Дубинин В.В. и др. - Кинематика плоского движения твёрдого тела, страница 2

= О. Задача 3 аа Задача 4 Определим значения угловых скорости и ускорения стержня О'С: сс Фс~, рад рад !!!г= —, к1= — , '!с1=0,8 —, к1=0,8 —. В1 — В' Я1 — В' ' с ' ' сз' Направления круговых стрелок Й!1„ез, определяем с помощью направлений векторов ес, ас по отношению к оси вращения Оя стержня О С. Точки А н В прямоугольной пластины имеют ускорения ЙА, ав (рис, 9, а), Определить ь!, е и мгновенный центр ускорений (МЦУ) данной пластины. Решение.

Используем зависимость Йв = ЙА + ЙВА + ЙВА ! (3) в которой ускорения ав,аА заданы, при этом известны линии, по которым направлены ускорения ЙВА(ацВА = юзАВ) и ЙВА(~адвА~ = = еАВ). Построим многоугольник ускорений (рис. 9, б). Найдем проекции(3) на оси х и у: пр.х ! ав. = ЙВА„> О, пр,У. 0 = аА„+ авл„— — аА — Й~ВА, ЙВА = ЙВ ЙВА = ал! !ЙВА~ = е ' АВ~ ЙВА = ю Откуда Е= — ~-= —, М=~ — =~/ —. !ЙВ ~ ЙВ ЙВА ЙА — А — 1В -~ АВ -~АВ Направление круговой стрелки е„установим по направлению вектора ускорения ЙВА, Повернув авл вокруг полюса А получим Ед ~Ъ.

Определим ~~тд „( ф зка = ЙВ~ Р ЙА' Бслн ив = аА, $8 а = 1„то а = 48О и угол а отложим в направлении круговой стрелки е, от ускорений ЙА„ав. Пересечение АЯ и ВЧ дает точку Я вЂ” МЦУ, При этом АЯ= =АВ ~~ +ю аз +аз ЙВ ЙА АВ Если ав = ал,то АЯ = — (рис,9,е), ~2 Дано: 01А = 1м АВ = 1з = 1 м, ОВ =- 1 = 1м, !з = 60, ь!, = 1р~~ = сопзг(рис,10,Й). Определить: 1) скорость и ускорение точки А; 2) угловые скорости и ускорения звеньев АВ и 01 А. Краткое решение. Модуль скорости точки В ев = ~Й!,~ОВ = 1с Определим пл = ь В + НВ,В.

Из треугольника скоростей найдем с помощью проецирования (рис.10,6): ПР.Х .' ЕА = иВ + ЕАВ~, ПР.У '. СЛя = ив„+ иАВк! иАз1па = ив+ О, 0= овсова — оАвз!пай О1А = 1з = —. вп1 й в='Ъ Рис. 10 Модули скоростей сА, елв и угловых скоростей ыы иг.' св ел = —., савв = св сФй о з1по' ~лв ся шг= — ит =— АВ ' ОгА' Их числовые значения; ел= — = 1,155 †; иАв=0,577 †;м~ =1 †, юг=0,577 — .

2Л м м рад рад Направление круговой стрелки ыг, ~ (мг, = -О, 577 РС вЂ” ) отрицательное — по ходу часовой стрелки, устанавливается направлением вектора сяв (условное вращение звена АВ вокруг оси В» — в соответствии с направлением Члв). Для шг, имеем ю (ач, = = 1 нб-), что установлено по направлению вектора ил при вращении звена ОгА вокруг оси Отя. Ускорение точки В ав = ав = шгОВ = ьР1, ав = 1 $. с' Определим ускорение точки А: ая = ~а~+а,~ — — а~+а,~~+~аяй (рис.

10, е), где модули ускорений: а",~ = и~~ Ог А, а~~в —— о~3 - АВ. Их числовые значения: ал~ — — 1, 155 бт, а~~в —— 0 333 Мк с ' В проекциях на оси получим (см, рис. 10, е) пр,р: а",1 — — анаша — а",овсова+ 1ая~в~зша, пр.а: — ад соз а + ~а',~ ~ з)п о = а,"~в, Отсюда находим модули ускорений; аяв, ая.

Нх числовые значения: (алв( = 0,525 бт, )аЯ =- 1, 05 бт. Модули угловых ускорений звеньев АВ и ОгА; ев = —, ег = — ', ег = 0,525 —, ет = 0,909 —. ~а,"~в ( 1а', ~ Рад РаД АВ ' ОгА' ' сг' ' сз Направление круговой стрелки углового ускорения ег, ж установим с помощью направления вектора алв для полюса В (егя = = 0,525 с ),анаправлениеег, ~ — понаправлениювектораая оад при вращении звена ОгА вокруг оси Огя (еы = — О, 9095г-), оад Задача 5 Конец нити 2 (точка А), намотанной на меньшую ступень двух- ступенчатого барабана, движется вертикально; закон движения: Я = атз (Я вЂ” в и, Ф вЂ” в с). Нить 1 неподвижна, Определить ско- рость точки О, ускорение точки К и угловое ускорение барабана 3 при Ф = 1с.

Нити не проскальзывают и нерастяжимы, а = 1$, 2т = В = 0,2м (рис,11,а). Решение. Скорость точки К барабана равна скорости точки А нити: игт = Я = 3аР, ин,~ы = 3 и. В точке Р— МЦС, позтому Я Я = (Л+ т~4 = (Я+ т)ы, ес, = Л~р, тогда сс, = — 8, А+т 0,2 и ис = — ' 3=2 —, 0,3 с Ъ'схоронив точки К определим по формуле сложения ускорений: ал = ах+ а~ — ас + йкс+ акс 15 Рне, 11 Задача б Контрольная задача рад вс„= 2а и с~т у 16 Здесь от~ = Я = боа, а".р, = б бмя, модуль ускорения о 3, рад окс = сс КС = с т, ссс = — сх1с = — = 1б— олс!1с = 1б ' б> 1 = 1б я' и 3 и ся Кроме того, а~~ = е„т, ап„= е, В.

В проекции на нормаль получим Ф %, к=10в ~к=ф ~+(~" ~'~1 =п~,сс~~ т пр.Я;а~ —— сст. +от~ — — (Л+т)е, е = ~ (рис.11, и, 6),' В+т б рад ас = — = 20 —, О,З св' Точка А линейки АВ имеет постоянную скорость ил = сопев Заданы у и АЗ = 1 (рис. 12, а), А С = В С. Определить угловую скорость линейки н ускорения точек В и С. Провести решение сав мостоятельно, ответ — см. рис. 12,6, ы = —,, ав = ЭА с.4 1 еш ~р 1вша у ов сс =— 2 2. СИСТЕМЫ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ.

ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ Системы с двумя степенями свободы можно образовать из одно- степенных, добавив одну степень свободы. Например, если колесо катится по прямолинейной направляющей со скольжением, то оно имеет две степени свободы, Уравнение связи уо = т — одно. Введем две независимые координаты хс и у. Заданы законы: хт. = атв, у = 61в(хс — в м, сс — в рад, с — в с). Определить МЦС катка, ускорение точки М прн $ = 1с. Принять а = 1 мк, Ь = 1 -$д, т = О, 1 м (рис, 13, а).

Решение. Скорость точки С и угловая скорость катка; Задача 7 бис -Т Рис, 13 СР= — "; СР=1м, !ос„! !М' а $а Рис. 14 йо+7ыо = Ув+ ~~лв 18 1. Определим расстояние от точки С до МЦС: Точка Р лежит на перпендикуляре к вектору скорости точки С йс н расположена так, чтобы направление ы,, соответствовало повороту вектора йс вокруг МЦС (точки Р) (рис. 13, б). 2. Ускорение точки С и угловое ускорение катка: ас —— 2а=2 — з, е,=4з=26=2 —; с=О, ам = ас+ амс+ амс, м м где амс —- ш г~г = 0,4 —, ~амс~ = ее = 0,2 —, ам = ос+ амс, ам = амс м м откуда ам. =2>2 —, ам„= 0,4 —; сз' м ам = ам + азм, ам = 2,24 — (рис,13,6, в). Если в кривошипно-ползунном механизме точке О сообщить прямолинейное движение, то получится механизм с двумя степенями свободы, например, как на рис, 14, и. Движение механизма задается с помощью двух обобщенных координат, например, Яо, Яв.

Проведем в общем виде разбор задачи. В задаче определим скорость и ускорение точки А, если заданы 8о = 8о Ф 8в = Яв(1). Запишемйл =йо+йло, йл = он+ели. Видно, что уравнения надо решать совместно (рис. 14, б): Пусть Жо)во = оо > О, (ов)г = Яв > О и Яо > Яв, тогда многоугольник скоростей имеет внд, как на рис, 14, б, откуда определяются модули оАо, АГАВ и ыы ыз: сяо=ач Ав=св'=18в~ вяз =ыз АВ=оо=Фо! Для ускорений имеем (рис. 14, а) ОА Ж>+ ~АО+ ~~АО = ОВ+ ОЛВ + пОяз Пусть (ио)ао = Яо > О, (йв)в„= А~ > О и Яо > Яв, 3, СОЕДИНЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ Приведем примеры, в которых соединены типовые элементы одностепенных систем.

Здесь полученные механизмы вновь имеют одну степень свободы, Задача 8 (рнс, 15, а) Дано: Ял = бе ~', В, СВ =1, АВ = Х, а, 13,точка Р— МЦС катка. Определить: ио, ао при $ = О. Принять; б = 1 м, б = 1 с ', Л = О,бы,1 = 0,375 м; Ь = 1,2бм, а иф определены на рис.15,а, Краткое решение. Для скоростей имеем ,. = Ьл = -Ьбе ~ — . = -1 — ( О, д с ов =ф+овл, оо =он+сов (рис.15,б). Рнс, 15 тогда многоугольник ускорений может выглядеть как на рис. 14, е, В данном случае имеем такой тип задач, в котором скорость и ускорение точки А определялнсь через скорости и ускорения точек двух соединенных звеньев.

Из рис.15,6 н расчетов определим юс = О, б ф> ш, = 1 ~~, штя = 1. 144 с Для ускорений запишем уравнения ав = ал+ авл+айл =аа+ авс+ ащ, где ал = ал —— Вл = Ы е ~б с, = 1 бя > О, т 3 — бб и ас В Здесь ас — — Вв„авс — — ВС вх = (в„т. е. „с = — „авл авс 1 =ь~ьАВ авс = а~~ 'СВ авл = 1 63ббя авс = 0,37б-я, м Изрнс,!5,ви расчетов определим ас = 2,3-т, с' Задача 9 сс, =Вмъ = Щ > О, ос = ос = Вв,= ВФ > О, сл МЦС звена АС вЂ” в точке Р, — = —, откуда модуль ' ос СР' АР Вбс ОА Вш СР 2ОАз1п4 2а)п4 Для модуля юв имеем св = юс1вур~, где ВР определяется геометрией задачи (рис. 16, а), Кроме того, ел = ОА ьп = АР ььз, ел ол откуда шг = — = — — — юз (ОА = АР), Определим ускорения ОА АР ал = ал + ал = ас + алс + а,)с (Рис, 16, б), где ал = ю~зОА = 2 а = из АС = алс.

Рис, 1б 22 В данной задаче соединены каток и кривошипно-ползуиный механизм. Каток катится без скольжения, Закон его вращения задан: (в = у(1), ОА = А С, Пусть ш, = ф > О, в, = ф > О, Определить скорость и ускорение точки В (АВ = В С) (рис, 16, а), решение ведется с использованием предыдущих типовых задач. Система имеет одну степень свободы, Для скорости и ускорения точки С имеем (построить самостоятельно). с' Хь Задача 10' Рис. 17 Задача 11 24 Построив многоугольник ускорений, определим модули )атАо) = езАС, ~аА~ = е1ОА, откуда модули угловых ускорений: !ад.~ ~аА1 ея = ет = АС ' ОА' Аналогично определим ав =агз+ав «+ало, а~во — — шзВС, ~а~во~ =еяВС Если в четырехзвеннике создать прямолинейное двил«ение точке О, тс система будет механизмом с двумя степенями свободы, Зададим две обобщенные координаты.