Иванов Ю.А. - Принцип возможных перемещений, страница 3

ω0δ ≠ 0 ; ω1δ = 0 ;2. ω0δ = 0 ; ω1δ ≠ 0 ,rr3r1= 0;r3M rM rM 3 = − 0 3 ; M1 = − 0 1 ;r1 + r3r1 + r3тогда получим M 0 + M 3 (1 + 1 ) = 0; M 1 − M 3отсюда найдемЗнак “минус” указывает на то, что при равновесии системы действиепар сил, приложенных к шестерням I и Ш, имеют противоположныенаправления действию пар сил, приложенных к водилу.ПРИМЕР 4Составная балка AF, лежащая на четырех опорах, состоит из трех балок,шарнирно соединенных в точках C и Е. На балку действуют силы P1 , P2 , P3и момент пары сил M0. Размеры балки указаны на чертеже. Определитьопорные реакции в точках B и D. Весом балок пренебречь.17РЕШЕНИЕСоставная балка AF, лежащая на четырех опорах, состоит из трех твердыхтел – балок AC, CE и EF, находящихся в равновесии.

Если решить даннуюзадачу методами статики, то необходимо было бы мысленно “разорвать”шарнир C и E и составить уравнения равновесия для каждой балки вотдельности. При этом потребовалось бы решить систему из девятиуравнений с девятью неизвестными, среди которых находятся две искомыереакции опор B и D. Такое решение довольно громоздкое.Применяя принцип возможных перемещений, можно любую искомуюопорную реакцию определить из одного соответствующим образомсоставленного уравнения:a) Для определения реакции RB отбрасываем мысленно опору D,заменяя эту связь опорной реакцией RD . При этом составная балкабудет иметь возможные перемещения, которые допускаются всемиоставшимися связями.

Предположим, что шарнир E поднимется вверхи балки CE и EF повернуться на углы δγ и δΨ . Балка AC не имеетвозможных перемещений и остается в прежнем положении.Направление реакции указывается произвольно вдоль линии еедействия.Рисунок 9 – Составная балка перекрытияРисунок 9а – Возможные перемещения18Рисунок 9б – Возможные перемещения всей моделисоставной балкиПеремещение точек приложения силRD , P2и P3 обозначимсоответственно δ S D , δ S2 , δ S3 (рисунок 9а).Применив принцип возможных перемещений, приравняв суммуэлементарных работ всех заданных сил и моментов на соответствующихвозможных перемещениях нулю:RDδ S D − P2δ S 2 − P3 sin 300 δ S3 = 0 .Ввиду малости углов δγ и δΨ имеем δ S D = 3aδγ ; δ S 2 = 5aδγ ; δ S3 = aδΨ ,где δ S E = 6aδγ или δ S E = 2aδΨ , тогда δΨ = 3δγ ;Делая подстановку этих значений, получим (3RD − 5P2 − P3 sin 300 *3)aδγ = 0 , гдеδγ ≠ 0 .Следовательно, 3RD − 5P2 − P3 sin 300 *3 = 0 ,53Откуда RD = P2 + P3 sin 300 = 6kH .б) определим реакцию в точке B.

Для этого мысленно отбрасываем толькоопору в точке B, заменяя ее соответствующей реакцией RB (рисунок 9б).Направление реакции выбираем произвольно (например, вверх). Задаемвозможные перемещения системе.Балка AC может, например, повернуться вокруг точки A на угол δα внизи занять положение AC1. Балки CE и EF при этом также повернуться околоточек D и F.Точки приложения сил RB , P1 , P2 и P3 получат соответственно возможныеперемещения δ S B , δ S1 , δ S2 и δ S3 .Уравнение работ будет иметь вид − RBδ S B + P1δ S1 − P2δ S2 − M δα − P3 sin 300 S3 = 0 ,подставим δ S B = 5aδα , δ S1 = 7 aδα = 3aδβ , тогда 7δα = 3δβ ; δ S 2 = 2aδβ =3273δ S E = 3aδβ = 2aδ℘; 3δβ = 2δ℘ ; 3S3 = aδ℘ = aδβ = aδα ,147P2 − M 1 − P3 sin 300 )aδα = 0 ,331147отсюда RB = (7 P1 − P2 − M 1 − P3 sin 300 ) = −0.3kH .533получим (−5RB + 7 P1 −1914aδα ;3Знак “минус” указывает на то, что в действительности реакция опоры Bнаправлена в противоположную сторону (т.е.

вниз). Другие опорныереакции определяются аналогичным образом.ПРИМЕР 5Два однородных стержня A1B1 и A2B2 силы тяжести которыхсоответственно равны G1 и G2 , опираются концами A1 и A2 на гладкиевертикальные стенки , а концы B1 и B2 – на гладкую горизонтальнуюплоскость.Определить зависимость между углами наклона стержней γ 1 и γ 2 приравновесии системы.РЕШЕНИЕСистема состоит из двух стержней n=2.

Задаваемыми силами являютсясилы тяжести G1 и G2 .Рисунок 10 – Эскиз упора двух стержнейСвязи стержней будут идеальными, так как силы трения отсутствуют.Предполагая, что указанная система находиться в положении равновесия,сообщим ей возможное перемещение и воспользуемся принципомвозможных перемещений, выраженным в виде равенства (1.5)n∑(X δ x + Yδ y + Z δ z ) = 0iiiiiii =1В данном случае X i = Zi = 0 , а Yi = −Gi , тогда имеем −G1δ y1 − G2δ y2 = 0 (3.3),где y1 и y2 - ординаты точек приложения сил G1 и G2 ; так как y1 = l1 sin γ 1 иy2 = l2 sin γ 2 , где 2l1 и 2l2 - длины стержней, то∂y1δγ 1 = l1 cos γ 1δγ 1 ,∂γ 1∂yδ y2 = 2 δγ 2 = l2 cos γ 2δγ 2 .∂γ 2δ y1 =20Установим зависимость между δ y1 и δ y2 . Имея в виду, что расстояниемежду стенками постоянно, получим 2l1 cos γ 1 + 2l2 cos γ 2 = const ,отсюда имеем −2l1 sin γ 1 − 2l2 sin γ 2 = 0 ,l1 sin γ 1δγ 1 .l2 sin γ 2sin γ 1Далее найдем δγ 2 = −l1cos γ 2δγ 1 .sin γ 2следовательно, δγ 2 = −Подставляяв−G1l1 cos γ 1δγ 1 + G2l1выражениеδγ 1(3.3)δγ 2 ,иполучимsin γ 1cos γ 2δγ 1 = 0sin γ 2Так как δγ 1 ≠ 0 , то из равенства следует tgγ =1G1tgγ 2 .G2Такова искомая зависимость между углами γ и γ при равновесиисистемы.124 КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ1.2.3.4.Что называется возможным перемещением механической системы ?Как определить число степеней свободы системы?Какие связи называются идеальными?Можно ли задачу о равновесии механической системы снеидеальными связями решить с помощью принципа возможныхперемещений?5.

Как записывается принцип возможных перемещений в обобщенныхкоординатах?6. В чем преимущество принципа возможных перемещений передметодом геометрической статики для систем , состоящих из большогочисла тел?21ЛИТЕРАТУРА1.Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики.- М.:Высшая школа, 2004.-416 с.2. Яблонский А.А. Курс теоретической механики. - М.:Высшая школа, 2002.-423 с.3. Бухгольц Н.Н.

Основной курс теоретической механики, ч. II- М.: Наука, 2001. -332 с.22Кафедра теоретической механикиМетодические указанияПринцип возможных перемещенийЮрий Алексеевич Иванов______________________________________________________Отпечатано с оригинал-макета. Формат 60x90.1/16Печ. 1 л. Тираж 50 экз._______________________________________________________Санкт-Петербургский государственный технологический институт(Технический университет), ИК «Синтез»_________________________________________________________190013, Санкт-Петербург , Московский пр., 262324.