Галеев Э.М., Тихомиров В.М. - Краткий курс теории экстремальных задач, страница 7

С л е д с т вне (коиечномерная теорема о неявной функции). Пусть' "К=~~ х»т" — окресткость точки (х, у) =(х„..., х», у„..., у,),й "Р: Чь -». )к', Ч'(х, у) = О, Ч'„(х, у) — обратимая матрица. Тогдапй *сущесгпвуюп» К)0, 6) О и такое отображение ~р »В(х, 6) -» 1кт~ жласса С'(В(х, 6)), что Ч"(х, кр(х))=0, юр(х)=у, [~р(х) — у[(К[х — х[. с4 Положим и=6+э, г=(х, у) (хенк», уенК'), Р(х) = 1 =(х, Ч"(г)): Тогда функция Р в точке х=(х, у) будет удав-1 .летворять требованиям теоремы об обратной функции, ибо Рю(е) к( ) есть иевырожденная матрица.

По теореме об обратной функ- ции существуют такие 6)0, е)0 и К)0, что если ($ — х[+(т~ ~ < <6, то найдется единственная пара (х, у), для которой 1х — х[+ +[у — Ф)<е и Р (х, у) = ($, т)) ьь х = $, Ч' (х, у) = т1, [х — х) + (у — у( (К ( )ф — х) + [Ч [1, Ф Положив в=О, получим, что если [х — х[<6, то имеется един-, ственное у=~р(х), ~у — у[<е, для которого Р(х, ~р(х)) =(х, 0)е=~ Ч'(х, ~р(х))=0, 1у — у[( К [х — х/ .

(> 3 а меч ание. Из формулы для производной обратной " функции немедленно следует, что ~р'(х)= — [Р„(х, <р(х))) [Р,(х, <р(х))[. Теорема Люстер ника. Пусть Х, 2 — банаховы про- странства, %енсу(х, х)Р:Я- Х, Если Рен50(х) и Р'(х) яв- 1 ляется эпиморфизмом, то существуют окрестность Ус% точ- .

ки х, число К)0 и отображение <р:У-».Х, такие, что Р (х+~р(х)) =Р(х), ~1~р(х) Ц (КЦ Р(х) — Р(х) Ц. 30 0 Доказательство этой теоремы основано на модифицированном методе Ньютона. А) Не ограничивая общности, считаем, что Х=О н Р(Х) =О. Выберем ее>0 столь малым, что В(0, е) ~% и Ц Р(х') — Р(х') — Р'(0) (х' — х") Ц ( — Ц х' — х" Ц (1) 2С при Цх'11<еь Цх"Ц<е (это возможно, поскольку РевЯ)(2)), где константа С>1 взята из леммы о правом обратном опера- торе (п. 7.2) для оператора М, являющегося правым обратным к Р'(0).

Положим для хенУ=В(0, б): $, (=$„— М(Р($,)), л)0, $»=х, где 6 столь мало, что ЦхЦ+ С11Р(х) Ц <е(2 при ЦхЦ <б. Б) Докажем, по индукции, что Щ,11(е ч"и- О. Очевидно, что Ц$»11-11х11(е/2. При а=1 из (2) и леммы о правом обрат- ном операторе получаем оценку Ц ь» — х Ц Ц МР (х) Ц ( С Ц Р(х) Ц, откуда ЦЦ(Ц <е/2. Пусть ЦЦ!<е при (=О, 1,...,Й(1~1).

Выведем отсюда, что !!е»+)Ц<е. Для (=О, 1,..., й из (2) имеем Р (О) а,+,— Ц,)+Р(Ц,) =О, (9 откуда (2) (4) Цй(+ — Ц, Ц(СЦРи,) Ц = СЦР(й ) — Р(й( )— (5) — Р (0) Я( — $( — !) Ц ( — Ц Ь вЂ” $( — ! Ц + 2 =рЦЦ(+! — Е(Ц(2 'Ц$( — хЦ(2 ' 'е, (=1, ..., й. (5') Отсюда в силу неравенства треугольника получаем ЦЬ+! Ц=Ц»»»+! В»+$» Ц» — )+ ° ° ° +2» Ц +Ь Ц(ЦЦ»+! В».Ц+!$» 2» — (Ц+ ° ° ° +ЦВ» 6»Ц+ЦЦ Ц( е / ! ! ( — ! — + — +...

+ — 71 + — ( е. 2 (, 2 4 2 7 2 Таким образом, мы получили, что !!4»+(Ц<е, откуда по индукции следует, что ЦЦЦЦ <а )(г" ~0. В) Из неравенств (5), (5') следует, что ЦЬ,+. Ц„Ц(ЦЦ,+) В„Ц(1+ — + ...+ — ()(2ЦВ.+!— ! ! 2 $, Ц ( — „Ц Ц» — х Ц-~ О при и -»- оо, т. е. ($„) ам — фундаменталь- 31 иая последовательность и, значит, она сходится в силу банаховостн Х. Обозначим ф(х) =1ип$„; тогда л~ю 1 Ц чь х Ц ( Ц Ц $ — 1 Ц+ Ц 6 — 1 аь-т Ц+ + Ц $2 а1 Ц+ <з > +Ц$ — хЦ( ЦЦ вЂ” хЦ ( —,+ — т+... +1) (2ЦЦ,— хЦ.

Переходя к пределу, получаем (з~ Ц ф (х) — х Ц ( 2 Ц Ц, — х Ц ( 2С Ц Р (х) Ц = К Ц Р (х) Ц, причем <з> Ц ~р (х) Ц ( Ц х Ц+ 2 Ц $, — х Ц ( а. Отсюда и из (1) вытекает, что Р непрерывна в точке ~р(х) и поэтому из (4) Р (ф (х)) = 1ип Р ($„) = — 1ип Р' (0) (Ц„~л — $„) = О. (> Пусть Х вЂ” нормированное пространство, М вЂ” некоторое его подмножество. Элемент йенХ называется односторонним касательным (полукасательным) вектором к множеству М в точке хенМ, если существуют е>0 и отображение г:10, е~ — ~:Х, "такие, что: а) х+1п+г(1) енМ Ия (О, е); е б) Ц г (1) Ц = о Я при Г -~ + О. Вектор и называется касательным к множеству М в точке Х, если векторы и и — и являются односторонними касательны- . ми векторами к М в х.

Множество всех касательных векторов к М в точке Х обозначается Т;М множество односторонних касательных векторов Т-„'М. Очевидно, что Т. М и Т М вЂ” ко нусы. Если множество Т", М является подпространством в Х, то оно называется касательным пространством к М в точке х. Во многих случаях, в том числе и представляющих значительный интерес для теории экстремальных задач, множество касательных векторов может быть найдено при помощи тако- . го следствия из теоремы Люстерника. Теорема (о касательном пространстве). Пусть Х, Х вЂ” банаховы пространства, Яя 6(х, Х), Р: Я- Я, РЕБР(х) и Р (х)— впиморфизм, М =(хе Х ! Р (х) =Р(х)). Тогда Т; М = Кег Р' (х). 32 < А) Пусть И ~ Т-„М, г(.) — отображение из определения каса- тельного вектора. Так как Реп 50(х), то при малых а Р (х) = Р (х+ ай + г (а)) = Р (х) + аР' (х) [И[+ о (а).

Отсюда аР'(х) [И)+о(а) =О и, значит, Р'(х) [И[=О, т. е.'Т„М~ г- КегР'(х). Б) Пусть И~КегР'(х). Положим г(а) =<р(х+ай), где ~р— отображение, построенное в теореме Люстерника. Тогда Р (х+ ай+ г(а)) = Р(х), Ц г(а) Ц = Ц ср (х + ай) Ц ( КЦ Р (х+ ай) — Р (х) Ц = в (а), т. е. И я Т1М. 1.5. Элементы выпуклого анализа Выпуклый анализ — раздел математики, в котором изучают выпуклые объекты: множества, функции и экстремальные задачи.

1.5.1. Определения. Пусть Х вЂ” линейное пространство. Множество А~Х называется выпуклым, если,для любых двух точек х, и хт из А и любого числа а из отрезка ' [О, 1) элемент ах,+ (1 — а)хз принадлежит А. Всякий треугольник на плоскости выпуклый, среди четырехугольников встречаются и выпуклые, и невыпуклые. Шары в нормированном пространстве — выпуклые множества. В частк ности, выпуклы при р>1 единичные шары В1с: =[хенВ"~ т' ~х;[г< ~=1 ~(1~ нормированных пространств 1р".

Выпуклы полупространства (т, е. множества вида (х[(х, 4)~Д) и их пересечения. Пересечение конечного числа полупространств в мк называется выпуклым полиэдром. Множество К называется конусом, если из условия хе:-К' следует, что ахе=К для любого положительного а. Выпуклые конусы — конусы, являющиеся выпуклыми множествами. Примеры выпуклых конусов; угол раствора (и на плоскости, неотрицательный ортант К+" в К", множество неотрицательных функций в пространстве С(Т),,где Т вЂ” компакт, полу- пространства, ограниченные гиперплоскостями, проходящими через нуль в Йк, и нх пересечения. Пересечение конечного числа полупространств, ограниченных гиперплоскостями, проходящими через нуль, называется многогранным углом с вершиной в нуле. Пусть задана функция [:Х-~й (й:=К()(~-оо)). С каждой такой функцией [ связываются два множества: 2 звк г 33 богп):=(х!! [х) <+со) — эффективное множество и ер1):=((а, х)енйХХ)аъ|(х), хяйот1) — надграфик Г.

Функция 1 называется выпуклой, если надграфик 1 — вы пуклое множество. Функция р!Х-~К'(й,':=ЙУ(+ос) называет-, ся выпуклой однородной, или сублинейной, если надграфик р — . выпуклый конус. Вще можно сказать так. Функция р сублиней '„ на; если р(ах) =ар(х) Ъ'а)0, х~Х, и р(х!+хе) <р(х!)+Я~ +р(хт) чгх„хтепХ. Функция ! называется собственной, если'" 1(х)) — со Ух(е~):Х-~К') и бош~ФЯ. Из определения выпуклого множества сразу следует, что'й собственная функция выпукла тогда и только тогда, когда вы-" полнено неравенство Иенсена: У (ссх! +(1 — !х) х,) < аЦхт) + (1 — а) 1 (хг) У хо хг ен Х, а е= 10; 1], Примеры выпуклых функций одного переменного доставля- ', ют: экспоненты ехр(ах), аенК, степенные функции )х~г, р~1, а 1 также хг при х)0 и +со при х аО, если и<0.

Норма в любом 1 нормированном пространстве — пример сублинейной функции Любая аффинная функция в Й", т. е. функция а(х): =) ах!+ !=.! +а„разумеется, выпукла, а любая линейная функция субли- ' нейна. Функция, равная максимуму некоторого семейства аф- !! финных (линейных) функций, выпукла (сублинейна). 0 выпуклых экстремальнйх задачах будет рассказано в $3! и 4. ! Пусть С вЂ” некоторое конечное подмножество Х, т. е. 'С:= '„ к к =(х!,...,х).

Элемент х= ~ а,х;, а,- О, у а!=1, называ1=! ! л ется выпуклой комбинацией С, а элемент ь= т Р!х! р!'.э.О— !=! конической комбинациеи. С. Совокупность всех выпуклых (ко- . нических) комбинаций конечных подмножеств множества А называется выпуклой (конической) оболочкой А и обозначается соА (сопеА). Можно легко показать, что множество соА совпадает с пересечением всех выпуклых множеств, содержащих А (иногда это свойство берут за определение соА), а множество сопеА совпадает с пересечением всех выпуклых конусов, содержащих А. Выпуклая оболочка конечного числа точек называется выпуклым многогранником, а выпуклая коническая оболочка конечного числа точек — конечнопорожденным конусом.