Сахаров В.Л., Андреенко А.С. - Методы математической обработки электроэнцефалограмм, страница 8

Это может привести к ситуации, когда, к примеру,имея шаг 0.5 Гц, на частоте 7 Гц получаем всплеск на графике спектра, на частоте 7.5 Гц - значение,близкое к минимуму, а при 8 Гц - опять всплеск. И хотя математически это верно, врачу труднопонять и согласиться с таким результатом. Прямое вычисление интеграла устраняет эту проблему все переходы между разными частотами на графике спектра будут плавными и понятными дляпользователя. Принимая во внимание то, что кросскорреляционная функция получена в видепоследовательности отсчетов, то для нахождения интеграла от произведения, согласно формуле(4.2.28), необходимо получить аналитическое выражение этой зависимости /5, 14/.

При этом быливыявлены некоторые проблемы, характерные для представления ЭЭГ, и найдены пути ихразрешения, о чем далее и пойдет речь.Для целей получения аналитического выражения целесообразно использовать методыаппроксимации функций различными способами, например, широко известным методом наименьшихквадратов (МНК) /14, 23/. К сожалению, анализ реальных ЭЭГ привел к заключению, что одной«универсальной» функцией обойтись не удастся, поскольку очень велика вариабельностьавтокорреляционных функций ЭЭГ, возникающая из-за того, что ЭЭГ является активностью, близкойк спонтанной и, как следствие, возникает большая погрешность значений сигнала в узлах, особенно кконцу рассматриваемого участка. Учитывая характер энцефалографического сигнала, в которомнаряду с медленноволновыми компонентами, хорошо описываемыми полиномиальными функциями,имеют место более высокочастотные периодические составляющие, которые можноаппроксимировать тригонометрическими, был поставлен эксперимент, в котором былипроанализированы 80 16 канальных ЭЭГ, принадлежащих пациентам различного возраста с четырьмяразличными патологиями.Целью эксперимента было определение максимальной погрешности представления сигнала втом и другом базисе.

Анализ заключался в аппроксимации каждого из 16 отведений всех 80 ЭЭГметодом МНК вначале ортогональными полиномами Чебышева /13/, а затем тригонометрическимиполиномами /14/ вида.k2πit2πit Tk (t ) = α 0 + ∑  α i cos+ β i sin ,TT i =1(4.2.34)и подсчетом максимальной ошибки аппроксимации каждого метода в каждом отведении. Врезультате были построены графики, изображенные на рис. 17 (для полиномов Чебышева) и рис.

18(для тригонометрических полиномов). Значение ошибки аппроксимации представляет собойотносительную погрешность аппроксимации, определяется как Tk (t i ) − K (t i )  ⋅ 100% i= 1, n ,()Ktiε = max(4.2.35)где Tk - амплитудные значения аппроксимированной функции;K – амплитудные значения реальной функции;t i - текущий временной отсчет.Из этих графиков видно, что при прямом использовании ортогонального базиса, состоящегоиз полиномов Чебышева, максимальная величина такой погрешности составила 27% и пришлась онана затылочные отведения, где, как известно, преобладает периодический или квазипериодическийальфа-ритм.

При использовании тригонометрического базиса для описания ЭЭГ максимальнаяпогрешность была в лобных отведениях и она составила 22%. Это объясняется доминированием волбу низкочастотных непериодических ритмов.32Естественно,при наличии других патологий процессы могут трансформироваться,что еще более усложнит задачу аппроксимации. Для решения этой проблемы в данной работе былиприменены два различных подхода.302520ЛобТемя15ВисокЗатылок10558555249464340373431282522191613107410Рис.17. Значения максимальной ошибки аппроксимации полиномамиЧебышева2520Затылок15ВисокТемя10Лоб558555249464340373431282522191613107410Рис.18.

Значения максимальной ошибки аппроксимации тригонометрическими полиномами33При рассмотрении первого, во время постановки эксперимента, был также проведенанализ этих 80 ЭЭГ, который позволил найти наиболее часто встречаемые формыавтокорреляционных функций. К таким формам относятся:- затухающая экспонентообразная форма;- в виде затухающей синусоиды;- в виде незатухающей синусоиды;- шумоподобная незатухающая автокорреляционная функция;- вариант автокорреляционной функции 1-4 со смещением относительно нулевой линии.Анализ вариантов форм автокорреляционных функций привел к необходимости искатьаппроксимацию ее в виде двух возможных форм:• аддитивная форма представления (АфАФ),• мультипликативная форма представления (МфАФ).Возможны и комбинации таких форм, но для анализа дальше одного уровня разделения компонентобычно идти не требуется.Итак, АфАФ:f (ω ) = A(ω ) + G (ω ) ,(4.2.36)где A(ω ) - медленно изменяющийся компонент, а G(ω ) - быстро осциллирующийся компонент.Для МфАФ выражение может быть таким:f (ω ) = A(ω ) ⋅ P(ω ) ,(4.2.37)где A(ω ) - медленно изменяющийся амплитудный компонент, а P(ω ) - компонент заполнения.1.2.3.4.5.Общийалгоритмаппроксимацииавтокорреляционнойфункциисостоитизпоследовательности этапов:Определение формы представления автокорреляционной функции;Аппроксимация медленно меняющегося компонента;Компенсация медленно меняющегося компонента;Выбор типа аппроксимации для быстроменяющегося компонента;Аппроксимация быстро меняющегося компонента.Форму представления автокорреляционной функции можно определить, анализируя ее симметрию.Например, пусть задана автокорреляционная функция, изображенная на рис.19.Для определения формы представления необходимо определить положительные иотрицательные экстремумы (кроме первого на оси ординат) и провести огибающие, используятехнологию метода наименьших квадратов с полиномиальным базисом или сглаживающих сплайнов/11, 12/.

См. рис 20.Далее производится оценка симметрии путем сравнения площадей криволинейных трапеций.Если они отличаются более чем на 10%, то имеет смысл говорить о наличии аддитивного компонентав автокорреляционной функции. Сам компонент определяется как сумма огибающих.

Здесь же можноопределить и амплитудную медленно затухающий компонент какAm = ( A+ − A− ) / 2 ,где Am - амплитудная медленно меняющаяся компонента;A+ - положительная огибающая автокорреляционной функции;A− - отрицательная огибающая автокорреляционной функции.Аф(4.2.38)34tРис.19. Пример автокорреляционной функцииАфtРис.20. Построение огибающих автокорреляционной функцииПри использовании технологии МНК и сплайнов выражение для медленного компонентаполучаются в виде степенных полиномов.

Для исключения осцилляций не рекомендуетсяиспользовать полиномы степени выше четвертой.Послеопределенияаддитивнойкомпонентыиамплитуднойсоставляющеймультипликативной составляющей необходимо произвести коррекцию автокорреляционной функциидля определения быстро меняющегося компонента:P(ω ) = ( АФ(ω ) − Aa (ω )) / Am (ω ) ,(4.2.39)ЗатемможнопроводитьаппроксимациюP(ω ) ,причемначинатьсаппроксимациитригонометрическими рядами. В случае незначительных различий между коэффициентами, т.е.отсутствия доминирующих осциллирующих компонент можно повторить аппроксимацию сплайнамиили применить метод МНК с полиномиальным базисом.Второй способ ограничивается применением функции сплайн-аппроксимации /14/.

Причемдля реализации сплайна исходный сигнал необходимо разбить на участки, на каждом из которыхстроится своя функция. Длительность участков выбирается из следующего критерия. Введем понятие«интервал корреляции». Согласно /8/, под временем корреляции понимается величина τk,определяемая соотношениемτk1=2∞∫−∞ρ (τ)d τ=∞∫ρ (τ)d τ,(4.2.40)0Геометрически интервал корреляции равен основанию прямоугольника с высотой ρ(0) =1,имеющего ту же площадь, что и площадь, заключенная между кривой ρ(τ)  при τ>0 и осью абсцисс(рис.21).

Величина τk дает ориентировочное представление о том, на каком интервале времени всреднем имеет место коррелированность между значениями случайного процесса.ρ(τ)35τkτРис. 21. Интервал корреляцииЗдесь и далее будем считать, что длительность реализации корреляционной функции 1 с. Припостроении спектра мощности ЭЭГ, максимальная значимая частота, как правило, составляет 25 Гц верхняя граница низкочастотного бета-диапазона.

Исходя из этого целесообразно всюкросскорреляционную функцию разбить на 25 участков и далее для каждого определитькоэффициенты сплайна.С помощью спектра мощности можно легко получить картину распределения ЭЭГ по ритмам,определить доминирующий ритм и доминирующую частоту как всей ЭЭГ, так и каждого отдельногоритма.

Построив спектры мощности симметричных отведений левого и правого полушарий, можнооценить степень асимметрии между этими участками по каждому ритму и по каждой конкретнойчастоте.Отметим некоторые особенности, выявляемые с помощью спектра мощности. Спектры ЭЭГздорового человека отличаются максимумом мощности на частоте альфа-ритма, меньшейвыраженностью дельта- и тета-диапазонов частот. Имеются некоторые особенности СГ.

Спектрысоответствующих ЭЭГ правого и левого полушария отличаются высокой степенью симметричности изначительной стабильностью у каждого индивидуума при повторных исследованиях. При переходеот бодрствования в дремоте ко сну, СГ изменяется. Максимальная мощность перемещается из альфадиапазона в диапазон дельта- и тета-частот.При рассмотрении результатов обработки ЭЭГ различными математическими методами,экспертами было отмечено, что принципиально новые возможности по сравнению с визуальнойоценкой ЭЭГ и с СГ, дает вычисление комплексной функции когерентности /8, 9, 10/.