ïÉ 16 (Лабораторная работа № 16 Исследование дифракции Френеля на круглом отверстии и круглом диске)

Лабораторная работа № 16Исследование дифракции Френеля на круглом отверстии и кругломдискеЦель работы : изучение явления дифракции света на простейших объектах ив изучении метода Френеля для её количественного описания.Задачи работы: получение дифракционной картины на круглом отверстии икруглом диске, измерение их основных параметров и оценка числа зон Френеля.2.ВведениеДифракцией света называется совокупность явлений, которыенаблюдаются при распространении света в среде с резкими неоднородностями(например, при прохождении через малые отверстия, вблизи границнепрозрачных тел и т.п.) и связанных с отклонениями от законов геометрическойоптики.

Дифракция, в частности, приводит к огибанию световыми волнамипрепятствий и проникновению света в область геометрической тени.Различают два вида дифракции света – дифракцию Френеля и дифракциюФраунгофера. Критерии наличия дифракции определённого вида или еёотсутствия выражаются следующими соотношениями:b2lλ1 – дифракция Фраунгофера,b21lλb2lλ– дифракция Френеля,1 –геометрическая оптика,где λ – длина волны света, b – характерный размер препятствия, l –расстояние от препятствия до экрана.Проникновение световых волн в область геометрической тени может бытьобъяснено с помощью принципа Гюйгенса, который устанавливает способпостроения фронта волны в момент времени t +  t по известному положениюфронта в момент времени t.

Согласно принципу Гюйгенса каждая точка, докоторой доходит волновое движение, служит центром вторичных волн;огибающая этих волн даёт положение фронта волны в следующий моментвремени. Пусть на плоскую преграду с отверстием падает параллельный ей фронтРис. 1По Гюйгенсу каждая точка выделяемого отверстием участка волновогофронта служит центром вторичных волн, которые в однородной среде будутсферическими. Построив огибающую вторичных волн, можно убедиться в том,что за отверстием волна проникает в область геометрической тени, огибая краяпреграды. На рис. 1 границы этой области показаны пунктиром.Однако принцип Гюйгенса не даёт сведений об амплитуде, а следовательно иоб интенсивности волн, распространяющихся в различных направлениях.Френель дополнил принцип Гюйгенса представлением об интерференциивторичных волн. Учёт амплитуд и фаз вторичных волн позволяет найтиамплитуду результирующей волны в любой точке пространства.

Удобнорассматривать вторичные источники, расположенные на одной волновойповерхности, так как фаза первичной волны на волновой поверхности одна и таже. Развитый таким образом принцип Гюйгенса получил название принципаГюйгенса-Френеля.Вычисление амплитуды результирующей волны, в общем случае, являетсяочень трудной задачей. Однако, как показал Френель, в случаях, отличающихсясимметрией, эта задача может быть решена простым алгебраическим илигеометрическим суммированием.Чтобы понять суть метода, разработанного Френелем, определим амплитудусветового колебания, возбуждаемого в точке Р сферической волной,распространяющейся в однородной изотропной среде из точечного источника S(рис.

2).Рис. 2Рассмотрим волновую поверхность, проходящую через некоторую точку О.Используя симметрию дифрагирующей волновой поверхности относительнопрямой SP, разобьём её на кольцевые зоны, построенные так, что расстояния откраёв каждой зоны до точки Р отличаются на половину длины волны, т.е. на λ /2(см. рис. 2). Вследствие этого результирующие колебания, приходящие в точку Рот двух соседних зон, находятся в противофазе (отличаться по фазе на π ).Обладающие таким свойством зоны носят название «зон Френеля». Вкладсоседних зон в амплитуду полного светового колебания в точке Р будетотличаться знаком, поэтому амплитуда полного светового колебания в точке Рможет быть выражена в видеА = А  А  А  А  А  А  ..., ,1 2 3 4 5 6(1)Здесь Аi  модуль вклада i-й зоны Френеля в полную амплитуды.Из рис.

2 видно, что расстояние bm от внешнего края т-ой зоны до точки Рравноbm  b  m 2 2Из (2) следует, что расстояние bm медленно растёт при увеличении т. Такжемедленно растёт и угол между нормалью к поверхности т-ой зоны инаправлением на точку Р. По этим причинам амплитуда Ат колебания,возбуждаемого т-ой зоной в точке Р, монотонно убывает с ростом т. Этот фактпозволяет существенно упростить выражение (1).Представим (1) в следующем виде:AА1  А1  А2 А2  А3   А3  А4 А4  А5   ...2  22   22 Вследствие медленного монотонного убывания Ат все выражения в скобкахбудут равны нулю и формула для А примет видA  A1 / 2,(3)где А – амплитуда полного светового колебания в точке Р, A1 – амплитудасветового колебания, создаваемого центральной (первой) зоной Френеля.Таким образом, амплитуда, создаваемая в некоторой точке Р всейсферической волновой поверхностью, равна половине амплитуды, создаваемойодной лишь центральной зоной.

Если на пути волны поставить непрозрачныйэкран с отверстием, оставляющим открытой только центральную зону Френеля,то амплитуда в точке Р окажется равной A1 , т.е. в два раза превзойдёт амплитуду(3). Поскольку интенсивность волны пропорциональна квадрату её амплитуды, тоинтенсивность света создаваемая, одной центральной зоной Френеля будет вчетыре раза больше, чем в отсутствие преград между точками S и Р.Чтобы получить формулу для радиуса внешней границы т-ой зоны rm ,рассмотрим рис.3.Применяя теорему Пифагора к двум прямоугольным треугольникам,изображённым на рис., получим систему двух уравнений (4) и (5) относительно rmи hm:rm2  a2  (a  hm )222λrm   b  m    b  hm 22 4 5Рис.3Приравнивая правые части уравнений (4) и (5), получимmbλ  m2 (λ / 2)2(6)2(a  b)Ограничившись рассмотрением не слишком больших т и ввидумалости λ , можно пренебречь вторым слагаемым в числителе (6).

В этомприближении формула (6) примет видhm hm  mbλ2(a  b)(7)Подставив (7) в (4), получимabλb2 λ 22rm  mmab4(a  b)228Приближение, обоснованное выше для (6), позволяет пренебречь вторымчленом в правой части (8). Окончательно получаемrm ab mλa b9Формула (9) была получена для дифракции сферической волнырасходящейся из точки S при наблюдении результата интерференции вторичныхволн в точке Р. В этом случае точки S и Р расположены с разных сторонрассматриваемой волновой поверхности.Рассмотрим дифракцию плоской волны. Волновые поверхности в этомслучае являются плоскостями, перпендикулярными направлениюраспространения волны.

Рассмотрим поле вторичных источников,расположенных на плоскости Э1 (рис. 4). Интерференцию вторичных волн будемрассматривать в точке Р, находящейся в плоскости Э2.Рис. 4Так как плоскую волну формально можно рассматривать как сферическуюволну бесконечно большого радиуса, формулу для радиуса внешней границы mой зоны Френеля rт получается из формулы (9) в пределе a   .

Таким образом,для дифракции плоской волны получимrm  b  mλ10 Рассмотрим дифракцию сферической волны, сходящейся в точке S (рис. 5).Рис. 5Интерференцию вторичных волн будем рассматривать в точке Р,находящейся в плоскости Э2. Рассмотрим источники вторичных волн,расположенные на волновой поверхности вблизи плоскости Э1. Точки S и Ррасположены с одной стороны дифрагирующей поверхности.Проведя вывод, аналогичный выводу формулы (9), получим для радиусавнешней границы т-ой зоны rт следующее выражение:rm ab mλa b11Формулы (9), (10) и (11) можно записать в виде одной общей формулы:rm  L  mλ12В формуле (12) необходимо считать для дифракции расходящейсясферической волныLabab13для дифракции плоской волныL  b,для дифракции сходящейся сферической волны14Laba b15Дифракция на круглом отверстииПусть на пути световой волны расположен непрозрачный экран с круглымотверстием радиуса R. Допустим, отверстие расположено так, что на нёмразмещается ровно т первых зон Френеля, построенных для точки наблюдения Р.Тогда радиус R удовлетворяет соотношениюR  L  mλ16Из (16) следует, что число открытых отверстием зон Френеля равноmR2Lλ17 Применяя для амплитуды А светового колебания в точке Р, метод выводаформулы (3) при конечном значении т, получимAА1 Am ,2 218где знак плюс берётся для нечётных m, минус – для чётных.

Для малых mамплитуда Ат мало отличается от А1 . Следовательно при нечётных m амплитуда вточке Р приближённо равна А1 , при чётных т – нулю.Допустим, что в точке Р находится максимум освещённости. Тогда принепрерывном удалении от точки Р по экрану Э2 будет достигнуто геометрическоеместо точек в виде окружности, для которых выполнится условие минимумаосвещённости и т.д.

Таким образом, дифракционная картина от круглогоотверстия будет иметь вид чередующихся светлых и тёмных концентрическихколец. В центре картины будет либо светлое (при нечётных m) (рис.6а), либотёмное (при чётных m) пятно (рис.6б).Рис. 6а)б)Дифракция на круглом дискеПусть между источником света S и точкой наблюдения Р находитсянепрозрачный круглый диск радиуса R. Пусть диск расположен так, что на нёмразмещается ровно т первых зон Френеля, построенных для точки наблюдения Р.Поэтому амплитуда полного светового колебания в точке Р может быть выраженачерез амплитуды колебаний отдельных зон, незакрытых диском, в видеA  Аm1  Аm2  Аm3  Аm4  Аm5  Аm6  .....19 Формула (19) аналогична формуле (1). Поэтому после преобразований,подобных преобразованиям формулы (1), получим аналогичное выражение для(19) в следующем видеA  Am1 / 2, 20 При небольшом числе закрытых зон амплитуда Am1 мало отличается отамплитуды A1 .

Поэтому интенсивность света в точке Р будет почти такая же, какпри отсутствии преграды между источником S и точкой Р.Поскольку в точке Р находится максимум освещённости, то принепрерывном удалении от точки Р по экрану Э2 будет достигнуто геометрическоеместо точек в виде окружности, для которых выполнится условие минимумаосвещённости и т.д.

Таким образом, дифракционная картина от круглого дискабудет иметь вид чередующихся светлых и тёмных концентрических колец. Вцентре картины помещается светлое пятно, называемое пятном Пуассона (рис.7).Рис.72. Описание лабораторной установкиЛабораторная установка (рис.8) включает оптическую скамью 1 ссветозащитным сдвигающимся кожухом 2, подвижные рейтера, источник света –полупроводниковый лазер с оптической насадкой (линзой) 3 для увеличенияразмеров светового пучка, блок 4 со сменными пластинами с отверстиями(дисками), экран 5 для визуализации дифракционной картины.К приборам и принадлежностям относятся также компьютер с необходимымпрограммным обеспечением, а также веб-камера 6, предназначенная дляфиксации дифракционной картины на экране.Рис.8Рис. 9а)б)Сменные пластины (рис.9), устанавливаемые в блок (рис.