Задача с подвижными концами (Лекции)

Задача с подвижными концамиПостановка задачи.Задача с подвижными концами отличается от простейшей вариационнойзадачи тем, что в явном виде неизвестны ни интервал времени t t0 , tk , никраевые условия x(t0 ) x0 , x(tk ) xk . Их необходимо установить в процессерешения задачи. Из дополнительных условий имеются условиепринадлежности левого конца траектории известной функции (t ) и условиепринадлжености правого конца траектории известной функции (t ) .Дан критерий эффективности в форме ЛагранжаtkF (t , x, x)dtJextr .t0Интервал времени t t0 , tk неизвестен.Краевые условия на левом и правом концах траектории неизвестныx(t0 ) x0 , x(tk ) xk .Заданы в явном виде функции (t ) и (t ) .Требуетсяопределитьоптимальнуютраекториюдвиженияматериальной точки, которая бы обеспечивала переход с функции (t ) нафункцию (t ) таким образом, чтобы функционал качества достигал своегоэкстремума, процесс перевода показан на рис.

1.x(t )(t0 )(t )x o (t ) − ?(tk )(t )t, c0Рис. 1. Экстремаль (красным цветом)в задаче с подвижными концамиДля решения поставленной задачи требуется сформироватьнеобходимое условие существования экстремума критерия эффективности(уравнение Эйлера):dFx − Fx = 0 .dtДляопределениянаправленияпоискаэкстремумаможновоспользоваться достаточными условиями Лежандра для простейшейвариационной задачи.Формируются условия трансверсальности для задачи с подвижнымиконцамиFx Fx0,t t0Fx Fx0.t tkДля этого необходимо определить производные функций (t ) и (t ) .Кроме того вводятся в рассмотрение условия принадлежности концовтраектории движения функциям (t ) и (t )x t0x tkt0 ,tk .Данная система уравнений решается совместно с уравнением Эйлера иусловиями трансверсальности в задаче с подвижными концами.

В результатеопределяется экстремаль x o (t ) , интервал времени t t0 , tk , краевые условияx(t0 )x0 , x(tk )xk и оптимальное значение критерия эффективности J o .Пример.Найти кратчайшее расстояние между функциями yx2 и yx5.Решение.Переобозначим функции на концах траектории движения системы всоответствии с введенными в теоретической части обозначениямиtt2, tt 5.В качестве критерия эффективности принимается длина кривой x(t )между левым (при t t0 ) и правым (при t tk ) концами тракторииtkJx 2 dt1min .t0Необходимое условие экстремума, уравнение Эйлера имеет видdFxdtFx0.Компоненты уравнения Эйлера равныFx 0 .2xFx2 1xx21xТогда уравнение Эйлера принимает вид0ddtx1x20.2.ddtx1x0.2После взятия неопределенного интеграла к полученному уравнению повремени можно получить следующее уравнениеx1xC.2(1.1)После возведения левой и правой частей в квадрат можно получитьследующее соотношениеx21 x2C2,откудаx2C2 1x2 ,x2 C 2 C 2 x2 ,x2 C 2 x2 C 2 ,x2 1 C 2C2 ,x2C2,C1 C21,C2xC1 .1 C2После взятия неопределенного интеграла можно получитьокончательное выражение для семейства экстремалейx(t ) C1t C2 .(1.2)Условия на краях траектории после подстановки в функции (t ) и (t )имеют видx(t0 )t02 ,x(tk )tk5.После подстановки в уравнение (1.2) времени ttk можно определитьзависимость коэффициента C2C1tk C2 tk 5 ,C2 (1 C1 ) tk 5 ,C2 5tk.1 C1После подстановки в уравнение (1.2) времени tзависимость t0C1t0C2t02 ,(1.3)t0 можно определитьt02C1 t0C20.(1.4)Условия трансверсальности для краевой задачи имеют видFx FxFx Fx0,t t00.t tkОтдельные компоненты условий трансверсальности имеют видd (t 2 )2t ,dtd (t 5)1,dt(t )(t )из (1.1)FxFC1x21x1x2,211 C1 C12 .После подстановки найденных ранее элементов данного уравненияможет быть получена следующая система1x22txx11x21 C12(2t0t t0x1 x11 C12x0,2xt tkC1C1 )(1 C1 )0.20,211 CC121(1.5)0.1 CИз второго уравнения системы (1.5) можно определить значениекоэффициента C11 C12после умножения на(1 C1 )C1211 C1 C12 обеих частей1 C12(1 C1 ) C11 C1 0 ,0,0,C11.(1.6)Из первого уравнения системы (1.5) можно найти следующиезависимости1 C12после умножения на(2t0C1C1 )210,1 C1 C12 обеих частей принимает вид1 C121 ( 1) 2(2t0 C1 ) C1 02t0 ( 1) ( 1) 0 ,1 2t0 0 ,1t0.2(1.7)Тогда из (1.4) с учетом (1.6) и (1.7) следуетt0212C1 t0C2212( 1)34C2C20,C20,0,3.4На основе (1.2) можно найти вид экстремалиx o (t )t3.4(1.8)Из (1.3) можно определить момент времени на правом конце участкатраектории экстремалиtkC2 51 C13451 ( 1)23.8Таким образом интервал времени в этом варианте равен tМожно рассчитать значение критерия эффективности1 23с.;2 8178Jo2381x o 2 dt2381 C12 dt122dt122238121219 283,36.Рисунок 2 иллюстрирует решение задачи.(t )x o (t )(t )Рис.

2. Решение задачи с подвижными концами.