Курсовая работа (неизвестный вариант) - Уравнения Фредгольма (Неизвестные варианты курсовых работ)

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИРОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ"Московский государственный техническийуниверситет имени Н.Э. Баумана"(МГТУ им. Н.Э. Баумана)Аэрокосмический факультетКафедра"Вычислительная математика и математическая физика"Курсовая работа"Численные методы регуляризациидля решения интегральногоуравнения Фредгольма первого рода"Руководитель курсовой работыВ. А.

Кутыркин»2015 г.«Студент«Москва, 2015 г.»А. С. Баланин2015 г.СодержаниеСодержаниеВведение3Постановка задачи4Теоретическая часть4Практическая частьЧасть 1 . . . . . . . . . .Часть 2 . . . . . . . . . .Часть 3 . . . . . . . . . .Часть 4 . . . . . .

. . . .559911........ЗаключениеСравнение результатовЛитература............................................................................................................................................13. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . 1314ВведениеТеория интегральных и операторных уравнений первого рода как область теории некорректныхзадач возникла и развивалась за последние десятилетия.Интегральные и операторные уравнения Фредгольма возникают в теоретических и прикладныхзадачах. К ним сводятся различные обратные задачи для дифференциальных уравнений и большоечисло прикладных задач (задачи об изучении спектрального состава светового излучения, задачиобработки экспериментальных данных связанных с диагностикой сферической или асимметрическихплазменных образований , задачи автоматического регулирования , исследования отражения волнот прямолинейной границы , задачи акустики, кинематики и сейсмики , задачи электродинамики ,в том числе задач математической обработки (интерпретации) результатов измерений в физическихэкспериментах).Новое понятие корректности постановки таких задач отличного от классического дало средстводля исследования некорректных задач и стимулировало интерес к интегральным уравнениям, имеющим большое прикладное значение.Один из классов некорректных задач составляют интегральные уравнения Фредгольма первого рода.

К ним приводится большое число прикладных задач, в том числе, задач математическойобработки (интерпретации) результатов измерений в физических экспериментах. В качестве приближенных решений таких задач, устойчивых к малым изменениям исходных данных, берется регуляризация решения, то есть решения получаемые методом регуляризации.Актуальность исследования проблемы некорректно поставленных задач обусловлена потребностями в разработке новых подходов для регуляризация и единственности решения линейных интегральных уравнений Фредгольма первого рода.3Постановка задачиИспользуя различные методы регуляризации, разработать эффективный метод практическогочисленного решения линейного интегрального уравнения Фредгольма первого рода с аналитическизаданным гладким ядром:3 −sτe x(τ ) dτ = z0 (s), s ∈ [0, 3],0где z0 (s) =3e−sτ αe−τ τN5dτ,03αe−τ τN5dτ = 10 и N —номер варианта,0и наглядно продемонстрировать, что задача решения такого уравнения относится к классу некорректно поставленных задач.Аналитическое решение заданного уравнения априори задано в виде модельной аналитическойфункции, которая индуцирует модельную аналитическую правую часть уравнения.

Получив на основе разработанного в курсовой работе численного метода приближенное решение уравнения, продемонстрировать затем эффективность разработанного метода.Теоретическая частьИнтегральным уравнением (ИУ) Фредгольма 1-го рода называется уравнение видаbK(x, t)ϕ(t) dt = f (x)(1)aне содержащее искомой функции вне интеграла.Известно, что задача решения такого ИУ является некорректной, т.е. отсутствует устойчивое егорешение к малым изменениям правой части.Многие математические задачи состоят в том, что по исходным данным u ищется решение z.При этом считается, что u и z связаны функциональной зависимостью z = R(u). Задача называетсякорректной задачей (или корректно поставленной), если выполнены следующие условия (условиякорректности):1.

задача имеет решение при любых допустимых исходных данных (существование решения);2. каждым исходным данным u соответствует только одно решение (однозначность задачи);3. решение устойчиво.Задачи, не удовлетворяющие хотя бы одному условию корректности, называются некорректнымизадачами (или некорректно поставленными).4Практическая частьЧасть 1На первом этапе выполнения выполнения работы мы показываем, что решение рассматриваемогоуравнения относится к некорректно поставленным математическим задачам.Исходное уравнение имеет вид:3e−sτ x(τ ) dτ = z0 (s), s ∈ [0, 3](2)03z0 (s) =2e−sτ αe−τ τ 5 dτ(3)032αe−τ τ 5 dτ = 10.(4)0Построим приближенное решение интегралов (3) и (4) используя квадратурную формулу парабол(Симпсона). При этом A = ⟨0 = τ0 , τ1 , ..., τn = 3⟩ и B = ⟨0 = s0 , s1 , ..., sn = 3⟩— равномерные сетки дляτ и s соответственно.Ниже приведён соответствующий код, реализованный в программном пакете M athCad 15.При этом был получен вектор-столбец z0 (s):5Далее на основе метода коллокации было осуществлено построение матричного аналога рассматриваемого интегрального уравнения (2).В нашем случае интегральный оператор F̂ (x) имеет вид:F̂ (x)|s=si =3= x0e−sj τ h0 (τ ) dτ +n−1j=1τ0+xnxjj=00τ1ne−sτ x(τ ) dτ =τn3e−sj τ hj (τ ) dτ =0τj+1xje−sj τ hj (τ ) dτ +(5)τj−1je−sj τ hn (τ ) dτ = F(n) > x ,τn−1гдеh0 =1−0τ − τ0, , при τ ∈ [τ0 , τ1 ]τ1 − τ0, при τ ∈/ [τ0 , τ1 ]τ − τj−1, τj − τj−1τ − τjh0 =,1−τj+1 − τj0, τ − τn−1,h0 = τn − τn−10,, при τ ∈ [τj−1 , τj ], при τ ∈ [τj , τj+1 ], при τ ∈/ [τj−1 , τj+1 ], при τ ∈ [τn−1 , τn ], при τ ∈/ [τn−1 , τn ]6(6)Получившаяся матрица F имеет вид:Модельное решение, исследуемого интегрального уравнения (2) имеет вид:2x0 (τ ) = αe−τ τ 5Проверим корректность полученного матричного аналога:Отсюда видно, что погрешность вычислений составляет порядка 10−3 .7(7)Построим приближённое решение интегрального уравнения (2) при помощи метода ЖорданаГаусса:Полученное решение x1 явно отличается от модельного, что видно из графиков.

Изэтого следует, что данная задача относится к классу некорректно поставленныхзадач и для её решения необходимо воспользоваться методами регуляризации.8Часть 2Запишем квадратичный стабилизирующий функционал, который будет использоваться в численномрегуляризирующем методе решения уравнения (2):<>xH x = αnx2j+βj=0n(xj − xj−1 )2(8)j=1При α = 1 и β = 1 его матрица будет иметь вид:Запишем процедуру моделирования псевдо-случайной погрешности в правой части сеточной функции z0 (s) интегрального уравнения (2): z1 (s) = 0.0001rnorm(n + 1, 0, 1) + z0 (s).Часть 3Из первой части мы видим, что поставленная задача некорректна и для её решения воспользуемсяметодом регуляризации по модельному решению.Составим такой функционал:∆H + T BB > x∆ = T B > z1 (s),(9)где ∆—параметр регуляризации, матрица H—матрица, стабилизирующая функционал, а матрицаB = F.Построим функцию ω (∆):ω = ||> x∆ − > x0 ||,(10)где || ||—усреднённая норма по модулю (в этой работе пришлось отказаться от чебышёвской нормыиз-за грубости расчётов при описании данной математической модели), а x∆ —приближённое решениеуравнения (2).

Усреднённая норма по модулю описывается в функции M iddle.9В методе регуляризации по модельному решению необходимо найти оптимальное значение параметра регуляризации, то есть такое значение ∆ при котором функция ω (∆) будет приниматьэкстремальное значение. При известном ∆опт путём решения 9 строится искомое решение x∆опт , которое должно приближённо равняться модельному (то есть: x∆опт ≈ x0 (τ )).

Алгоритмы построенияфункции ω (∆), поиска оптимального параметра регуляризации (∆опт ) и решения СЛАУ 9 описанывыше.Графическое сравнение полученного решения > x∆ (на графике обозначенного, как x2)и модельного решения x0 (τ ), которое было априори задано по условию задачи, показывает, что данный метод даёт крайне высокую степень аппроксимации.10Часть 4В четвёртой, заключительной части для решения интегрального уравнения 2 воспользуемся практическим методом регуляризации, который носит название метода регуляризации по невязке.Воспользуемся составленным ранее функционалом 2:∆H + T BB > x∆ = T B > z1 (s),(11)где ∆—параметр регуляризации, матрица H—матрица, стабилизирующая функционал, а матрицаB = F.Построим функцию η (∆):η (∆) = ||B > x∆ − B > x0 ||e ,(12)где || ||e —евклидова норма.