Иванов - Методы диагностики в нанотехнологиях, страница 4

Исходя из природы твердого тела, можно вполне точно принять массу решетки за бесконечность. Кроме того, мы пренебрегли малой силой — еч х Ыс, возникающей из-за взаимодействия электрона с магнитным полем световой волны. Это можно сделать, поскольку скорость электрона мала по сравнению с с. Пусть локальное поле меняется во времени по закону е'"'; тогда решение (11.1) имеет вид и наведенный дипольный момент равен Важно быть последовательным при установлении закона изменения во времени, используемого для описания зависящих от времени полей. Методы диагностики е нанотехноиогияк сент 08 раздел 3 Выбранная зависимость приводит к комплексному коэффициенту л преломления вида и =л-И.

Положим, что смещение г достаточно мало по сравнешпо с линейной л зависимостью между р и Е~, а именно где а ~е) есть частотно зависимая атомная поляризуемость. Поляризуемость одноэлектронного атома получается равной Поляризуемость является комплексной величиной из-за включения в нее потерь. Как следствие, поляризация отличается по фазе от локального полл на всех частотах. Бели имеется Ю атомов на единицу объема, то макроскопическая поляризация равна Р х~р'~ = мые,,; =- т,.к Чтобы связать микроскопическую атомную поляризуемосгь с макроскопической электрической восприимчивостью„необходимо знать соотношение между микроскопическим полем Е~„и макроскопическим полем Е.

В общем случае <Е~ е» не равно Е, т.к. <Е~„> обычно есть среднее по узлам, а не по междоузлиям. Для металлов со свободными электронами, однако это утверждение спорно, т.к. электроны проводимости не связаны, поле, которое они чувствуют, и есть в среднем макроскопическое поле Е. Тогда, конечно, следует положить ее=О в (П.1), поскольку электроны проводимости не связаны. Результат — модель Друде для металлов.

Однако то, что мы собираемся сделать, находится где-то посередине, Мы оставим возвращающую силу, но все еще будем полагать для простоты ~Е~ '»=Е. Такая модель имеет все необходмые возможности описания оптических свойств; однако следует помнить, что при детальном анализе специфических реальных твердых тел необходимо тшательно рассмотреть, какое поле использовать.

Исходя из наших предположений, имеем Методы диагиостиии е наиотехныолих ееит 08 раздел 3 Р =. %як =- у,.к Теперь мы готовы получить выражение для диэлектрической функции в условиях атомной поляризуемости. Однако, включив механизм потери энергии, мы получили комплексную атомную поляризуемость. Это также означает, что поля К, Р и В не совпадают по фазе. Самый удобный способ решения создавшейся проблемы — обобщение некоторых ранних результатов.

Определим комплексное смещение В следующим образом В =- ек =- Е + 4иР— Е~' Это вс6 равно что определить 0 как 6 — 0 + К4яйдЛ Физические величины Е, В, Л и т.д. в общем случае записываются в комплексной форме как, например посколъку такая подробная запись показывает фазу, вдобавок ко всему Очень сильно упрощает математические выкладки. С этого момента вместо В будем писать просто В.

Подробно определим комплексные величины только для свойств среды, к примеру, комплексную диэлектрическую функцию в и комплексную поляризуемость а . Получаем Из следующих формул для немагнитных материалов получаем Методы диагностики в нанотехнололтх сент Оо раздел 3 Если рассмотреть классические атомы, у которых на один атом приходится больше одного электрона, то можно расширить предыдущие результаты. Пусть Л" — число электронов, связанных резонансной частотой в,. Тогда 4ке Ф т, (~з,-' — оР) — Л,о» Теперь вкратце выведем соответствующее квантово-механическое уравнение, имеющее вид Замечаем формальную схожесть последних уравнений, но их смысл совершенно другой. В первом случае и; — это резонансная частота связанного электрона, в то время как во втором - это частота перехода электрона между двумя состояниями, отличающимися на энергию йе;. Параметр Я, называемый силой осциллятора, отражает относительную вероятность квантово-механического перехода.

Для свободных атомов он удовлетворяет правилу Это квантово-механическая аналогия. Теперь рассмотрим частотную зависимость для твердого тела, являющегося набором одноэлектронных классических атомов. Частотная зависимость представлена на рис.13. Методы диаеностиии е нанотехнололих сент 0о раздел 3 Рис.18.

Частотная зависимость в~ и в2. Рис.18 показывает, что за исключением узкой области вблизи юе 8~ растет с ростом частоты. Это называется нормальной дисперсией. Однако имеется вышеозначенная область вблизи ве, где гр уменьшается с ростом частоты.

Это аномальная дисперсия. Можно найти ширину области аномальной дисперсии следующим образом. Приравняв производную для а~ к нулю, получим 1ое' — М,х)' = л':аЪ'Гх где м частота, на которой е~ максимальна или минимальна. Если область аномальной дисперсии достаточно мала, то е„=ее и (и~ — ее,„) = + ГД и полная ширина области аномальной дисперсии равна Г. При отсутствии потерь энергии получаем особенность на ве. Если гъо в зависимости от ж принимает вид колоколообразной кривой, симметричной относительно ее. Малые значения Г, сравнимые с щ~, ведуг к Й олтан че 1 41 ото Методы диаеностини в нанотехнологинх сент 08 раздел 3 небольшим искажениям. Из выражения для гг находим, что максимум а~ равен Полагаем, что максимум приходится в точности на вв. '1ак, полная ширина кривой 8г на уровне 0,5 от максимального равна Г Рис.18 показывает вклад электронной ноляризуемосги в диэлектрическую константу.

Имеются также другие виды вкладов. Например, в иОнных кристаллах в инфракрасноЙ Области есть спектр поглощения и поляризация, ассоциируемые с прямым возбуждением колебательных степеней свободы ионов электромагнитной радиацией. Модель Лоренца описывает и такие случаи. Рис.19 показывает общий вид поляризуемости, ожидаемой в материале, состоящем из трех дискретных мод осцилляций.

Рис.19. Частотная зависимость вкладов в поляризуемость, возникающих из-за ориентации ~а) диполей (микроволны), (Ь) колебаний ионной решетки 1инфракрасная область) и ~с) смещения электронов (видимая область и ультрафиолет). Хотя все моды осцилляций вносят вклад в поляризуемость и и диэлектрические константы„вклад ионного движения мал на опгических частотах из-за большой инерции ионов по сравнению с электронами. Рассмотрим только электронный вклад в диэлектрические константы.

В этом случае понятие низкочастотных диэлектрических констант будет означать Методы диагностики е нанотехнологии сент 08раздел 3 диэлектрические константы на низкочастотном краю видимой области, но на частоте большей по сравнению с частотой колебаний кристаллической решетки или молекулярными колебаниями в кристалле. Теперь рассмотрим применение частотной зависиьюсти е~ и е~ лдя оптических свойств твердых тел. Отражение в твердых телах при нормальном падении определяется формулой ~/ с ~ я 3 к е 6 ~ е 9 О ~ е '3 !4 $ъ Рис.20.

Спектральная зависимость с1 и е2. Кривые посчитаны для случая Ьао=4еУ, 4яХе lш=бО. Начало области 1У определяется в~=О. Далее находим, что для немагнитнь|х материалов и = . ~ ~~Р' " + " ~г'~ к — "ф ~ + г ~~'-' — е ~'и~ Теперь можно проанализировать частотные зависимости твердого тела в условиях, когда оно преимущественно отражает, поглощает или пропускает. Обобщенные результаты представлены на рис.20- 22. Й олиъс пе З - юв сто Методы диагностики е нанотехнологикх сент 08раздел 3 Рис.21. Спектральная зависимость и и Е.

Кривые рассчитаны для значений а1 и с2, данных на рис.2О. Области 1, П, 1П и 1У могут трактоваться как преимущественно пропускающая ~Т), поглощающая ~А), отражающая 1К) и пропускающая Щ, соответственно Рис.22. Спектральная зависимость отражения. Кривая рассчитана исходя из значений и и Й данных на рис.21. В области 1 в«ме, аг=2ий=д и е~=п -Аг>1.

Таким обРазом, можно г Методы диагностики е нанотехшиол~ях сент 08рагдел 3 Диэлектрики, такие как М:Ч, в области 1 обычно имеют коэффициент преломления около 1,5. Так, область 1 лля диэлектриков характеризуется ~ысо~ой прозрачностью без ~о~лоще~~~ и мал~~ отражением. Это показано на рис.23 для отражения в КС1 . ь е Рис.23. Спектральная зависимость коэффициента отражения в КС1.