Lapina_primerTR (Материалы к практическим занятиям ИРЭ, Л.Г. Лапина)

ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ ТИПОВОГОРАСЧЁТА ПО ТЕМЕ "ЭЛЕКТРОСТАТИКА"ЗадачаДиэлектрический шар (относительная диэлектрическая проницаемость ε1 = 4)R2радиуса R = 5 см заряжен с объёмной плотностью ρ  ρ0 2 , где r – расстояние отr–63центра шара, а ρ0 = 3·10 Кл/м . Шар погружён в среду, относительная диэлек2rтрическая проницаемость которой изменяется по закону ε2 .r RНайти зависимости электрического смещения Dr(r), напряжённости Er(r) и потенциала φ(r) электрического поля, если φ(∞) = 0. Построить соответствующиеграфики.Вычислить: полный заряд шара; энергию поля вне шара; потенциал на поверхности шара; объёмную плотность связанных зарядов вне и внутри шара.Решение1.Построим графики заданных функций (рис. 1 и 2).20RРис. 12.rRРис.

2rНайдём зависимость Q(r), т. е. найдём заряд, лежащий внутри сферы радиуса r.dQТак как ρ , то Q   ρdV , где интегрирование ведется по объёму.dVVВ зависимости от типа симметрии задачи элемент dV можно представить ввиде:2dVdV = 4πr2drdV = 2πhrdrdV = 2SторцаdxСферическая симметрияЦилиндрическаясимметрияПлоская симметрияrrxQ   2πhrdrQ   ρ4πr dr2Q  2 ρSdx000Так как в данном случае симметрия сферическая, заряд, лежащий внутри сферы радиуса r, можно найти следующим Qобразом:rr0040RR24πr 2dr  4πρ0R2r .2rQ  r    ρ4πr 2dr   ρ0График этой функции показан на РИС.

3.В частности, полный заряд шараРис. 3Найдём зависимость Dr(r).Для этого воспользуемся теоремой ОстроградскогоГаусса DdS  Qстор.охвач. S.S1RrSS2Гауссовы поверхности показаны на РИС. 4.r<RЛевая часть равенства преобразуется в силу симметрии квиду DdS  D  4πr2r.S1Правая часть равенства:Qстор.охвач. S Q  r   4πρ0R2rОтсюда Dr∙4πr2 = 4πρ0R2r и, следовательно,D1r ρ0R2.rr>RЛевая часть равенства: DdS  D 4πrr2.S1Правая же часть равенства:Qстор.охвач. SОтсюда Dr∙4πr2 = 4πρ0R3 иrRQ  R   4πρ0R3 .3.3 Q  r   4πρ0R3 ..Рис.

43ρ0R3D2r  2 .r4.Найдём зависимость Er(r).Так как D  ε0εE , топри r < RD1r ρ0R2E1r ;ε0ε1 ε0ε1rпри r > Rρ0R3  r  R D2.E2r ε0ε22ε0r 35.Найдём зависимость φ(r). По условию φ(∞) = 0.при r > Rφ2  r    E2r dr  r2ρ0R3  r  R r22ε0r 3φ2  r  В частности, φ2  R  dr ρ0R3  1 R .2ε0  r 2r 2 ρ0R3 2r  R4ε0 r 23 ρ0R2.4 ε0при r < RRr1r1RRρ0R2ρ R2 R 3 ρ0R2.dr  φ2  r   0 ln 2ε0ε1rε0ε1 r 4 ε0r1φ1  r    Er dr   E1r dr   E2r dr  φ1  r  В частности, φ1  R  ρ0R2 R 3 ρ0R2ln ε0ε1 r 4 ε03 ρ0R2.4 ε0Выполнено условие φ1(R) = φ2(R), т. е. потенциал не претерпевает скачка на границе сред.6.Построим графики полученных функций (РИС. 5).4DrErrR7.RРис.

5r~ (-ln r)RrПолный заряд шараQ  Q  R   4πρ0R3  4,7  109 Кл .8. Энергия поля вне шара W   wdV , здесь w – объёмная плотность энергии,VDE.2В силу сферической симметрии dV = 4πr2dr.Тогда энергия поля вне шара будет равнаw31 ρ0R3 ρ0R  r  R 3 πρ02R524πrdr.232r2εr2ε00RW W3 πρ02R5 1,5  106 Дж .2 ε09. Найдём объёмную плотность связанных зарядов.Один из способов нахождения объемной плотности зарядов заключается вследующем.

Согласно теореме Гаусса для вектора поляризации P поток этоговектора через произвольную замкнутую поверхность определяется суммойсвязанных (сторонних) зарядов, охваченных этой поверхностью. В дифференциальной форме это можно представить так:div P   ρсвяз .div P в разных системах координат имеет вид:Декартова система координатdiv P Px Py Pz.x y zЦилиндрическая система координатdiv P 1 1 P P rPr   φ  z .r rr φ z5Сферическая система координат1 2 1 Pφ1 r Pr   Pθ sin θ  .2 r  r r sin θ φ r sin θ  θТак как в данной задаче имеет место сферическая симметрия, то в последнейформуле остается только одно слагаемое и тогдаdiv P ρсвяз  1 2 r P ,r 2  r где P  D  ε0 E .при r < Rρсвяз  2ρ0R2   ρ0R2 ε  11ε 1   2  ρ0Rrερr  .022r rrεεrrεε0при r > R3ρ0R3  R  r    ρ0R 41   2  ρ0Rρсвяз   2  r  2  ε0     4 .r  r   r2ε0r 32r  свRrРис.

6График зависимости ρсвяз(r) представлен на РИС. 6..