Экзаменационные билеты по ИиДУ 2019-2020 (Билеты)

Московский государственный технический университет имени Н.Э. БауманаЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ 1 (20-60).Интегралы и дифференциальные уравнения2-й сем., ИУ-РЛ-БМТ (2019-20)1. (6 баллов) Сформулировать свойства определенного интеграла. Доказать теорему о среднемдля определенного интеграла.2. (6 баллов) Исследовать на сходимость несобственный интегралZ1√3dx.x + x203. (6 баллов) Найти объем тела, полученного вращением кривой x = a cos3 t, y = a sin3 t вокругоси y = 0.4. (6 баллов) Решить уравнениеy 00 sin x − y 0 cos x = cos2 x.5. (6 баллов) Указать вид общего решенияy IV − 4y 000 + 8y 00 = (4x − 3x3 )ex + x2 − 3 cos x + e2x sin 2x − 11 − 5x.Билеты утверждены на заседании кафедры ФН-12 25.05.2020Заведующий кафедрой ФН-12(А.П. Крищенко)Московский государственный технический университет имени Н.Э.

БауманаЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ 2 (20-60).Интегралы и дифференциальные уравнения2-й сем., ИУ-РЛ-БМТ (2019-20)1. (6 баллов) Сформулировать свойства определенного интеграла. Вывести формулу Ньютона —Лейбница.2. (6 баллов) Проинтегрировать:Z√2x dx.9x2 − 6x − 83. (6 баллов) Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми 2y 2 + x − 8y + 5 = 0, y 2 + x −4y + 2 = 0.4. (6 баллов) Решить уравнениепри начальных условиях y x=1x2 y 00 + 3xy 0 − 4(y 0 )2 = 0.= −3, y 0 x=1 = 1..5. (6 баллов) Указать вид общего решенияy 000 + 4y 00 + 3y 0 = (1 − 5x + 2x2 )e−x + ex sin x − 2x4 − 2x cos 3x.Билеты утверждены на заседании кафедры ФН-12 25.05.2020Заведующий кафедрой ФН-12(А.П.

Крищенко)Московский государственный технический университет имени Н.Э. БауманаЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ 3 (20-60).Интегралы и дифференциальные уравнения2-й сем., ИУ-РЛ-БМТ (2019-20)1. (6 баллов) Фигура ограничена лучами ϕ = α, ϕ = β и кривой r = f (ϕ). Здесь r и ϕ — полярныекоординаты точки, 0 6 α < β 6 2π, где r и ϕ — полярные координаты точки. Вывести формулу длявычисления с помощью определенного интеграла площади этой фигуры.2. (6 баллов) Проинтегрировать:Zx2 sin x dx.3. (6 баллов) Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси Oy фигуры,ограниченной кривыми y = x2 ; y 2 = 8x.4.

(6 баллов) Решить уравнениеy 00 + y 0 − 6y = 2 sin x.при начальных условиях y(0) = 0,y 0 (0) = 1.5. (6 баллов) Указать вид общего решенияy 000 + 2y 00 + 5y 0 = (x − 1)e−x sin 2x + 7e−x + x2 + 3x.Билеты утверждены на заседании кафедры ФН-12 25.05.2020Заведующий кафедрой ФН-12(А.П. Крищенко)Московский государственный технический университет имени Н.Э. БауманаЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ 4 (20-60).Интегралы и дифференциальные уравнения2-й сем., ИУ-РЛ-БМТ (2019-20)1. (6 баллов) Дать геометрическую интерпретацию определенного интеграла. Сформулироватьи доказать теорему об интегрировании подстановкой для определенного интеграла.2.

(6 баллов) Проинтегрировать:Zcos2 x + 3 cos x − 2dx.cos2 x3. (6 баллов) Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси Oy фигуры,ограниченной кривыми 2y 2 = 3 − x; y 2 = 4 − 3x.4. (6 баллов) Решить уравнениеy 00 − 2y 0 + 2y = ex + cos x.5. (6 баллов) Указать вид общего решения√y IV − 6y 000 + 9y 00 = x3 e−3x + 4x + e3x + xex cos 3x.Билеты утверждены на заседании кафедры ФН-12 25.05.2020Заведующий кафедрой ФН-12(А.П. Крищенко)Московский государственный технический университет имени Н.Э. БауманаЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ 5 (20-60).Интегралы и дифференциальные уравнения2-й сем., ИУ-РЛ-БМТ (2019-20)1.

(6 баллов) Сформулировать свойства определенного интеграла. Интегрирование периодических функций. Интегрирование четных и нечетных функций на отрезке, симметричном относительно начала координат.2. (6 баллов) Исследовать на сходимость несобственный интегралZ1dxp.x(1 − x)1/23. (6 баллов) Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси Oy фигуры,ограниченной кривыми 4x2 + y 2 = 4.4. (6 баллов) Решить уравнениепри начальных условиях y(−2) = 1,yy 00 = 1 + (y 0 )2 .y 0 (−2) = 0.5.

(6 баллов) Указать вид общего решенияy IV + 2y 000 + y 00 = xe−x + x3 + 4 − cos 2x.Билеты утверждены на заседании кафедры ФН-12 25.05.2020Заведующий кафедрой ФН-12(А.П. Крищенко)Московский государственный технический университет имени Н.Э. БауманаЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ 6 (20-60).Интегралы и дифференциальные уравнения2-й сем., ИУ-РЛ-БМТ (2019-20)1. (6 баллов) Сформулировать определение несобственного интеграла 2-го рода и признакисходимости таких интегралов. Сформулировать и доказать признак абсолютной сходимости длянесобственных интегралов 1-го рода.2. (6 баллов) Исследовать на сходимость несобственный интегралZ+∞sin xdx.x4 + x arctg x13. (6 баллов) Найти длину дуги кривой 2y = x2 − 2 между точками пересечения ее c осью Ox.4. (6 баллов) Решить уравнениепри начальных условиях y x=0 = 1,yy 00 − 2yy 0 ln y = (y 0 )2 .y0= 1.x=05.

(6 баллов) Указать вид общего решенияy IV + 2y 00 + y = (x − 1)e−x − cos x − ex sin x.Билеты утверждены на заседании кафедры ФН-12 25.05.2020Заведующий кафедрой ФН-12(А.П. Крищенко)Московский государственный технический университет имени Н.Э. БауманаЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ 7 (20-60).Интегралы и дифференциальные уравнения2-й сем., ИУ-РЛ-БМТ (2019-20)1.

(6 баллов) Сформулировать определения линейно зависимой и линейно независимой системфункций. Сформулировать и доказать теорему о вронскиане линейно зависимых функций.2. (6 баллов) Проинтегрировать:Zdx.3 sin x + 4 cos x3. (6 баллов) Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси Oy фигуры,2ограниченной кривыми y = 2; y = 1.x + 2x + 24. (6 баллов) Решить уравнениеe2xy 00 − 4y 0 + 4y = √.1−x5.

(6 баллов) Указать вид общего решенияy IV + 4y 00 + 4y = x sin 2x − 7 + x − x3 + 4e2x sin x.Билеты утверждены на заседании кафедры ФН-12 25.05.2020Заведующий кафедрой ФН-12(А.П. Крищенко)Московский государственный технический университет имени Н.Э. БауманаЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ 8 (20-60).Интегралы и дифференциальные уравнения2-й сем., ИУ-РЛ-БМТ (2019-20)1. (6 баллов) Тело образовано вращением вокруг оси Ox криволинейной трапеции, ограниченнойкривой y = f (x) > 0, прямыми x = a, x = b и y = 0 (a < b).

Вывести формулу для вычисленияс помощью определенного интеграла объема тела вращения.2. (6 баллов) Проинтегрировать:Z(ln2 x)p41 + ln3 xdx.x3. (6 баллов) Найти длину дуги кривой y = ln sin x от x = π/3 до x = π/2.4. (6 баллов) Решить уравнениеxy 00 − y 0 = x2 cos x.5. (6 баллов) Указать вид общего решенияy 000 − 6y 00 + 5y 0 = (x − 12)e5x − (x2 + 1) cos x − ex sin x + x4 .Билеты утверждены на заседании кафедры ФН-12 25.05.2020Заведующий кафедрой ФН-12(А.П.

Крищенко)Московский государственный технический университет имени Н.Э. БауманаЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ 9 (20-60).Интегралы и дифференциальные уравнения2-й сем., ИУ-РЛ-БМТ (2019-20)1. (6 баллов) Вывести формулу Остроградского — Лиувилля для линейного дифференциальногоуравнения 2-го порядка.2. (6 баллов) Исследовать на сходимость несобственный интегралZ2arctg x dx.x(x2 − 1)13. (6 баллов) Найти площадь меньшей из двух фигур, на которые кривая x2 + y = 0 делит кругx + y 2 6 2.24. (6 баллов) Решить уравнениепри начальных условиях y x=1 = 1,xy 00 + y 0 = x3 + 2x.y 0 x=1 = 0.5. (6 баллов) Указать вид общего решенияy V + 9y 000 = 1 − x3 + x − x2 e2x + (x − 1) cos 3x + x2 sin 3x.Билеты утверждены на заседании кафедры ФН-12 25.05.2020Заведующий кафедрой ФН-12(А.П.

Крищенко)Московский государственный технический университет имени Н.Э. БауманаЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ 10 (20-60).Интегралы и дифференциальные уравнения2-й сем., ИУ-РЛ-БМТ (2019-20)1. (6 баллов) Сформулировать определение несобственного интеграла 1-го рода. Сформулироватьи доказать признак абсолютной сходимости для несобственных интегралов 1-го рода.2. (6 баллов) Проинтегрировать:Zx3x+2dx.− 2x2 + 2x3.

(6 баллов) Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры,ограниченной кривыми y = ex ; y = 1 + 2e−x ; x = 0.4. (6 баллов) Решить уравнениепри начальных условиях y x=0 = 1,y 00 − 3y 0 = e3x − 18x.7y 0 x=0 = .35. (6 баллов) Указать вид общего решенияy IV + 5y 000 + 6y 00 = xe−2x + 3e−3x + 2 − x3 + e−3x sin 2x.Билеты утверждены на заседании кафедры ФН-12 25.05.2020Заведующий кафедрой ФН-12(А.П.

Крищенко)Московский государственный технический университет имени Н.Э. БауманаЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ 11 (20-60).Интегралы и дифференциальные уравнения2-й сем., ИУ-РЛ-БМТ (2019-20)1. (6 баллов) Сформулировать свойства определенного интеграла. Доказать теорему о сохранении определенным интегралом знака подынтегральной функции.2. (6 баллов) Проинтегрировать:√x√dx.3x − x23. (6 баллов) Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры,ограниченной кривыми y = 3 − x2 ; y = 1 + x2 .Z4.

(6 баллов) Решить уравнениеy 00 − 8y 0 + 17y = x2 e4x .5. (6 баллов) Указать вид общего решенияy IV − y 000 − 12y 00 = 7x − 3x4 − (x − 2) cos 3x + e−3x sin 4x + (x2 − 2x)e4x .Билеты утверждены на заседании кафедры ФН-12 25.05.2020Заведующий кафедрой ФН-12(А.П. Крищенко)Московский государственный технический университет имени Н.Э. БауманаЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ 12 (20-60).Интегралы и дифференциальные уравнения2-й сем., ИУ-РЛ-БМТ (2019-20)1. (6 баллов) Вывести формулу для общего решения линейного однородного дифференциальногоуравнения второго порядка при одном известном частном решении.2. (6 баллов) Исследовать на сходимость несобственный интегралZ+∞√3dx.x + cos2 x1√√3.