1629366116-52c4d45e00bb5cb37153daf51956afa7 (Урматы Метод Фурье), страница 3

Но в данном случае функция ϕ(x) нам задана:ϕ(x) = Ax.Поэтому воспользуемся формулами, полученными в № 687M .2An ≡ b n =lZlϕ(x) sin πnx ldx,где(8.5)02bn =lZlϕ(x) sin πnx ldx.(8.6)0Найдём коэффициенты An ≡ bn :An =2lZlAx sin0 πnx llZ2l πnx x=lπnxdx = −Ax cosdx  =− cosπnll x=0l0! πnx x=l2Al(−1)n+12l== −A(l(−1)n − 0) −sin.πnπnl x=0πnТаким образом,2Al(−1)n+1.πnПодставляем найденные коэффициенты An в формулу (8.4):An =∞ πnx π2 n2 a22Al X (−1)n+1u(x, t) =sine− l2 t .π n=1nl9. № 691Найти решение u(x, t) уравнения ut = a2 uxx ,u(x, 0) = ϕ(x),ux (0, t) = ux (l, t) + hu(l, t) = 0,(9.1)h > 0.Шаг 1. Будем искать решение уравнения utt = a2 uxx с краевыми условиями ux (0, t) =ux (l, t) + hu(l, t) = 0 в видеU (x, t) = X(x)T(t).Сразу заметим, что краевые условия означают для функции X(x) следующее:X0 (0) = X0 (l) + hX(l) = 0.Подставим U (x, t) в уравнение, получим:X(x)T0 (t) = a2 X”(x)T(t)Предположив, что X(x)T(t) 6= 0, поделим это равенство на a2 X(x)T(t) 6= 0:X”(x)T0 (t)= 2= −λ.X(x)a T(t)c Д.С.

Ткаченко-15-(9.2)УМФ – семинар – К 5 – 6Отсюда для функции X(x) имеем задачуX”(x) + λX(x) = 0,X (0) = X0 (l) + hX(l) = 0,(9.3)(9.4)0а для функции T(t) – уравнение:T0 (t) + λa2 T(t) = 0,t > 0.(9.5)Задача (9.3)–(9.4) есть задача Штурма–Лиувилля. Общее решение уравнения (9.3) имеетвид√√X(x) = c1 sin( λ x) + c2 cos( λ x)при λ > 0;(9.6)√X(x) = c1 e −λ x + c2 e−X(x) = c1 x + c2• При λ > 0 имеем√−λ xпри λ < 0;при λ = 0;(9.7)(9.8)√√√√X0 (x) = c1 λ cos( λ x) − c2 λ sin( λ x)√0И из краевогоусловияX(0)=0следует,чтоc=0,⇒X(x)=ccos(λ x) ⇒12√√0sin(λx).ПоэтомуизвторогокраевогоусловияX(l)+hX(l)= 0 поX0 (x) = −c2 λ√√√лучаем, что − λ sin( λ l) + h cos( λ l) = 0, откуда (очевидно, косинус не может бытьравен нулю, т.к.

тогда синус равнялся бы (±1), и равенство не было бы выполнено)√√λ tg( λ l) = h(9.9)Это уравнение, как легко увидеть из графика, имеет бесконечно много решений λn ,n ∈ N. Сами эти решения явным образом выписать нельзя, но любое может быть найденосо сколь угодно большой точностью численно.

Мы их искать не будем, удовлетворившисьзнанием, что они есть, и их можно найти.Таким образом, существует бесконечное множество собственных чисел задачи Штурма–Лиувилля:ppλn > 0 − решения уравненияλn tg( λn l) = h,n ∈ N.(9.10)Им соответствует бесконечное множество собственных функций:pXn (x) = cosλn x ,n ∈ N.(9.11)• При λ < 0 задача Штурма–Лиувилля никогда не имеет нетривиальных решений.• При λ = 0 имеем из краевого условия X0 (0) = 0, что c1 = 0, ⇒ X(x) = c2 ⇒ X0 (x) =0), и второе краевое условие X0 (l) + hX(l) = 0 даёт требование c2 = 0, т.е. данная задачаШтурма–Лиувилля при λ = 0 также не имеет нетривиальных решений.Итак, мы имеем бесконечное множество нетривиальных решенийpλn − решения уравнения (9.9),Xn (x) = cosλn x ,n∈Nзадачи (9.3), (9.4).

Стало быть, рассматривать задачу (9.5) имеет смысл только при λ = λn , имы получаем семейство задач:T0n (t) + λn a2 Tn (t) = 0,c Д.С. Ткаченко-16-t > 0.(9.12)УМФ – семинар – К 5 – 6Общее решение этого линейного однородного уравнения второго порядка имеет вид:Tn (t) = An e−√λn t,t > 0,(9.13)где An – произвольные постоянные.Шаг 2. Решаем задачу (9.1).Будем искать решение задачи (9.1) в виде u(x, t) =∞PXn (x)Tn (t), т.е.n=1u(x, t) =∞Xcosp√λn x · An e− λn t .(9.14)n=1Из условий задачи мы ещё не использовали только начальное условиеu(x, 0) = ϕ(x).

Для функции u(x, t) искомого вида они означают:ϕ(x) = u(x, 0) =∞XXn (x)Tn (0) =n=1∞XAn Xn (x),(9.15)n=1Пусть функция ϕ(x), входящая в начальное условие, разлагается в рядϕ(x) =∞Xαn Xn (x),(9.16)n=1Выясним,какимидолжны быть коэффициенты αn ≡ An . Для этого домножим (9.16) на Xm =√cos λm x скалярно в смысле L2 [0, l] и учтём, что система собственных функций задачиШтурма–Лиувилля всегда является ортогональной в смысле этого скалярного произведения:Zl(ϕ, Xm ) = αmcos2pαmλm x dx =2Zl p1 + cos 2 λm x dx =00αm=2! px=l1αml+ √sin 2 λm x =22 λmx=0!√sin 2 λm l√.l+2 λmоткуда, пользуясь тождествами cos2 α = 1+tg1 2 α , sin 2α = 2 sin α cos α, получаем: h√√√ippsin λm l cos λm lsin 2 λm lh√√=λm ==l+tg( λm l) =l+h2 λmtg( λm l) h√√2i2sinλm lλm l1 − cos12=l+=l+= cos α ==hh1 + tg2 α1 − 1+tg2 1√λ lmhp1 − λmλ+hh2 i2( m)=l+= tg2λm l ==l+=hλmhh2l (λm + h2 ) + h=l+=.h (λm + h2 )λm + h2В итоге для коэффициентов αn ≡ An получаем равенство:λn + h2λn + h2An = αn = 2(ϕ,X)=2nl (λn + h2 ) + hl (λn + h2 ) + hZlϕ(x) cospλn l dx.(9.17)0Всё, что нам осталось сделать, – это подставить в формулу (9.14) найденные коэффициентыAn из (9.17).∞ √Rl√√Pλn +h2Ответ: u(x, t) =2 l(λn +h2 )+h ϕ(x) cos λn l dx cos λn x e− λn t .n=1c Д.С.

Ткаченко0-17-.