ГЛР №6 В-15 (Готовые лабораторные работы)

Московский государственный техническийуниверситет им. Н. Э. Баумана.Лабораторная работа №6по дисциплине:«ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ»«Разностные операторы»ВАРИАНТ 15Выполнил:студент 3-го курса, гр. АК3-51Ягубов Роман БорисовичПроверил:Кутыркин Владимир Андреевичг. МоскваЗадание 6.1Для заданной на отрезке [0; 2] гладкой функции:f ( x) ax 4  bx 2  c5x 4  5x 2  3 x  1  x2  1  x  1  x2  1и равномерной сетки с 11-ю узлами, используя разностные формулы, приближённо вычислитьна отрезке [0; 2] значение дифференциального оператора:d 2 f ( )df ( )2 f ( ) .2ddГрафикэтогозначенияпредставитьввидесоответствующейломаной линии, сравнив её с графиком истинного значения на отрезке [0; 2] данногодифференциального оператора.

Прокомментировать получившиеся результаты.3РешениеПолученная равномерная сетка и значения функции в её узлах:τ0,00 0,200,400,600,801,001,201,401,601,802,00f(τ) 3,00 2,57 2,422,502,793,253,834,515,256,046,87Для вычислений на концах отрезка необходимо воспользоваться правой и левой разностнымиформулами соответственно, но их порядок аппроксимации отличается от центральных,следовательно, нужно заново вывести эти формулы, используя на одну точку больше.Правая и левая разностные формулы первого порядка. Коэффициенты разложения в ряд Тейлора,f  i   f  i  , f  i 1   f  i  h  , f  i  2   f  i  2h f  i f '  i f ''  i f '''  i f  i 1000f  i 1 1hh2h3f  i  2 12h2h228h636Необходимо получить следующее:f   i   ci f  i   ci 1 f  i 1   ci  2 f  i  2 Коэффициенты разложения в ряд Тейлора,f  i  2   f  i  2h  , f  i 1   f  i  h  , f  i   f  i f  i f '  i f ''  i f  i  2 12hf  i 1 1hhf  i 1002h222f '''  i  8hh36360Необходимо получить следующее:f   i   ci f  i   ci 1 f  i 1   ci  2 f  i  2 Для нахождения коэффициентов разностной формулы решим СЛАУ B1r  c  b1и B1l  c  b1 ,полученные из разложений Тейлора умножением каждой строки на соответствующий коэффициенти последующим сложением строк.Решения получены в Mathcad:01 1 1 1 1 1 1B1r :  0 1 2  ; b1    ; B1l   2 1 0 h110200 2 22 3  1   2h  2h 2 2lsolve( B1r , b1) ; lsolve( B1l , b1)   h  h  1  3  2h  2h Таким образом, получены следующие формулы:f   i  3 f  i   4 f  i 1   f  i  2 f   i  2h3 f  i   4 f  i 1   f  i 2 2h  O h 2  правая разностная производная.  O h 2  левая разностная производная.Правая и левая разностные формулы второго порядкаКоэффициентыразложенияврядf  i   f  i  , f  i 1   f  i  h  , f  i  2   f  i  2h  , f  i 3   f  i  3h  :f  i f '  i f ''  i f  i 100f  i 1 1hh2f '''  i 02h3Тейлора,f IV  i 0h42412h2h8h16h3f  i  2 62423313h9h27h81hf  i  3 2624Необходимо получить следующее: f   i   ci f  i   ci 1 f  i 1   ci  2 f  i  2   ci 3 f  i 3 Коэффициенты разложения в ряд Тейлора,f  i 3   f  i  3h  , f  i  2   f  i  2h  , f  i 1   f  i  h  , f  i   f  i 32f  i f  i  2 f  i  2 6f '  i f ''  i f '''  i 13h9h 2 27h12h2f  i 1 1f  i 12hhh00222 8hh3636360f IV  i 81h316hh243244240Необходимо получить следующее:f   i   ci f  i   ci 1 f  i 1   ci  2 f  i  2   ci 3 f  i 3 Для нахождения коэффициентов разностной формулы решим СЛАУ B2r  c  b2 è B2l  c  b2 ,полученные из разложений Тейлора умножением каждой строки на соответствующий коэффициенти последующим сложением строк.Решения получены в Mathcad:1 0 1 1 1 2 3 0 3 219  ; b2   1  ; B 2l   922 2h222 1 8 27  27 8 0  2  1  h2   h2  5  4  h2  h2 lsolve( B 2r , b 2)  ;lsolve(B21,b2) 4  5  h2  h2  1  2  2  2  h  h 10B 2r  001111 01021 0 1Таким образом, получены следующие формулы:f   i  f   i  2 f  i   5 f  i 1   4 f  i  2   f  i 3 2h2 f  i   5 f  i 1   4 f  i 2   f  i 3 h2  O h 2  правая разностная производная.  O h 2  левая разностная производная.Сравнение результатовДля начала, необходимо найти аналитическое представление искомого дифференциальногооператора.Решения получены в WolframAlpha3d 2 f  xdx 22df  x dx f  x 5 x10  10 x8  20 x7  27 x6  36 x5  167 x 4  132 x3  218 x 2  4 x  39 x  13x213Итого, получено следующее:Истинные39,00значенияПриближённые32,58значения25,6420,4716,0411,417,384,382,411,250,680,5226,3020,5116,0311,487,484,492,491,310,720,234540353025Ист.Прибл.2015105000,20,40,60,811,21,41,61,82ВыводПри одном порядке аппроксимации разностные формулы могут давать разные отклонения.

Награфике чётко видно, что больше всего значения отличаются именно на концах отрезка, такимобразом, центральные разностные формулы дают более точный результат, нежели левые или правые,значит, на практике предпочтительнее пользоваться первыми, если есть такая возможность.Задание 6.2Для заданной сетки A    5h, ,  h найти разностные формулы для первых и вторыхпроизводных гладкой функции, указав порядок аппроксимации для этих формул при h  0 .РешениеПравая и левая разностные формулы первого порядкаКоэффициенты разложения в ряд Тейлора,f   5h   f   5h  , f    f    5h   5h  :f   5h f '   5h f ''   5h f   5h 100f  15h5h 2Необходимо получить следующее:f    5h   c1 f   5h   c2 f  Коэффициенты разложения в ряд Тейлора,f   h   f   h  , f    f  h   h  :f   h f '   h f  1hf   h 10f ''   h h220Необходимо получить следующее:f   h   c1 f    c2 f   h Для нахождения коэффициентов разностной формулы решим СЛАУ, полученные изразложений Тейлора умножением каждой строки на соответствующий коэффициент и последующимсложением строк: 0 0 1 1  c1     1 1   c1       1 ,   1 0 1  c2     1 0   c2    2h hАналитически получили следующее:f    5h  f    f   5h f    h  f    5h  f    h  5hf ''     10h 2 f    f   5h  h2 O 5h25h h f   h   f  hf    f   5h 5hf   h   f  hf ''     h 2 f   h   f   h2  O h2h h  O  h   правая разностная формула первого порядка O  h   левая разностная формула первого порядкаЦентральная разностная формула первого порядкаКоэффициенты разложения в ряд Тейлора,f   5h   f   5h  , f  h   f  h  , f   h   f   h  :f  f '  f ''  f '''  f   5h 15h5h 2f  100125h3150f   h 1hh25h315Необходимо получить следующее:f     c1 f   5h   c2 f    c3 f   h Для нахождения коэффициентов разностной формулы решим СЛАУ A1 c  b1 , полученнуюиз разложений Тейлора умножением каждой строки на соответствующий коэффициент ипоследующим сложением строк.Решения получены в Mathcad:0 1 1 1 1A1   5 0 1  ; b1   h105 0 5 1   15h 1 lsolve( A1, b1)   5h  5  3h Получили следующее: f   5h   3 f    10 f   5h  125 f '''   1   15 f     2  h3f    15h15h15f     f   5h   3 f    10 f   5h   O h2 15h центральная разностная формула первого порядкаПравая и левая разностные формулы второго порядкаКоэффициенты разложения в ряд Тейлора,f   5h   f   5h  , f    f    5h   5h  , f   h   f (  5h   3h) :f   5h f '   5h f ''   5h f '''   5h f   5h 1000f  15h5h 2f   h 13h9h 25125h315125h35Необходимо получить следующее:f    5h   c1 f   5h   c2 f    c3 f   h Коэффициенты разложения в ряд Тейлора, приf   h   f   h  , f    f  h   h  , f   5h   f   h   6h f   h f '   h f ''   h 9h 25h25f   5h 13hf  1hf   h 100f '''   h 125h35h3150Необходимо получить следующее:f    h   c1 f   5h   c2 f    c3 f   h Для нахождения коэффициентов разностной формулы решим СЛАУ A2r  c  b2 è A2l  c  b2 ,полученные из разложений Тейлора умножением каждой строки на соответствующий коэффициенти последующим сложением строк.Решения получены в Mathcad: 1 1 1  0 1 1 1  A2l   0 5 3  ; b2   0  ; A2r  0 4 0  7 0 16 49  5 90 5 25h  5  1  14h 2  14h 2 1 1 lsolve( A2l , b 2)   2 ; lsolve( A2r , b 2)   2 6h  6h  2  2 22 21h  21h Получили следующее:f    5h  f    h  5 f   5h   15 f    10 f   8h 3h 25 f   5h   15 f    10 f   h 40 f    1   810 f '''    2  h33h 215405 f    1   10 f '''    2  h33h 23h 2105 f   5h   7 f    5 f   h f    5h   O h 35h 2 правая разностная формула второго порядкаf    h  5 f   5h   7 f    5 f   h  O h 35h 2 левая разностная формула второго порядкаЦентральная разностная формула второго порядкаКоэффициенты разложения в ряд Тейлора,f   5h   f   5h  , f    f   , f   h   f   h f '  f  f   2h 15hf  10f   h 1hf ''  f '''  10h 250040h 4600h25h315h46020h315f IV  Необходимо получить следующее:f     c1 f   5h   c2 f    c3 f   h Для нахождения коэффициентов разностной формулы решим СЛАУ A2  c  b2 , полученнуюиз разложений Тейлора умножением каждой строки на соответствующий коэффициент ипоследующим сложением строк.Решения получены в Mathcad:  1 1 1 0  A 2   5 0 1  ; b 2   0  5 1 5 0 25h  1  14h 2 1 lsolve( A2, b 2)   2 6h  2 2 21h Получили следующее:f    f    5 f   5h   15 f    10 f   h 3h 25 f   5h   15 f    10 f   h  h4 O 3 h  O h 3h 2 центральная разностная формула второго порядкаОтветf    5h  f    f   5h  O h 5hправая разностная формула первого порядкаf    h  f   h   f   O h hлевая разностная формула первого порядкаf     f   5h   3 f    10 f   5h   O h2 15h центральная разностная формула первого порядкаf    2h  5 f   5h   7 f    5 f   h  O h 35h 2 правая разностная формула второго порядкаf    h  5 f   5h   7 f    5 f   h  O h 35h 2 левая разностная формула второго порядкаf    2 f   5h   15 f    10 f   h  O h 3h 2 центральная разностная формула второго порядка.