Методы оптимизации (часть 1) (Лекции)

УМКД Методы оптимизации1.1.Виды критериев задач оптимального управления, их отличия. Ограничения играничные условияТрудно представить такую область современной инженерной деятельности, где быни возникали задачи оптимизационного характера. Например, задача определения наиболееэффективного режима работы различных технических систем, машин, механизмов,технологических процессов (ТП) и т.д. для того, чтобы сократить расход энергии, топлива,длительности ТП и т.п. Таким образом, возникает проблема создания соответствующихоптимальных регуляторов, позволяющих повысить точность и качество работы за счетулучшения управления этими машинами, механизмами, ТП непосредственно в процессеэксплуатации.На практике задачи оптимизационного характера формулируются словесно, причёмв терминах той отрасли, где они возникли.

Но для решения задач оптимального управления,необходимо их математическая интерпретация, то есть математическое представление.Постановка задачи оптимизации состоит из трех основных моментов:• Определение цели управления (то есть формирование критерия оптимизации).• Определение множества управляемых переменных, которыми можно варьироватьдля достижения поставленной цели.• Определение функций ограничений.Как правило, множества управляемых переменных и ограничений довольно легкоопределить из условия нормального функционирования объекта управления (ОУ). Труднеесформулировать критерий оптимизации, но если это удастся сделать с учетом физическойприроды объекта управления и поставленной цели управления, то задачу оптимизацииможно сформулировать, с математической точки зрения, следующим образом.Требуется найти такое оптимальное управление, которое доставляло бы экстремум(минимум или максимум) оптимизационному критерию, с учетом выполнения налагаемыхна объект управления ограничений.Оптимальное управление – это наилучшее в некотором смысле управление, прикотором критерий качества процесса управления принимает экстремальное значение.Если в системе реализуется оптимальное управление, то она называетсяоптимальной.Понятие функционала является первичным в вариационном исчислении, потому, чтопри помощи функционала выражаются основные показатели качества системы управления,такие как точность, быстродействие, расход энергии (топлива), устойчивость и т.п.Функционал – это обобщенное понятие функции, т.е.

такая функция, в которойроль независимой переменной играет другая функция.Например, простейшим из функционалов качества является так называемыйинтегральный показатель качества переходного процесса известный из курса ТАУtkI =   2 (t)dt → min ,t0где:  (t) - ошибка системы.По критерию оптимальности различают:а) задачу Лагранжа, при этом критерий имеет вид, определяемый интегральнойсоставляющей:tkJ =  F (x, u)dt → extr ;t0uб) задачу Майера, при этом критерий имеет вид, определяемый терминальной формой,зависящей от начальных и конечных условий (граничных условий):J = (x(t0 ), x(tk ), t0, tk ) → extr ;2УМКД Методы оптимизациив) задачу Больца, критерий которой сочетает в себе критерии из задачи Лагранжа и задачиБольца, то есть имеет и интегральную, и терминальную составляющиеtkJ =  F(t, x, u)dt + (t0 , tk , x(t0 ), x(tk )) → extr .t0В случае если интервал времени задан и оба конца траектории фиксированы, задачаназывается задачей с закрепленными концами и фиксированным временем.

При этомx(t0 ) = x0 , x(tk ) = xk , dim = n .Если интервал времени задан, но граничные условия не заданы полностью, то имеетместо задача с фиксированным временем и подвижными концами.Если интервал времени неизвестен или не задан или его необходимо определить впроцессе решения, то рассматривается задача с нефиксированным временем.Если в процессе решения задачи заданы ограничения на переменные состояния,определяемые, например, из физического смысла рассматриваемой задачи, то ониназываются фазовыми ограничениями.Ограничения на управление предполагают, что в системе может быть реализованоуправление только из заданного диапазона значений.Эти ограничения предполагают использование соответствующих подходовоптимизации, поскольку в вариационных задачах предполагается гладкость функций иуправления, а наличие ограничения предполагает появление точек разрыва и функциистановятся кусочно-непрерывными и кусочно-гладкими.1.2.Постановка задачи оптимального управления.

Обзор методов решения задачоптимального управленияРассмотрим объект управления (ОУ), динамическое движение которого описываетсясистемой нелинейных дифференциальных уравнений видаxi = fi (x, u, t), i = 1, n ,(1.1)где fi (x, u, t) − непрерывные и дифференцируемые необходимое число раз функции;xi (t) − n - мерный вектор переменных состояния ОУ i = 1, n ;uk (t) − m - мерный вектор управляющих воздействий k = 1, m .Кроме того, задано начальное состояние объекта управленияxi (t0 ) = xi 0 , i = 1, n ,и его конечное состояниеxi (tk ) = xik , i = 1, n ,(1.2)(1.3)где t0 и tk — время начала и конца функционирования объекта под действиемуправляющего воздействия.▪Эффективность управления оценивается с помощью функционала качества, то естькритерием вида:tkJ =  F  x(t), x(t), u(t), t  dt → min(1.4)t0Очевидно, что эффективность управления тем выше, чем меньше значение этогофункционала.▪ На вектор управлений uk (t ) и переменных состояния xi (t ) , могут налагатьсяограничения, определяющиеся физической природой, конструктивными особенностями иусловиями эксплуатации объекта управления.Зачастую эти ограничения представляются в виде3УМКД Методы оптимизацииuk (t)  Uk ,k = 1, mили u(t)  U.(1.5)Аналогичным образом для переменных состоянияxi (t)  Xi , i = 1, n(1.6)или x(t)  X.То есть u(t) управление и (или) x(t) координаты состояния могут принимать любыезначения только внутри интервала или на его границах в каждый момент времени.

Другимисловами, управляющее воздействие и переменные состояния не могу выходить за областисвоих допустимых значений.Пример графического представления ограничений управляющего воздействияпредставлен на рис. 1.1.U2u1minu2 maxu1max U10u 2 minРис. 1.1. Графическое представление области допустимых значений UТребуется определить: оптимальное программное управление uo (t) , переводящееОУ из начального состояния (1.2) в конечное состояние (1.3), за конечный интервалвремени t0 , tk  по оптимальной траектории xo (t ) .Дадим определение оптимального программного управления (ОПУ) [4].Оптимальным программным управлением uko (t), k = 1, m называется функциявремени, принимающая значения из множества допустимых значений, uko (t) U, прикоторых ОУ (1.1) переводится из начального состояние (1.2) в конечное состояние (1.3), законечный интервал времени t t0 , tk  .

При этом критерий качества J (1.4) принимаетнаименьшее значение (то есть движение ОУ осуществляется по оптимальной траекторииxio (t ) ).На рис. 1.2 показана обобщенная структурная схема системы оптимальногопрограммного управления (ОПУ).w (t )uo((tt ))UЗПУx (t )x o (t )ОУЗПДe(t ) = x o (t ) − x(t )Рис. 1.2. Обобщенная структурная схема ОПУНа рис. 1.2 ЗПУ — задатчик программного управления;ЗПД — задатчик программного движения, конструктивно выполняется в одномустройстве с ЗПУ;uo (t) — вектор программных управляющих воздействий;4УМКД Методы оптимизацииx(t) — вектор истинного движения ОУ под действием управляющего воздействия;xo (t) — расчетная траектория, программное движение ОУ;e(t) = xo (t) − x(t) — вектор отклонений истинного движения ОУ от программного, тоесть текущая ошибка;w(t ) — вектор возмущающих воздействий, как правило, неконтролируемых.Следует отметить, если возмущения в системе отсутствуют wi (t) = 0 , то истинноедвижения ОУ полностью совпадает с программным движением ОУ xi (t ) = xio (t), i = 1, n .Системы оптимального программного управления являются разомкнутымисистемами управления, в состав которых кроме объекта управления входят ЗПУ и ЗПД.Особенности систем оптимального программного управления:1.

Длительность интервала управления t0 , tk  , начальное (1.2) и конечное (1.3)состояние объекта управления должны быть известны до начала проектирования;2. uko (t ) , k = 1, m — оптимальное программное управление является функцией времени;3. Эффективность работы системы ОПУ оценивается с помощью критерия качества(1.4), который определяется физической природой объекта управления;4. При проектировании систем ОПУ, как правило, не используются математическиемодели первого приближения (линеаризованные модели объекта управления).

Потому, чтоуправление осуществляется в широком диапазоне (управление в «большом»);Системы ОПУ применяются для вывода объекта управления на эксплуатационныйрежим работы.Проблема оптимизации является одной из важнейших проблем как науки, так иповседневной человеческой деятельности, ибо человеку органически присуще стремление кдостижению наилучшего (оптимального) результата. Проблема оптимальности актуальнапри решении широкого спектра задач теории управления.

Можно указать широкий спектробластей науки и техники, в которых теория оптимального управления нашла широкоеприменение. Примером может служить задача управления космическими летательнымиаппаратами (КЛА), например, управление при реализации фазы перехода КЛА с однойземной орбиты на другую, вывод КЛА на орбиту (эта задача сыграла важную роль вформировании идей и методов современной теории управления), стыковка КЛА, посадкакосмической станции на планету.Решение отдельных задач на отыскание минимума или максимума функционаловпривело к созданию математической дисциплины — вариационного исчисления,предметом которого является исследование общих методов определения экстремумовфункционалов. Задачи с указанным содержанием получили название вариационных задач.В учебнике значительное внимание уделено изложению основных положенийвариационного исчисления, поскольку этот метод может быть применен для решения задачоптимального управления, когда ограничения на переменные состояния и управлениеотсутствуют.

Годом рождения классического вариационного исчисления является 1696 г.; вэтом году Иоганн Бернулли опубликовал статью «Новая задача, к разрешению которойприглашаются математики». Решение задачи было было дано И. Бернулли, У. Лейбницем,Я. Бернулли, Г. Лопиталем и И. Ньютоном.Во многих прикладных задачах на управление накладываются ограничения типанеравенств.

Часто управление в таких задачах является кусочно-непрерывным (имеетразрывы 1-го рода). Метод классического вариационного исчисления — метод множителейЛагранжа — не позволяет определить число и местоположение точек разрыва, и потому вподобных случаях он не позволяет находить оптимальное управление. Для исследованиятаких задач академиком Л.С. Понтрягиным и его сотрудниками В.Г. Болтянским,Р.В. Гамкрелидзе, Е.Ф. Мищенко в 1953 г.

был сформулирован и доказан принципмаксимума. Принцип максимума определяет необходимые условия минимума функционала5УМКД Методы оптимизациикачества в задачах оптимального управления. В случае линейной задачи оптимальногобыстродействия при выполнении условий нормальности принцип максимума является нетолько необходимым, но и достаточным условием оптимальности.Примерно в это же время американский математик Р. Беллман сформулировалосновные положения динамического программирования.