. 4.2.тарных исходов, соответствующее выбранной гипотезе Hi .Например, появление H1 означает, что есть два равновозможных исхода (из пункта H1 выходят1две дороги), из которых лишь один благоприятствует событию A, т.е. P(A|H1 ) = . Аналогично21находим, что P(A|H2 ) = и P(A|H3 ) = 0.4Согласно формуле 4.1 полной вероятности, получае쵶11 1+ + 0 = 0,25.

#P(A) = ·32 4Заметим, что данная задача может иметь техническую интерпретацию: сеть дорог — это сетьканалов передачи информации, а P(A) — вероятность передачи сообщения по такой сети.Формула БайесаПусть по-прежнему некоторое событие A может произойти с одним из событий H1 , . . . , Hn , образующих полную группу попарно несовместных событий, называемых, как уже отмечалось, гипотезами. Предположим, что известны вероятности гипотез P(H1 ), .

. . , P(Hn ) (P(Hi ) > 0, i = 1, n) ичто в результате опыта событие A произошло, т.е. получена дополнительная информация. Спрашивается, как “изменятся” вероятности гипотез, т.е. чему будут равны условные вероятностиP(H1 |A), . . . , P(Hn |A), если известны также условные вероятности P(A|H1 ), . . . , P(A|Hn ) событияA? Для ответа на этот вопрос используют следующую теорему.Теорема 4.2 Пусть для некоторого события A, P(A) > 0, и гипотез H1 , . . . , Hn известны P(H1 ), . . . , P(Hn ) (P(Hi ) > 0, i = 1, n) и P(A|H1 ), .

. . , P(A|Hn ). Тогда условная вероятностьP(Hi |A), i = 1, n, гипотезы Hi при условии события A определяется формулой БайесаP(Hi |A) =P(Hi )P(A|Hi ).P(H1 )P(A|H1 ) + . . . + P(Hn )P(A|Hn )(4.2)P(AHi ). ВыражаяP(A)теперь по формуле умножения вероятностей P(AHi ) через P(A|Hi ) и P(Hi ), получаем P(AHi ) =P(Hi )P(A|Hi )P(Hi )P(A|Hi ). Поэтому P(Hi |A) =.P(A)Подставляя вместо вероятности P(A) ее значение, вычисленное в соответствии с формулой (4.1)полной вероятности, приходим к утверждению теоремы.Формула Байеса находит широкое применение в математической статистике, теории принятиярешений и их приложениях.

Заметим, что вероятности P(H1 ), . . . , P(Hn ) обычно называют априорными (т.е. полученными “до опыта”), а условные вероятности P(H1 |A), . . . , P(Hn |A) — апостериорными (т.е. полученными “после опыта”).Доказательство. Согласно определению 3.1 условной вероятности, P(Hi |A) =Пример 4.2 Врач после осмотра больного считает, что возможно одно из двух заболеваний, которые мы зашифруем номерами 1 и 2, причем степень своей уверенности в отношении правильностидиагноза он оценивает как 40 % и 60 % соответственно.

Для уточнения диагноза больного направляют на анализ, исход которого дает положительную реакцию при заболевании 1 в 90 % случаев ипри заболевании 2 — в 20 % случаев. Анализ дал положительную реакцию. Как изменится мнениеврача после этого?Обозначим через A событие, означающее, что анализ дал положительную реакцию. Естественноввести следующие гипотезы: H1 — имеет место заболевание 1; H2 — имеет место заболевание 2.

Изусловий задачи ясно, что априорные вероятности гипотез равны: P(H1 ) = 0,4 и P(H2 ) = 0,6, а условные вероятности события A при наличии гипотез H1 и H2 равны 0,9 и 0,2 соответственно. Используя0,4 · 0,9= 0,75. Итак, врач с большей уверенностьюформулу Байеса, находим P(Hi |A) =0,4 · 0,9 + 0,6 · 0,2признает наличие заболевания 1.17Схема БернуллиПовторные испытания — это последовательное проведение n раз одного и того же опыта или одновременное проведение n одинаковых опытов. Например, при контроле уровня надежности приборамогут либо проводить n испытаний с одним и тем же прибором, если после отказа полностью восстанавливают его исходные свойства, либо ставить на испытания n опытных образцов этого прибора,которые считают идентичными.Определение 4.2 Схемой Бернулли (или последовательностью независимых одинаковых испытаний, или биномиальной схемой испытаний) называют последовательность испытаний, удовлетворяющую следующим условиям:1) при каждом испытании различают лишь два исхода: появление некоторого события A, называемого “успехом”, либо появление его дополнения A, называемого “неудачей”;2) испытания являются независимыми, т.е.

вероятность успеха в k-м испытании не зависит отисходов всех испытаний до k-го;3) вероятность успеха во всех испытаниях постоянна и равна P(A) = p.Вероятность неудачи в каждом испытании обозначим q, т.е. P(A) = 1 − p = q.Приведем примеры реальных испытаний, которые в той или иной степени “вписываются” врамки сформулированной модели испытаний по схеме Бернулли.1. Последовательное подбрасывание n раз симметричной монеты (здесь успехом является появление “герба” с вероятностью p = 1/2) или последовательное бросание n раз игральной кости (здесьуспехом можно считать, например, появление шестерки с вероятностью p = 1/6).

Эти две реальныесхемы испытаний являются примером идеального соответствия схеме испытаний Бернулли.2. Последовательность n выстрелов стрелка́ по мишени можно лишь приближенно рассматривать как схему испытаний Бернулли, так как независимость результатов стрельбы может нарушаться либо из-за “пристрелки” спортсмена, либо вследствии его утомляемости.3. Испытания n изделий в течение заданного срока при контроле уровня их надежности, как правило, хорошо согласуются с моделью испытаний по схеме Бернулли, если на испытания поставленыидентичные образцы.При рассмотрении схемы испытаний Бернулли основной задачей является нахождение вероятности события Ak , состоящего в том, что в n испытаниях успех наступит ровно k раз, k = 0, n.

Длярешения этой задачи используют следующую теорему, обозначая вероятность P(Ak ) через Pn (k).Теорема 4.3 Вероятность Pn (k) того, что в n испытаниях по схеме Бернулли произойдет ровноk успехов, определяется формулой БернуллиPn (k) = Cnk pk q n−k ,k = 0, n.(4.3)Доказательство. Результат каждого опыта можно записать в виде последовательности УНН...У,состоящей из n букв “У” и “Н”, причем буква “У” на i-м месте означает, что в i-м испытаниипроизошел успех, а “Н” — неудача. Пространство элементарных исходов Ω состоит из 2n исходов,каждый из которых отождествляется с определеннойпоследовательностью УНН...У.

Каждому элементарному исходу ω =УНН...У можно поставить всоответствие вероятность P(ω) = P(УНН...У). В силу независимости испытаний события У,Н,Н,...,Уявляются независимыми в совокупности, и потому по теореме умножения вероятностей имеемP(ω) = pi q n−i , i = 0, n, если в n испытаниях успех “У” имел место i раз, а неуспех “Н”, следовательно, n − i раз.Событие Ak происходит всякий раз, когда реализуется элементарный исход ω, в котором i = k.Вероятность любого такого элементарного исхода равна pk q n−k .Число таких исходов совпадает с числом способов, которыми можно расставить k букв “У” наn местах, не учитывая порядок, в котором их расставляют.

Число таких способов равно Cnk .Так как Ak есть объединение (сумма) всех указанных элементарных исходов, то окончательнополучаем для вероятности P(Ak ) = Pn (k) формулу (4.3).Формулу (4.3) называют также биномиальной, так как ее правая часть представляет собой(k + 1)-й член формулы бинома Ньютона.1 = (p + q)n = Cn0 q n + Cn1 p1 q n−1 + . . .

+ Cnk pk q n−k + . . . + Cnn pn .Набор вероятностей Pn (k), k = 0, n, называют биномиальным распределением вероятностей.Из формулы Бернулли вытекают два следствия.1. Вероятность появления успеха (события A) в n испытаниях не более k1 раз и не менее k2 разравна:k2XP{k1 6 k 6 k2 } =Cnk pk q n−k .(4.4)k=k118Это следует из того, что события Ak при разных k являются несовместными.2. В частном случае при k1 = 1 и k2 = n из (4.4) получаем формулу для вычисления вероятностихотя бы одного успеха в n испытаниях:P{k > 1} = 1 − q n .(4.5)Пример 4.3 Монету (симметричную) подбрасывают n = 10 раз.