Глава VI. Натурные испытания (Пупков К.А. - Моделирование и испытание систем автоматического управления), страница 2

найти для нихнекоторыезначения,называемыеоценками.Крометого,возникаетдополнительная задача: составить представление о точности и надежностиэтих оценок.1.Выберем в качестве оценок статистической характеристики. При увеличении n эти оценки должны стремиться к m и D. Однако,чтобы признать какую-либо случайную величину за оценку, необходимоубедиться в том, что среднее значение (математическое ожидание) этойоценки будет равно как раз искомому параметру.

Оценка, обладающая такимсвойством, называется несмещенной оценкой данного параметра.Выясним – являются ли статистические характеристикинесмещенными оценками m и D.1. Рассмотрим сначала среднее арифметическое, а именно∑еперь возьмем математическое ожидание для[[Следовательно,]]∑и тогда[ ]является несмещенной оценкойдля m.Дисперсия случайной величины[]∑будет соответственно:[]Это говорит о том, что дисперсияnдисперсияуменьшаетсязависит от n и что с увеличениемичтовпределеЗначит подходящее91значение для m разумно брать среднее арифметическое наблюдаемыхзначений X:∑Рассмотрим статистическую дисперсию. Выясним, является ли онанесмещенной для D?Найдем математическое ожидание для статистической дисперсии∑[[]]∑[∑]∑∑Поскольку математическое ожиданието[]не равно самой величине D,является смещенной оценкой, и она колеблется околоСледовательно, статистическую дисперсию, которую мы принимаемза оценку∑[]необходимо домножить на величинуи получить формулу для оценкистатистической дисперсии̃∑[∑][]§ 4.

Доверительные границы и доверительные вероятностиДоверительный интервал:92Рассмотрим среднее значение m. Нас интересует – с какойвероятностью α можно утверждать, что ошибка в оценке m не будетпревышать величины :надо определить с какой вероятностью мы можем знать, что истинноенеизвестное значение m будет заключаться в пределахВеличинывеличинаназываются доверительными границами, а– доверительный интервал.Вероятность α называется доверительной вероятностью.При этом доверительный интервал характеризует точность расчетов, адоверительная вероятность – его надежность.Допустим, возникает задача: Каков должен быть доверительныйинтервал, чтобы можно было с вероятностьюутверждать, чтоиневыйдут за границы этого интервала.Будем считать, чтоподчинена нормальному закону с неизвестнымипараметрами m и .Рассмотрим только вопрос о доверительных границах m.Для этого потребуется найти вероятность неравенства||которая обозначается α.Если бы нам был известен закон распределения длякак случайнойвеличины, то мы без труда определили бы α.

Однако, этого закона мы незнаем.Тогда для решения этой задачи используется следующий прием.Вместо, которую мы вычислим, вводится другая случайная величина Т, аименно93∑√[]Эта случайная величина Т подчиняется так называемому законураспределения Стьюдента:⁄( )̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅()√()где̇∫Примечательно то, чтоне зависит от m ислучайной величиныX, а является функцией числа наблюдений и аргумента t, т.е.Распределениепозволяет нам найти вероятность неравенства||Как это сделать?Зададимся произвольным положительным числомвероятность попадания величины Т на участок (| |∫и найдем. Это будет∫Этой формулой можно воспользоваться для определения вероятностинеравенства ||для любогоА именно:Пусть задано , требуется найти||1.

Вычислим величину∑√94[]2. Положим=лу3.т.е.|для|вместои она примет вид||и воспользовавшись соотношением вида||∫найдем∫Эта формула может быть табулирована для различных n иТогда, например, при заданнойзначение.и числе опытов n определяем, а по формуленаходим искомые доверительные границы и интервалЧасто ставится и другая задача:позаданномуразмерудоверительную вероятностьдоверительногоДля этого вычисляютинтервала, находяти по значениям в таблице находят соответствующее значение95определить.