Изопериметрическая задача (Лекции)

Изопериметрическая задачаПостановка задачи.Изопериметрическая задача отличается от простейшей вариационнойзадачи наличием в условиях дополнительного ограничения или системыограничений, заданных в форме интегрального уравнения.Дан критерий эффективности в форме ЛагранжаtkF (t , x, x)dtJextr .t0Задан интервал времени t t0 , tk .Заданы краевые условия на левом и правом концах траекторииx(t0 ) x0 , x(tk ) xk .Заданы изопериметрические условияtkf1 (t , x, x)dtJ1l1 ,t0. ....tkf m (t , x, x)dtJmlm .t0Требуетсяопределитьоптимальнуютраекториюдвиженияматериальной точки на заданном интервале времени, которая быудовлетворяла краевым условиям, а также системе изопериметрическихусловий таким образом, чтобы функционал качества достигал своегоэкстремума.Для решения поставленной задачи требуется сформироватьрасширенный критерий эффективности – лагранжианmL = 0 F (t , x, x) +  i f i (t , x, x) ,i =1где i , i = 0, m – неопределенные множители Лагранжа, отличные от нуля.0  0 в случае решения задачи минимизации критерия эффективности, 0  0в случае решения задачи максимизации критерия эффективности.

Дляопределения направления поиска экстремума можно воспользоватьсядостаточными условиями Лежандра для простейшей вариационной задачи.Необходимое условие существования экстремума лагранжианаобеспечивает уравнение Эйлера:dLx − Lx = 0 .dtДанное уравнение решается совместно с системой краевых условий исистемой изопериметрических условий. В результате определяется экстремальx o (t ) и оптимальное значение критерия эффективности J o .Пример.1Дан критерий эффективности J =  x 2 dt → extr .0Дан интервал времени t   0; 1 с.Даны краевые условия: x(0) = 0, x(1) = 1 .1Задано изопериметрическое условие: J1 =  txdt = 0 .0Определить экстремаль и оптимальное значение критерияэффективности.Решение.Для начала необходимо сформировать расширенный критерийэффективности – лагранжианL = 0 x 2 + 1tx .Далее формируется уравнение ЭйлераdLx − Lx = 0 .dtЧастные производные лагранжиана имеют видLLx == 1t ,xLLx == 20 x .xТогда уравнение Эйлера примет видd1t − (20 x) = 0 ,dt20 x = 1t ,откуда путем деления обеих частей уравнения на 20 можно получить егоследующий вариант:x=1t.20Введем обозначениеC=1,20тогда уравнение Эйлера примет окончательный видx = Сt .Возьмем неопределенный интеграл левой и правой частей по времениCx = t 2 + C1 .2Возьмём неопределенный интеграл левой и правой частей по времениCx(t ) = t 3 + C1t + C2 .6Данное уравнение описывает семейство траекторий движенияматериальной точки, которое зависит от значений неопределенных константинтегрирования C1 , C2 , а также коэффициента C .Воспользуемся краевыми условиями для определения их значений.Краевое условие на левом конце:x(0) = 0 .Подставим время t = 0 в уравнение траектории движения и приравняемусловию на левом конце.Cx(0) = 03 + C1  0 + C2 = 0 .6С2 = 0 .Тогда описание траектории движения упроститсяCx(t ) = t 3 + C1t .6Краевое условие на правом конце:x(1) = 1 .Подставим время t = 1 с в уравнение траектории движения и приравняемусловию на правом концеCx(1) = 1 + C1  1 = 1.6CC1 = 1 − .6Подставим найденное значение в уравнение траектории движенияC Cx(t ) = t 3 + 1 −  t .66CДляопределениязначениякоэффициентанеобходимовоспользоваться изопериметрическим условием1J1 =  txdt = 0 .0 C + 1 −  t dt = 0 .6 0определенный интеграл с известными1C t  6 tВозьмеминтегрирования31пределами C 5 1 C  3 30 t + 3 1 − 6  t  = 0 . 0Приведем к единому знаменателю оба слагаемых в левой части16Ct 5 + (60 − 10C )t 3= 0.1800Умножим обе части уравнения на 180.16Ct 5 + (60 − 10C )t 3 = 0 .06C  1 + (60 − 10C )  1 − ( 6C  0 + (60 − 10C )  03 ) = 0 .5354C = 60 .C = 15.Подставим найденный коэффициент в уравнение траектории движенияи уравнение скорости15 15 x o (t ) = t 3 + 1 −  t ,6653x o (t ) = t 3 − t .22153x o (t ) = t 2 − .22График экстремали представлен на рисунке 1.Рис.

1. График экстремали x o (t )График оптимальной скорости движения представлен на рисунке 2.Рис. 2. График оптимальной скорости движения материальной точки x o (t )Под интегралом изопериметрического условия присутствует функцияf1 (t , x) = t  x .Определим ее описание3  535f1 (t , x) = t   t 3 − t  = t 4 − t 2 .2  222График функции f1 (t , x ) представлен на рисунке 3.Рис. 3. График функции f1 (t , x )На рисунке 3 площадь под кривой выше нуля равна площади под кривойниже нуля, в этом заключается геометрический смысл наложенногоизопериметрического условия.В соответствии с условием Лежандра, необходимо определить знаквторой частной производной Lxx .L  (2 x)Lxx = x == 2  0.xxТаким образом, движение по найденной экстремали и с полученнойоптимальной скоростью обеспечивает критерию эффективности экстремум вформе минимума.Определим значение критерия эффективности.2111 15 2 3  225 4 45 2 9 oo2J =  x dt =   t −  dt =  t − t +  dt =224240001159 45 − 30 + 9 24 43=  t5 − t3 + t  === 6.24 044 4.