Вариант 10 дифур (Дифференциальные уравнения (Кузнецов Л.А.))

Саачани а Ы!и!1!ни!!я!гии .гиии к~~5 .г- у' 12! —: ус4. к гг! = 0 0 )г н 0)гйг.г г г, 1 гДнфф!. [1С1Я1яйл ьныс .'~гаанения! 2007 Данный мйгсрлйл нодготоялен нй нринцннах ннформацнонноконсультаннонно1о материала с целью закрецлення у икольнюиж и студентой наныкон нраь"гн н.ской рсгьтнайт!Ян йнйннй. Ярногбрст'."'Ян!1х В ОбЪСЬЮ КурСа НО Теме ГГДИффсрсицНВ!1ЬНЫЕ урааисинягь КаетОЛИН!!! ма!е11нйл цредусматрнййет 1ннрокую Вариативность прнеьигл н мсюдоя закрснлення гюлного курса В объеме семестра но ра!лелу «Дигффсре!ГНИ1ШЫ1ЫС урайнсиияи В НВЫСШЕй Ма1СМан!Кса.

Рекоменду !ся нтуненяе данного материала в соност11вленни Всего объбчш нречрюакеяных ре1нений. й серии иредстаалены консультационные нособия ио следуюптнм темам: ИнтсгральнОс нсчнслсняс Дифференшгальные уравнения Ератныс янтс1~1ю1ы и Ряды теория Вероятностей а Пределы 1'ФК12 и Лнжн1тя гсская 1'1*,Омст1!ия ° Лнясй1нйя йлгебгю Векторны!! анй.!Яа Ртлемснть1 теории ноля) Найти Об!Ннй интеграл длфферснцнйльнОСО урайнсння. 00)1аст ЛРЕЛСТВВН1Ь В Видс г!Г1к,у! = С.! Данное уравяеюю янлясгся уравнением с разделиощнмися ларем!.Янымн. 11рсОбрааусы с1О к слсдуюц1смгу Виду: к~5 1- у ат =.

-уь!4 ! хггу! !Вцншеы дяфференциаль1, каь обшне мнолжтеля хьг~ -- !.121г !к ' 4 ~5';у Проннте3 рнруеы леВ'НО н нраВткг а1стн Вь1ра1ксння: — — — — -Г ---;.,— ' 1Ь1т г -- !ТУУ -0.5Дл.', 4) г — 0.517(У +51 с'.т +4 0!5 '-у йх +4 фьу В!ЛВ 1тн интегралы, мы лолу 1иа! Об!Цнй Янтегрен! данно! О урйннсння, т. с. совокупность рс1нсний В неяаном Виде: 0.5 2.сгх - 4=а-05 2 д!у'+5, С Ирнаедсм решение к требуемому виду: 05-2 и1х! 4 = — 0.5 2 ууд +5+!." = =а С Х ' -: 4 + .,гу ' -г 5 -.= С 1й '!тоы Выргааксянн !2 — нро1г1ВО!1ьнйя конг.1йнта Вада»В Н:11»т»» 061пии ИИЪОГОВл )н»фферен»»иалы»ОГ»ъ у)к»ииенйя 1. О«ь ')то лиффсреипйл:1ьпОс «:равнение наъывйется Одно)»Одным «»111«ъсн'1ел1 НО х и ", 1 сииать «10 следуе1 «1нъмопийо СЛСЛ;Липой 1й«»Е»»Ь» НСРЪСМЕИНОК: 3 х ъ.бхт 1 -- «= -О У .== = ' Х вЂ”.-' Х(Х Ч Х- 1== — —, Х' + ~)рО»1))ъоъъус«1 лаийос «)ъзвйеиие.

«Чптыиая ч»о: +3 «1)т == 1 ' —,— --- ТМх -:, ттх 2" ".3 'х +3 У иес БОль'чнлОсь уравнение с )й»ъделмин»н»ыися пе)ъсмсниымй. реп»нм сто: «)т (2 + .«)Ы" т =' (-1 Т) ПрОпйте»3ы»руем леву»0 и прЗВу»о части: «(т Я( ' ъ' 3) ох 1 1 ~ — = 1 — ' —,—,— — "= (И~.~=О.ф —, — —,)4(1)= .х: (Х +3) Х В +3 =- 211»)ж) = )пх -ь )п(х»+3)+С Мы пол'1'«И1лн О«йщй)) интеГ)ъал дифферен»)нальи01 О уравнения. Представим его В Виде «(*(к,у) = О: 21нр', =-1их'+1п(х'+3)+О=: х» =Ах (х —:-3) О Х Х' х (х 13) 1" (у +Зх ) В 'х»О«1 Вы)»В»ненни А='е — прои»1иьтьн»ТЯ кОйстанта. С Т* Ответ: —;- — „—. = А у)у +3х) Пай~~ «ътъпн» й и1 Стет)ъ«т1 диффе)ъейннальиото «равйейня: Х'1 «т — „ъ Найдем »очку пересечения прямых х+ 2у — 3 =- В и 4х- т-.» = й. Это ТОчкл с ко«ъ»ъдйиатамй ('1,1). Перенесем начсн»о кос)ъдий»й в "Ъть' „11«п,.'ъ т е 1 д«,лаеь1 ъаь»си'«*' й =у — 1.1: = х — 1.

В новых перемейных уравнение будет ВЫГЛЛДЕТЫВК: У»11 и» ' — Ъ Т) и 4(т+ 1) — и — 1-3 4»" — и Сделаеы «'ше Оди)' замен)с И=Те "И =-1+«Ч Получим: 1 ч 21, 1 — 2) +11 (у — 1)1 ).Ь«1 =- = »1'=- — — — =— 41 4 1 41 (4 — «)т(1 «1«' (1 — 1) Проннтетрируем леву»о н праву»о части: (4 — »й)1 1«)ь 1, Гс(('1 — П вЂ” — — ~ — =ъ (4 — 1 =- 3 — (1 — П) =- -(п~т) = 3 ) — —,— (( — 1)1 ~((-1)1 то(1 — 1),, — 3,, „,, 3 — 11 — — — =о )й1«) = — --- 111)» — 1', ВО =о (п)«(1 — 1))+ - = О ~ " (1 — 1) ' ( — 1 ' (-1 ..Ф 1О)(о — ь')~ + — =- С "' 1П11 1' — х)) -~.

Π— Ь. и — Х В что«я« Вы)ъзжейин А — прОиъВОльиая кОнстантз. 3 Ответ: 1и)(у — х)(+ — — = С 1» — Ь Нанти рспюние тадачн КО1пн: г'-:- -:, у.= — — --,-, у(0)=- 1-,'- т 1-~ х 3 ')1О Линейное лифференпиапьиое уравнение.

Его реп1ение находи вся с помоптью )гашения соотве3С1втющих О/птороюгсп о и неоднородного уравнений. Снача:щ репшм отиоро.пюс уравнение ) -:-2ху Н1'.— х ) =-0 1!рсоорату си данное Л авненне. учитывая что ) ' = цт ' дх: Ь ' у .-.- -~)х,' 'х Про|ите1 !Хн)ъуем Левую и правую части.' Й: - "н/х — '- = — ~ -:- —, .=ь 1п у = -1пП + х ) + А =~ у = — —, я 1+х 1+я' Решим неоднородное уравнение методом вариации. Для угого проитведем подстанОвку: у =С(х)/(1+х ) Тогда: у'= — 2хС(х)/(1+х ) +С(х)/(1-ьх')=~-2ХС(х)/(1+х ) + +С'(х)/(1+ х')+ 2хС(х)/(1+ х')' = 2х'/(1+ х') =~ =~ С'(х) = 2х' =е С(х) = 2х' /3+ В Подставив получивгпуюся функцию С(х) в выражение для у(х), пОлучим следующий реаультйт1 у =(2х'/3+ В)/1+ха В агом выражении  — произвольная константа.

По условию у(О) = 2/3 . Из чего следует: 2 2х'/3+2/3 2 х" +1 В= — =: у= 3 ' !+х 31+х 2 х'+1 Ответ: 31+х- у! = я/4 ")то линейное дифференциальное уравнение. Его решение находится с помощью решения соответствующих однородного и неоднородного уравнений. Сначаяа решим следукнцее Однородное уравнение: Проинтегрируем левую и правую части: ~ — =- — 2 ~ — .=~ 1п1х1 = — 2 1и!у1 + А ~ х = Су -' Репп1м псодноро.шое уравнение: Йсппльзусм метод Варижгии н произйелем сяелуюшум полстановк). '1гнда: гу)) х' — - -21)у)) '.-1'З))у -.~-20у)) '-~Г"'1у)т -ь2 — — '- = Зсов т-. Ть)п; =-' С)т).=Зу соя2) -2т'Вш2т =, В этОЯ выразкенпи  — в ройзВОльйая константа.

Учитывая, что Х1кт4) = и получаем Решить задачу Коши: Зу'В2ху ="ху 'е" ' у)О) =-1 Произведем следукпйую замен)' переменнОЙ'. к — -- у' э г' = Зу-у' т(П) = — 1 Запишем уравнение в новых переменных: Это неоднородное линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка. Решать его придется методо~ пройзвольйоЙ вариапни постоянных. суп которого заключается в том, по решается однородное уравнение, а затем константа, появившаяся В результате интегрирования. объявляется фу йкпией х й решается йеоднородйое уравнение. Найдем обшее решеййе одйородйого уравнения: Перейдем к уравнению с разделяюптнмися переменными, Йк учитывая. чтО к Йх Реален неоднородное у(гааненйе; 1(саольтъ«и катод ла(н,аилн л(~~нтвольнь~к логдолнйгак и Брпитведега след;"валун~ Бодстайоакът л =- С (х(с (..'(х(е " — 'хС.'(х)е"' ь2хС(х(е ' = 2хеса С(х1 =- (2хе"' с1к = — с ' + А =е а = — е " + Ае " .=ь =, "у=~ — е" +Ае' В атом аыраженяи А — произвольнам константа.

Учитывал, что к(01 = -1 лолучаеко Р'.,', =- — --;- ь О'(у1 = — —; ~ ь1'(у1 = О =ь 6(у) = сола( Х' Х-' Тогда ойцнй интеграл будет аыгллдеть следутощлм обрааоьа В атон выраженнн С вЂ” произвольная константа. Для .шнного днфф«рснпнального уравнения методом июклнн построить интегральную крнвуз»«ь проходяш)чо через з Очку М: х — у йхуу" = и. М) "»!) г)ос»»»н1ьз»»мсЯ тсм.

'гто У' '.!й(»«Ь 1дс н - Угол наклона касагс.п,ной к нн г»ч рщп,н«УГ1 крн»~»»й в заданноГ1 гочка. )йарьнр)я угол «а мм можем п«»сг)ншгь гюле направлений, а зг1ем провести чсре» заданную н»чку ннтегр»тзьну1«» крпвуьх Форм»ма 'шя пост(я»епвя поля направлений бу«пе~ выглядеть сл»ду юнцам ООразом: у =- х(яьп а+1) ''соя»х 1-!я прнвсдеинОм ниже рисунке построена искомая гпггегральная кровна н часть векторов поля направлений ллЯ ЛВУК значений»:гла м(Я 4, -Я)4): 1'!а"'т" линию» проходящую "чеРез точку Мя, если отрезок л|ОбОй е«НОрмалн.

заключенный межд) ОсЯми коо!злннан делится точкой линни в отношении а:Ь (считая от осн Оу): Мя(2.-1), а:Ь =- 3:1 ) р и ад и к фу н к ни н 1 ( к ) в г» з «| 1 у(х) = Г(х„) —, (х — х„, ) Т'(хя) Расом«зтрнм пронавольную то~к~ М. При наазежащую н»»комой линни: М(х, Г(х)) Точки пересечения нормали к искомой кривой в атой точке с осями координат обозначим Ь) и Р: гч(О, Г(х ) — х )Т "(х)) — пересечение с Оу Р(х+ Т(х ) !'(Х),()) — пересечение с Ох По условию отрезок Ь(Р дели гся точкой М таким образом» М)») а — = — ~ а.

МР = Ь- М»х) МР Ь Тогда: ВДГ(х) Г(х))" з-Т'(х) =Ь~х'+(х)Г"(х)) Возведем «збе части пол~,'чнвшегося уравнения в квадрат: аьр (х)((,1'(х)) з-11 — -Ь х' !+~ —,— ~ Г Г'(х) Преоб)ьзауеы п)я1вую часть уравнения: — 1= Ь'. ' 1 ! 1,,) (1'(х)) +11 1,Т'(х)~ 1 ~ (Г'(х))* Тогда произведем следующие действия; , Х(Г(х))1 ~13 Ь'х ~ — ' —,-~ =а Г (х)((Г*(хф ь»1= (Г(х)) Ь|х,, Ь х -- — '- —, =- а 1' ( х) == -- — '-- = аа Г( х) (1'(х)) 1 (х) )то уравне1пге можно привес|'и к внл) уравнения с 1«азлсляяя1|нмися переменныыи: 1)1(х) Ьх =- ": а» ( х ) --- -'- =-" 1( х )1»Г(х ) -:= .: -- «Х)х йх ' а Нрщппк|-рпровав оос «асти цщ о уравнеюи.

получим стедук«щйе яыраженця". Г гЬ, Г" (х) Ьх ' Г(х)1)Г(х) =-~~ — хйх -..~ — — '- =-+.— '— — «-(:" —.« а 2 2а ГЬ -.~ Пх) =-+х ' — ~-С Найдем С из условия, по Г(х) проходит через заданную гочкя "«|я' Найти общее решение дифференциального урави ння; Я с)Ь2х.= 2Я" 'Это дифференциальное уравнение 3-го порядка.

Оно не содержит в явном виде у и первой производной от у. Таким образом, данное дифференциальное уравнение допускает пОннжение степени с помОщыО следующей замены переменной: х=я =зя =т Тогда уравнение будет выглядеть так: х'с)Ь2х = 2Я Преооразуем данное уравнение, учитывая что я = —: 1»Х дх г)я 2яЬ 2х дх я сЬ2х Мя(2.— 1) г„-, 1 С = 2Л вЂ” 1 =е --1=+2~3«+ С =а :Ь=3: ~С==Л-» 1'аким образом, искомая линия описывается одним из следующих уравнений (они оба удовлетворяют условию 'зада~|и ): хз|3 — 2Л вЂ” 1 1(х) =! „' — я~3+ 2;/3 — 1 „.Д' 2,Г3 Ответ: Пх) =1 ~ — ха)3«+ 2«3 -1 Мы получили уравненне с разделяющимися переменными. Проинтегрируем левую н правую части: 1»х 2яЬ2Х«)х — =. ! п!я~ = »п!сЬ2Х»+ С = х сЬ2х =э Я = Асй(2х) =~ у' = А ~сЬ(2Х)1»х = — ьй 2х + В .=а А 2 гА „А ~ у = ~( — 'Я»12Х з-В)1»х = — сй(х)+ Вх+О 2 2 В агом уравнении А, В и 0 — произвольные конста«1тьь 'Задача 11 1Ы1ти рс1асннс Задачи Кеши: та 11прслслпи таачснис инастайты Рс 1 13 у1 21-- 1 =- 2 ч  — — — - ~ В =.

— --"- 6 1113Онтаедсм сч дующую ааиену персменнпи; Проиитетрирусм левую и правую части уравнения: ~рдр = ~72у'ф =- р-'12=18у'+С Задача 12 Найти оошее решение дифференциального уравнения: у" +Зу" ьу" =Йх Зто неоднородное лт1не13ное дифференциальное З»равнение 4-Го» 1юрядьа. Его решение является суммой общего решеиия однородного удлинения и частно1 0 решения неоднородно1 о, Найдем общее решение, лля чего составим характернстическОе уравнение: а" +2а1+а1 =-О=: а,1 =Оа„= — 1 Тогда общее решение будет выглядеть так: у = Л + Вх+ 1С + 13х)е ' 1Ь1йти Общее рсш»»ине диффс~'.Нциа1и и»»Г1» уравнения: ъ -Зъ -Зя =Ййхе' 1то неолиО»ин1н»»е ГНН1е1П100 лнфферснпийяьнОе урявн».пне '-*0 пОрялка.

1ЬО рсп1ен1м явля».1ся суммой»»Оп101»1 1я*111011ня»го1нор»»„'ннн'1» ур11йнен»1я и чястн01'0 рснгеиия Оеодн01толпо1'О: .»- 1 1ЬН1;:щм Об1нее ргнн» ни»;. 11ля ч».ГО со»навин харак1ернс1н»шское уравнение г» -ЗХ вЂ” 2 =-О Теперь нам нужно найти частное решение неоднородного уравнения. Будем искать его в следующем виде: у = х (ах + Ьх ее) Подставив зто выражение в исходное уравнение, получим следующие значения козффициентов а, Ь и с: 1 Й а = —,Ь = — —,с =12 3' 3' Тогда полное решение дифференциального уравнения будет ~ахи~: х 8 у = А+Вх+1».'+ 13х1е '+ — ' — — х +12х' 3 Ответ: у = Л + Вх + (С, + 13х1е " -1 — — -- х +12х >;" 3 3 3 То~да общее решение однородного дифференциального уравнения будет вьн лядеть следуюганы образом: у...