7. Условный экстремум, страница 3
Описание файла
PDF-файл из архива "7. Условный экстремум", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "линейная алгебра и аналитическая геометрия" из 2 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГТУ им. Н.Э.Баумана. Не смотря на прямую связь этого архива с МГТУ им. Н.Э.Баумана, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "лекции и семинары", в предмете "линейная алгебра и фнп" в общих файлах.
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст 3 страницы из PDF
Используя четвертое или пятое уравнение, получаем два решения рассматриваемойсистемы:13x = y = z = 1, λ = − , µ = − ;4413x = y = z = −1, λ = , µ = .44Необходимые условия экстремума привели к двум точкам, подозрительным на экстремум.Исследуем эти точки, используя достаточные условия экстремума. Вычисляем дифференциалвторого порядка функции Лагранжа:ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓ69ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12Необходимые условия экстремума приводят к системе уравнений1 + 4λx = 0,2 + 2λy + 2µy = 0,1 − 2λz + 2µz = 0,2x2 + y 2 − z 2 = 2,y 2 + z 2 = 2.x=−ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 14. УСЛОВНЫЙЭКСТРЕМУМ14.4. Нахождение наибольшего и наименьшего значенийНапомним, что поиск наибольшего и наименьшего значений действительной функции одногодействительного переменного на заданном отрезке сводится к поиску всех критических точекфункции и к сравнению значений функции в критических точках и на концах отрезка.
Функция нескольких переменных, непрерывная на компактном множестве K, достигает на этомÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12Видно, что в первом случае второй дифференциал является отрицательно определенной квадратичной формой, а во втором — положительно определенной квадратичной формой. Этосвойство сохранится и на подпространстве H, которое в данном случае определяется уравнениями 2dx + dy − dz = 0, dy + dz = 0. Учитывая это, заключаем, что точка (1, 1, 1) являетсяточкой условного максимума, а точка (−1, −1, −1) — точкой условного минимума.ÌÃÒÓÌÃÒÓd2 L = dx2 + 2 dy 2 + dz 2 .ÌÃÒÓ(14.15)Чтобы проанализировать способы поиска точек x∗ и x∗ , рассмотрим некоторые частные случаи.Пример 14.6.
При n = 1 и K = [a, b] для поиска точек x∗ и x∗ можно поступить, как ужеотмечено, следующим образом:– в интервале (a, b) отобрать все критические точки функции f (x);– к критическим точкам добавить граничные точки a и b;– во всех отобранных точках вычислить значения функции f (x) и по этим значениям выделить те точки x∗ и x∗ , в которых значение функции является наименьшим наибольшим.Пример 14.7. В случае n = 2 рассмотрим функцию f (x, y), непрерывную на компакте K,который ограничен тремя кривыми g1 (x, y) = 0, g2 (x, y) = 0, g3 (x, y) = 0 (рис. 14.4). Будем считать, что функции gi (x, y), i = 1, 3, непрерывно дифференцируемы, а компакт K описываетсянеравенствамиg1 (x, y) > 0, g2 (x, y) > 0, g3 (x, y) > 0.yBg3(x, y) =0g2(x, y) =0ACOxРис.
14.4g2 (x, y) > 0, g3 (x, y) > 0;g1 (x, y) > 0, g3 (x, y) > 0;g1 (x, y) > 0, g2 (x, y) > 0;ÔÍ-12отбираем те, которые лежат на соответствующей дуге AC, BC, AB, т.е. удовлетворяют соответствующим неравенствам:ÌÃÒÓНаибольшее (наименьшее) значение функции может достигаться или во внутренней точкемножества K, или на одномерной границе (на одной из дуг AC, AB, BC), или в угловыхточках границы (A, B или C), являющихся точками пересечения дуг. Поэтому для поиска точекс наибольшим (наименьшим) значением функции можно действовать следующим образом:– находим все критические точки функции f (x, y), которые являются внутренними для компакта K (они удовлетворяют неравенствам g1 > 0, g2 > 0, g3 > 0);– среди точек, подозрительных на условный экстремум, в каждой из трех задач(((f (x, y) → extr,f (x, y) → extr,f (x, y) → extr,g1 = 0;g2 = 0;g3 = 0ÔÍ-12Kg1(x, y) =0ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓx ∈ K.ÔÍ-12ÔÍ-12f (x∗ ) 6 f (x) 6 f (x∗ ),ÌÃÒÓÌÃÒÓмножестве наибольшего и наименьшего значений, но определение точек множества K, в которых достигаются эти значения, — более сложная задача, так как компактное множество в Rnв отличие от отрезка числовой оси может иметь границу очень сложной структуры.
В такихситуациях исследовать поведение функции весьма непросто.Пусть функция нескольких переменных f (x) непрерывна на компактном множестве K ⊂ Rnи достигает своего наименьшего и наибольшего значений соответственно в точках x∗ ∈ K иx∗ ∈ K. Тогда выполняются неравенстваÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ70ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 14. УСЛОВНЫЙЭКСТРЕМУМÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ71– к указанным точкам добавляем точки A, B, C, являющиеся решениями систем уравненийg(x,y)>0,g(x,y)=0,11g1 (x, y) = 0,g2 (x, y) = 0,g2 (x, y) = 0,g2 (x, y) > 0,g (x, y) > 0;g (x, y) = 0;g (x, y) = 0;333– во всех отобранных точках вычисляем значения функции и по этим значениям выделяемдве точки x∗ и x∗ , в которых значение является соответственно наименьшим и наибольшим.ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12В общем случае при вычислении наименьшего и наибольшего значений функции f (x) n переменных на компактном множестве K, которое задано, например, m условиями gi (x) > 0,i = 1, m, задачу можно решать аналогично.
Отбираются точки в которых может достигатьсянаибольшее или наименьшее значение: а) среди внутренних точек множества K; б) на всех(n−k)-мерных частях границы (k = 1, n−1); в) все нульмерные элементы границы (такие, какточки A, B, C в примере 14.7). Отбор точек внутри K приводит к задаче на локальный экстремум, отбор точек на (n−k)-мерных частях границы приводит к задаче на условный локальныйэкстремум, как правило, с k уравнениями связи.
Затем во всех отобранных точках вычисляютсязначения функции и выбираются точки с наименьшим и наибольшим значением.Реализация предложенной схемы опирается на «геометрическое представление компакта K».В самом общем случае такая схема часто оказывается очень сложной и трудной в применении.В таких случаях более выгодными могут оказаться численные методы конечномерной оптимизации.ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 14. УСЛОВНЫЙЭКСТРЕМУМÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ОГЛАВЛЕНИЕ...... . .
. .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . ...............6262636669ÔÍ-12.....ÔÍ-12ÌÃÒÓ.....ÌÃÒÓÔÍ-12.....ÔÍ-12ÌÃÒÓ.....ÌÃÒÓÔÍ-12Лекция 14. Условный экстремум . . . . . . . . . . . . . . . . . .14.1. Общая постановка задачи . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . .14.2. Необходимое условие условного экстремума . . . . . . . . . .14.3. Достаточные условия условного экстремума . . . . . . . . .14.4. Нахождение наибольшего и наименьшего значений . . . . .ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ.