Принцип максимума Понтрягина (Лекции)

3. ПРИНЦИП МАКСИМУМА ПОНТРЯГИНАПринципом максимума называют математический метод, который былразработан академиком Л.С. Понтрягиным и его учениками для решениязадач оптимального управления. Предложенная авторами методаматематическая модель процесса и четкое компактное формулированиеосновного результата — сильных необходимых условий оптимальности —оказались очень удачными. Метод пользуется большой популярностью.Этому в немалой степени способствовала изданная в 1961 г. монография«Математическая теория оптимальных процессов», которая хорошоотвечала духу того времени и была написана с большим педагогическиммастерством. Несмотря на то, что первые публикации по принципумаксимума появились уже более сорока лет назад, принцип максимума и внастоящее время остается основным инструментом для определенияоптимального управления и оптимальных траекторий.В данной главе рассматриваются задачи оптимального управления, когдазаданы ограничения только на вектор управления.

Этому соответствуетклассический вариант принципа максимума, который наиболее частоиспользуется на практике. Наряду с изложением условий оптимальности вформе принципа максимума, большое внимание уделяется рассмотрению ихприменения для определения оптимального управления и оптимальнойтраектории.Строго говоря, принцип максимума ориентирован на определениепрограммного оптимального управления. Однако он часто позволяет легковыявить структуру оптимального управления и вид оптимальных траекторий,что дает возможность выделить всю совокупность оптимальных траекторий.Таким образом, принцип максимума можно успешно использовать длясинтеза оптимального управления. Большинство рассмотренных нижепримеров посвящены именно определению всей совокупности оптимальныхтраекторий и, следовательно, синтезу оптимального управления.3.1.

НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИВ ФОРМЕ ПРИНЦИПА МАКСИМУМАСформулируем задачу оптимального управления.Рассмотрим объект или процесс, который описываетсядифференциальных уравненийdxifi x1, x2 , , xn , u1, u2 , , um , i 1, n,dtили векторным уравнениемdxf (x, u),dtсистемой(3.1)здесь xи f— n-мерные векторы,x1, x2 , , xnf1, f 2 , , f nu u1, u2 , , um — m-мерный вектор управления. Вектор x называютфазовым вектором системы, или вектором состояния.Будем полагать, что вектор управления u может принимать свои значенияиз некоторого множества U.

На рис. 3.1 при m 2 изображен примермножества U, состоящего из четырех изолированных точек.В этом, кстати, заключается существенное отличие принципа максимумаот вариационного исчисления. Из-за принятого способа построения вариацийв вариационном исчислении U может быть только областью в классическомсмысле этого слова, т.е. когда оно удовлетворяет свойству связности.Будем предполагать, что в уравнениях (3.1) функции fi i 1, nнепрерывны по всем своим переменным и непрерывно дифференцируемы попеременнымВ качестве допустимых управленийj 1, n .xjрассматриваютсякусочно-непрерывныеудовлетворяющие условию u(t ) U .функцииu (t )1, m ,u2u1Рис.

3.1. Пример множества UВекторное пространство с декартовыми координатами x1, x2 , , xn будемназывать фазовым пространством системы (3.1) и обозначать X. Каждомувектору x в фазовом пространстве соответствует некоторая точка (фазоваяточка).Еслизаданвекториначальноеусловиеu(t )x t0x0x10 , x20 , , xn0 , то систему уравнений (3.1) можно решить. Разнымвектор-функциям u(t ) будут соответствовать различные решения x(t )уравнений (3.1), т.е. выбором вектора u(t ) можно управлять движениемсистемы. Решению x(t ), t0 t t1, в фазовом пространстве X соответствуетнекоторая линия, которая называется фазовой траекторией системы.x10 , x20 , , xn0 иПусть в фазовом пространстве X заданы две точки x0x1x11, x12 , , x1n .Рассмотримдопустимых управлений u(t ), t0следующуюtзадачу.Требуетсясредиt1, т.е.

кусочно-непрерывных вектор-функций u(t ) U (моменты t0 и t1 не фиксированы), переводящих фазовуюточку системы (3.1) из заданного начального положения x0 x t0x1заданное конечное положениеx t1x1 ,найтиx0 вуправление итраекторию, доставляющие минимум функционалуt1Jf 0 x1, x2 , , xn , u1, u2 , , um dt.(3.2)t0Управление u(t ) и траектория x(t ), решающие поставленную задачу,называются оптимальными.Выбором функции f 0 (x, u) функционалу (3.2) можно придавать различныйфизический смысл. Если, например, функция f 0 (x, u) задает секундныйрасход топлива, то функционал (3.2) выражает общий расход топлива,затрачиваемый на движение от точки x 0 до точки x1.

Ниже особое вниманиеуделяется частному случаю, когда f 0 1. В этом случае функционалt1Jdtt1t0(3.3)t0задает время движения. Управление и траектория, минимизирующиефункционал (3.3), называются оптимальными по быстродействию.i 1, nБудем предполагать, что функции f 0 (x, u) иf0 (x, u) xiявляются непрерывными по всем своим переменным.Рассмотрим несколько примеров.Пример 2.1. Рассмотрим объект, движение которого задается уравнениемd 2x(3.4)u,dt 2здесь u — управляющий параметр, который должен удовлетворять условию(3.5)u A;где A — заданное положительное число.

В соответствии с формализмомпринципа максимума представим уравнение (3.4) в виде системыдифференциальных уравнений первого порядка:dx1dx2x2 ,u.(3.6)dtdtБудем решать задачу о наибыстрейшем переводе фазовой точки системы(3.6) из заданного начального положения в начало координат (точку x1 0).В качестве начальной точки будем рассматривать любую точку фазовогопространства. Это позволит выделить всю совокупность оптимальныхтраекторий.Составим функцию ГамильтонаH (ψ, x, u )11x22u.Принимая во внимание неравенство (3.5), из условия максимума функцииГамильтона найдем(3.7)u A sign 2 (t ).Вспомогательные переменные 1 (t ) и 2 (t ) находятся из системы уравненийd 1d 2(3.8)0,1.dtdtВыпишем решение системы уравнений (3.8):C1, 2 (t )С1t С2 ,1 (t )где С1 и С2 — произвольные константы. Тогда условие (3.7) принимает вид(3.9)u A sign C1t C2 .Графиком функции 2 (t ) является прямая линия, и поэтому функция 2 (t )может изменять знак не более одного раза.

Из (3.9), таким образом, следует,что оптимальное управление u (t ) является кусочно-постоянной функцией,принимающей значения A и A и имеющей не более двух интерваловпостоянства управления. Обратно, любая такая функция u (t ) может бытьполучена из (3.9) при соответствующем выборе постоянных С1 и С2 .Найдем фазовую траекторию системы (3.6) при u A. Имеем:(3.10)x2 At s1, x1 1 At 2 s1t s2 .2Выразив из первого уравнения (3.10) время t и подставив его во второеуравнение, получим1 2x1x2 s* ,(3.11)2A1 2s1 — произвольная постоянная. Аналогичным образом легкогде s* s22AA фазовые траектории системы (3.6) являютсяпоказать, что при uпараболами вида1 2x1x2 s** ,(3.12)2Aздесь s** — произвольная постоянная.На рис. 3.2 и 2.4 представлены параболы семейств (3.11) и (3.12)соответственно.x2x1Рис.

3.2. Параболы семейства (3.11)По параболам семейства (3.11) фазовая точка движется снизу вверх, а попараболам семейства (3.12) — сверху вниз, так как в соответствии со вторымуравнением (3.6) при u A координата x2 возрастает, а при uA —убывает.x2x1Рис. 3.3. Параболы семейства (3.12)Рассмотрим фазовую траекторию, на начальном участке которой фазоваяточка движется под воздействием управления u A по параболе семействаA по(3.11), а заканчивается движение под воздействием управления uпараболе семейства (3.12).

При этом заканчивается движение по той изпарабол семейства (3.12), которая проходит через начало координат, так какконечной целью управления является перевод фазовой точки в началокоординат. Указанная траектория изображена на рис. 3.4 (линия MRO).Если на начальном участке фазовая точка движется под воздействиемA, а заканчивается движение под воздействием управленияуправления uu A, то движение происходит по траектории M R O, которая симметричнаотносительно начала координат траектории MRO.x2MRu=Au = −Ax1Ou=AMu = −ARРис. 3.4.

График фазовой траекторииНа рис. 3.5 изображена совокупность всевозможных оптимальныхтраекторий. Эти траектории действительно являются оптимальными, так какдля каждой начальной точки x 0 существует единственная траектория,удовлетворяющая необходимым условиям оптимальности (теореме принципамаксимума Понтрягина), а по условию задачи ясно, что оптимальноеуправление существует.x2Ru=u = −A−Au=−AAAu==uu=AAu=−x1Ou=ARРис.

3.5. Графики оптимальных траекторийИз рис. 3.5 видно, что переключение управления происходит на линииROR . Выше линии ROR оптимальное управление uA, а ниже линииROR оптимальное управление u A. Линия RO является частью параболысемейства (3.12) и задается уравнением1 2x1x2 , x2 0,2Aа линия R O — частью параболы семейства (3.11) и задается уравнением1 2x1x2 , x2 0.2AВведем функциюA выше линии ROR и на линии RO,( x)A ниже линии ROR и на линии R O.Тогда в каждый момент времени t оптимальное управлениеux(t ) .(x), то при каждом начальномЕсли в уравнениях (3.6) положить uусловии решением системы уравнений (3.6) будет идущая в началокоординат оптимальная по быстродействию траектория.Пример 2.2.

По-прежнему рассматривается объект, движение которогозадается уравнениями (3.6). Будем предполагать, что на управляющийпараметр u наложено ограничениеu 1.(3.13)В качестве критерия оптимизации рассмотрим функционалTJk0u dt ,(3.14)здесь k — некоторое положительное число.Функционал (3.14) является линейной комбинацией двух функционаловTTdt и J 2J1u dt ,00один из которых задает время движения, а второй — расходуемые науправление ресурсы.