1625915935-6583c2172c4c3057de5b4dadc3aeb730 (Гутман - Нормированные пространства)

НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВАИ ОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫА. Е. Гутман∗Конспекты лекций для студентов 3-го курсамеханико-математического факультетаНовосибирского государственного университетаВерсия 1.00 (6 сентября 2010 г.)c 2008–2010 Гутман А. Е.∗Работа поддержана Фондом содействия отечественной науке.1§ 1. Векторные пространства1.1. ОпределениеАбелева группаПусть G — некоторое множество и + : G2 → G. Пара (G, +) называется абелевой(0)(1)(2)(3)группой ,еслиG 6= ∅;(∀ x, y, z ∈ G) (x + y) + z = x + (y + z);(∀ x, y ∈ G) x + y = y + x;(∀ x, y ∈ G)(∃ z ∈ G) y + z = x.В литературе встречаются и другие аксиоматики абелевой группы (эквивалентные приведеннойвыше).

Например, иногда вместо (3) вводится следующая аксиома:(30 ) (∃ z0 ∈ G) (∀ x ∈ G)(x + z0 = x) & (∀ x ∈ G)(∃ y ∈ G)(x + y = z0 ) .УпражнениеПусть выполнены условия (0), (1) и (2). Тогда условия (3) и (30 ) равносильны.Простейшими примерами абелевых групп служат одноэлементное множество {0} (с единственно возможной операцией 0 + 0 = 0) и множество {0, 1}, где 0 + 0 = 1 + 1 = 0 и 0 + 1 = 1 + 0 = 1.1.2. УпражнениеСвойства абелевых групп, сопутствующие термины и обозначенияПусть (G, +) — абелева группа.(1) (∀ x, y ∈ G)(∃! z ∈ G) y + z = x.Элемент z в утверждении (1) называется разностью элементов x и y (в группе G) и обозначаетсясимволом x − y .(2) (∃! z ∈ G)(∀ x ∈ G) x + z = x.Элемент z в утверждении (2) называетсянулем(группы G) и обозначается символом 0.(3) (∀ x ∈ G)(∃! y ∈ G) x + y = 0.Элемент y в утверждении (3) называетсязначается символом −x.(4) (∀ x, y ∈ G) x + (−y) = x − y ;(5) (∀ x ∈ G) −x = 0 − x.противоположнымк элементу x (в группе G) и обо-21.3.

Определение«Аддитивные» и «мультипликативные» термины и обозначенияИспользуемые термины и обозначения, связанные с абелевой группой, зависят от того, какимсимволом обозначена операция рассматриваемой группы.Введенные в разделе 1.2 термины и обозначения иногда называют «аддитивными». Они используются в том случае, когда операция абелевой группы обозначена символом + или каким-либоиным символом, похожим на сложение (например, ⊕ или ).Если же операция абелевой группы обозначена символом, похожим на умножение (например,·, ×, ∗, ◦) то используются «мультипликативные» термины и обозначения:(1) вместо «разность» говорят частное , а вместо x − y пишут x/y или xy ;(2) вместо «ноль» говорят единица , а вместо 0 пишут 1;(3) вместо «противоположный» говорят обратный , а вместо −x пишут x−1 (или 1/x, x1 ).1.4.Если операция обозначена символом ·, то вместо x · y обычно пишут xy .

Эта традиция распространяется и на случай символа ◦.ОпределениеПолеПусть F — некоторое множество, + : F 2 → F , · : F 2 → F . Тройка (F, +, ·) называется полем , если(1) (F, +) — абелева группа;(2) (F \{0}, ·) — абелева группа;(3) (∀ x, y, z ∈ F ) (x + y)z = xz + yz .В соответствии с традицией для группы (F, +) используют аддитивные термины и обозначения,а для группы (F \{0}, ·) — мультипликативные. В частности, возникают такие обозначения, какx − y , 0, −x, x/y , 1, x−1 и т.

п.Простейшим примером поля служит множество {0, 1}, снабженное следующими операциями:0 + 0 = 1 + 1 = 0, 0 + 1 = 1 + 0 = 1, 0 · 0 = 0 · 1 = 1 · 0 = 0, 1 · 1 = 1.УпражнениеПусть (F, +, ·) — поле. Тогда для всех x ∈ F справедливы равенства 0x = 0, (−1)x = −x.1.5. Обозначение1.6.Соглашение о сокращениях и обозначениях по умолчаниюВместо «(F, +, ·) — поле» обычно говорят просто «F — поле» и по умолчанию обозначают операции поля символами + и ·.

Изредка (например, чтобы устранить возможную двусмысленность)символы операций и другие сопутствующие обозначения снабжают соответствующим индексом: +F , ·F , 0F , 1F и т. п. Аналогичные соглашения принимаются и для других алгебраическихсистем (например, для векторных пространств, о которых пойдет речь ниже).ОбозначениеКлассические числовые поля, символ FВ дальнейшем мы будем иметь дело с тремя классическими числовыми полями — полем Qрациональных чисел, полем R вещественных чисел и полем C комплексных чисел.Сразу отметим, что комплексную мнимую единицу мы будем в дальнейшем обозначать символом i, отличая его от обычной буквы i, часто используемой в роли индекса.Поскольку многие утверждения справедливы как для R, так и для C, ради экономии вводится единый символ F, обозначающий любое из этих двух полей.

Разумеется, значение символа F фиксируется на протяжении логически замкнутого фрагмента рассуждений. Например,различные вхождения символа F в формулировку утверждения и его доказательство всюдунаделяются одним и тем же значением (т. е. либо всюду F = R, либо всюду F = C).31.7. ОпределениеВекторное пространствоПусть X — произвольное множество, F — поле, + : X 2 → X , · : F ×X → X . Четверка (X, F, +, ·)называется векторным (или линейным ) пространством над полем F , если(1)(2)(3)(4)(5)(X, +) — абелева группа;(∀ α, β ∈ F )(∀ x ∈ X) α(βx) = (αβ)x;(∀ x ∈ X) 1x = x;(∀ α, β ∈ F )(∀ x ∈ X) (α + β)x = αx + βx;(∀ α ∈ F )(∀ x, y ∈ X) α(x + y) = αx + αy .Для краткости вместо (X, F, +, ·) мы будем писать просто X . При этом символы + и · вводятсяпо умолчанию, как и возможные уточняющие обозначения 0X , 0F , +X и т.

п. (ср. 1.5). Функции+ и · обычно называют линейными операциями (хотя, строго говоря, функция · не являетсяоперацией в X ).Векторные пространства над R часто называютнад C — комплексными .вещественными ,а векторные пространстваРассматривая какое-либо векторное пространство X над полем F , элементы X по традицииназывают векторами , а элементы F — скалярами .Для α ∈ F \{0} и x ∈ X вместо1.8.

Упражнение1xαчасто пишут x/α илиСвойства векторных пространствx.αПусть X — векторное пространство над полем F . Тогда(1) (∀ x ∈ X) 0x = 0 (точнее, 0F · x = 0X );(2) (∀ α ∈ F ) α0 = 0 (точнее, α · 0X = 0X );(3) если α ∈ F , x ∈ X и αx = 0, то α = 0 или x = 0;(4) (∀ x ∈ X) (−1)x = −x.Проверьте гипотезу :(5) если x ∈ X и x = −x, то x = 0.1.9.

ОпределениеНулевое векторное пространствоВекторное пространство (над произвольным полем F ), состоящее из одного элемента, называется нулевым . По традиции единственный элемент такого пространства обозначается символом 0.Таким образом, X = {0} — нулевое векторное пространство над F . Часто вместо X = {0} пишут X = 0, но мы не будем использовать такую запись. Говорят, что векторное пространство Xявляется ненулевым и пишут X 6= {0} (или X 6= 0), если X не является нулевым.1.10. ОпределениеПоле как векторное пространствоЕсли F = (F, +, ·) — поле, то четверка (F, F, +, ·) является векторным пространством над F .Приведенное выше очевидное наблюдение можно неформально прочитать следующим образом:«всякое поле является векторным пространством над самим собой».В частности, Q, R и C являются векторными пространствами (над полями Q, R и C соответственно).41.11.

ОпределениеКонечная степень векторного пространстваПусть X — векторное пространство над полем F и n ∈ N (здесь и ниже N = {1, 2, . . . } — множество натуральных чисел). Рассмотрим степень X n = {(x1 , . . . , xn ) : x1 , . . . , xn ∈ X} и снабдимее покоординатными операциями сложения и умножения на элементы F :(x1 , .

. . , xn ) + (y1 , . . . , yn ) := (x1 + y1 , . . . , xn + yn ),α(x1 , . . . , xn ) := (αx1 , . . . , αxn ).Как легко видеть, четверка (X n , F, +, ·) является векторным пространством над F . Это векторное пространство называется n -й степенью векторного пространства X и по традицииобозначается символом X n . В частности, в наше распоряжение поступают классические векторные пространства Rn и Cn (над R и C соответственно).Для полноты картины следует определить и нулевую степень X 0 векторного пространства X .Формальные соображения (которые мы здесь опускаем) и практический опыт подсказывают,что удобнее всего положить X 0 равным нулевому векторному пространству: X 0 := {0}.

(Выборэлемента 0 в последнем множестве принципиальной роли не играет.)1.12. ОпределениеОвеществление векторного пространстваС формальной точки зрения C не является векторным пространством над R, но его легко «превратить» в векторное пространство над R, оставив множество векторов неизменным (т. е. равным C) и разрешив умножать векторы только на вещественные скаляры. Формально эта процедура означает рассмотрение вместо (C, C, +, ·) четверки (C, R, +, ·|R×C ), которая, как легковидеть, является векторным пространством над R. Это векторное пространство называетсяовеществлением C и обозначается символом CR .Аналогичным образом определяется овеществление любого комплексного векторного пространства: если X = (X, C, +, ·) — векторное пространство над C, то вещественное векторное пространство XR := (X, R, +, ·|R×X ) называется овеществлением пространства X .1.13. ОпределениеИзоморфизм векторных пространствПусть X и Y — векторные пространства над полем F и ϕ : X → Y .

Говорят, что ϕ является изоморфизмом X на Y (а точнее, изоморфизмом категории векторных пространств илилинейным изоморфизмом ), если(1) отображение ϕ : X → Y инъективно;(2) отображение ϕ : X → Y сюръективно;(3) (∀ x1 , x2 ∈ X) ϕ(x1 + x2 ) = ϕ(x1 ) + ϕ(x2 );(4) (∀ α ∈ F )(∀ x ∈ X) ϕ(αx) = αϕ(x).Тот факт, что ϕ является изоморфизмом X на Y категории векторных пространств, мы будемкратко записывать формулой ϕ : X ↔Y.ВП1.14. УпражнениеСвойства изоморфизма векторных пространствПусть X и Y — векторные пространства над полем F и ϕ : X → Y .(1) Если ϕ : X ↔Y , то ϕ−1 : Y ↔X.ВПВП(2) Если ϕ : X ↔Y , то ϕ(0) = 0.ВП(3) Если ϕ : X ↔Y,то(∀x∈X)ϕ(x)=0⇒x=0.ВП(4) Пусть ϕ обладает свойствами 1.13 (2)–(4) и пусть (∀ x ∈ X) ϕ(x) = 0 ⇒ x = 0 .Тогда ϕ : X ↔Y.ВП51.15.

ОпределениеИзоморфные векторные пространстваПусть X и Y — векторные пространства над полем F . Говорят, что X и Y изоморфны (а точнее,изоморфны в категории векторных пространств или линейно изоморфны ), если существуетизоморфизм X на Y категории векторных пространств. В этом случае мы будем писать X ↔Y.ВПКак легко видеть, изоморфность обладает свойствами отношения эквивалентности, а именно,для любых векторных пространств X , Y , Z над полем F справедливо следующее:(1) X ↔X;ВП(2) если X ↔Y , то Y ↔X;ВПВП(3) если X ↔Y иY ↔Z , то X ↔Z.ВПВПВПУпражнениеКакие из векторных пространств R, R2 , CR , C2R изоморфны друг другу?1.16. ОпределениеФункции и семействаВ дальнейшем символом ⊂ обозначается отношение нестрогого включения множеств, т.