1625914693-46659925ad530aedde66464ba2de99e8 (Ревуженко - Механика сплошной среды. Упругое тело), страница 12

Для этого мы вначале поднимем массуна высоту Я. (Этим мы придадим массе потенциальную энергиюМ§Н, § — ускорение свободного падения). Подведем массу к вер­шине колонны и будем постепенно уменьшать удерживающие уси­лия со стороны подъемника. В результате вершина колонны вместес массой начнут смещаться вниз. При этом колонна будет брать насебя все большую часть веса М§. В конце концов усилие на подъ­емнике станет равным нулю, и подъемник можно будет удалить.К этому моменту весь вес М§ будет восприниматься колонной.( )бозначим через и смещение вершины колонны. Задача состоити том, чтобы найти это смещение, располагая всеми необходимымиданными о самой колонне.

Пусть Е — модуль Юнга материала, 5 —площадь поперечного сечения колонны. Предположим, что смеще­нием фундамента можно пренебречь. Кроме того, предположим,что достаточно ограничиться приближением одноосно сжатогостержня (рис. 5.2). Заметим, что в данной задаче в качестве неиз­вестной выступает скалярная величина и(А).

Первое решение задачина языке /'(х) = 0 получается сразу из закона Гука и условия рав­новесия массы М:Значит,( 1)Мо/////////// / / ) /ίП'ГГ ?7 / / / / / / / /Рис. 5.2Попробуем теперь поставить задачу на языке «Р(х) —>гшп». Дляфункции Р(и) можно предложить сколько угодно вариантов. Какойиз них выбрать?Общая установка прикладной математики и механики состоитв том, что к большему успеху приводит модель, которая являетсяболее адекватной реальному процессу.

Такая формулировка являетсядовольно расплывчатой. Но другой (в смысле расплывчатости) онабыть и не может. Именно поэтому процесс построения любой доста­точной богатой теории не сводится только к реализации некоторыхшагов по известным дедуктивным или иным правилам, а в значи­тельной мере является искусством.Итак, какую функцию Р(и) следует выбрать? Указанная вышеустановка означает, что нужно остановиться на функции, котораяимела бы определенный механический смысл. Рассмотрим в каче­стве кандидата на Р(и) потенциальную энергию системы «тяжелоетело - колонна». При любых смещениях и потенциальная энергиятела равнаПк = М§ (Н - и).Далее, для того чтобы сжать колонну на величину и, необходимо.затратить определенную работу А.

Эта работа перейдет в потенци-.альную энергию самой колонны. Ясно, что*. 1 ΕΞ 2А = ------ и .2 /Отсюда общая потенциальная энергия системы «тяжелое тело колонна» равнат з -------1 Е5 и22 + М §(Н - и ) .11{и)2 186(2)Величина и здесь может быть любой (разумной, конечно). Приразных и (в том числе и > 0 , и < 0) будем получать различные зна­чения Щи). Из всех значений смещений выделяется только одно,которое доставляет минимум функции П(и):дП0, и М§ — .ΞΕдиЗначение и совпало с (1) и поэтому можно положить Р(и) = Щи).Теперь задача ставится так: найти смещение и, которое доставляетминимум полной потенциальной энергии системы «деформируемоетело (колонна) - внешнее нагружающее тело (тяжелая масса)».В заключение вернемся к выражению для полной потенциальнойэнергии (2). Ясно, что слагаемое М§Н никакой роли не играет, ипоэтому его можно отбросить.

Величину М§ можно заменить силойР = М§. Таким образом, вместо (2) можно записать1 РЧП (и) = ------ и2 - Р и .(3)2 1Данный пример приведен с двумя целями. Первая цель — пока­зать, что в выражении для потенциальной энергии должно стоятьпроизведение именно конечного значения силы на конечное значе­ние перемещения; причем со знаком «минус» и без коэффициента1/2. Вторая цель следующая. Из данного примера ясно видно, чтовыражение (3) (и аналогичные выражения для общего случая) —это не есть потенциальная энергия тела (как об этом пишется вомногих руководствах, например в [2]), а потенциальная энергияименно системы «деформируемое тело - внешнее нагружающееустройство».Перейдем теперь к общему случаю.

Пусть некоторое упругое те­ло V продеформировано и в нем установилось определенное рас­пределение деформаций, напряжений и перемещений. Эту инфор­мацию также можно сообщить разными способами. Например,можно сообщить упругие уравнения и соответствующие краевыеусловия.

Однако можно найти и альтернативные способы типа«Р(х) —у т т » . Здесь задаются не уравнения, а некоторая «функция»,зависящая от распределения упругих полей. Сами поля находятсяиз условий минимальности (точнее, стационарности) упомянутой«функции». Такие альтернативные способы представляют большой87интерес не только в теории упругости, но и в других науках.

Этаобширная область исследований называется вариационным исчис­лением. Она дает не только мощные методы решения конкретныхзадач, но и приводит к результатам принципиально нового уров­ня — к вариационным принципам. Вариационные принципы стоятвыше, чем те или иные конкретные законы.Зарождение вариационного исчисления связано с именем Иоган­на Бернулли, который поставил следующую задачу (задачу о брахи­стохроне 1696 г.). Найти форму гладкого желоба, соединяющеготочки А и В, так, чтобы тело, двигаясь по желобу под действиемсобственного веса, затратило на преодоление пути АВ наименьшеевремя. В этой задаче каждой функции (траектории движения) ста­вится в соответствие скаляр — время движения от А до В.

Такогорода зависимости называются функционалами. Задача состоит втом, чтобы найти функцию, доставляющую функционалу наимень­шее значение.Оказывается, что и для задач теории упругости можно найти по­добные формулировки, иными словами, можно найти функциона­лы, которые достигают минимума именно на упругих решениях.Перейдем к их построению.Вначале введем одну формулу, которая в настоящей главе будетиграть роль справочной. Пусть в области V, ограниченной поверх­ностью 5, задана функция и(х\,х2, хъ) (либо, если угодно, задано по­ле и(х\, Х2 , *з))· Образуем интегральный функционал./[и{х[, х 2,х })] = ^Ц, (и (х], х 2, х 3) ; ~ ,^ил|(IV.с ул2кУЛ^^При заданном поле и(дг,, х3, х3) подынтегральное выражениепредставляет собой известную функцию координат, а интеграл от нее— вполне определенное число.

Как обычно, предположим, что всефункции являются достаточно гладкими и все интегралы существуют.Сравним значение функционала для двух аргументов м(х,, х 2, х 3)и и + &р(х;, х 2, х}). Здесь φ — любая достаточно гладкая функция сравномерно ограниченными производными, ε — малое число. Оноуказывает на то, что сама функция εφ мала, и, кроме того, малы всечастные производные. В литературе физико-математического про­филя вместо εφ принято писать д и :ди = εφ(χ{, х2, х3) .Через δ.Ι обозначим линейную по ди часть приращения функ­ционала δ:Введем сокращенные обозначенияТогдаВоспользуемся формулой произведениядх,дх.,а также формулой Гаусса — Остроградского.

В результате получимΨ -ах,дх2дх} удидУ +(4)5Здесь, как и прежде, и =п3} — внешняя нормаль к границеобласти V.Обсудим полученную формулу. Предположим, что нам стало из­вестно, что на конкретной функции и = и°(х1,х2,х3) функционал Ψдостигает минимума. Это означает, что на других значенияхи - и0 + ди значения Ψ будут больше, чем на и = и0. Важным явля­ется вопрос: на каких именно других функциях и° + ди7 Инымисловами, это вопрос о допустимых вариациях ди в равенстве (4).89Предположим, что на вариации δ и внутри области V никаких огра­ничений не наложено. Тогда по известной теореме анализа из (6)следует, что в области V должно выполняться уравнение6и\ Ψ..,дх,5Ψ.11,2дх.5Ψ.0,3дх,=0.(5)Если нет ограничений на вариации δ и и на поверхности 5, то наповерхности 5 должно выполняться равенство8 и \Ψ..ι · «ι + ψ„,2 · « 2+ Ψ.3 · «з. = 0 ·(6)Пусть теперь на части поверхности 8и функция и задана.

Следо­вательно, на 8и вариации δ и недопустимы. То естьы = м°|5 ; <^м|5 = 0 .(7)Поэтому на 8и второй интеграл (4) будет равен нулю в силу (7). Наостальной части поверхности он равен нулю в силу (6). Таким обра­зом, теперь краевое условие имеет вид (7) на 8и и вид (6) на 5 / 8и.Таким образом, из вариационного принципа У —ншп последовалоне только уравнение (5), но и краевые условия (6), (7).Краевые условия, которые следуют из вариационного принципа,называются естественными.Перейдем теперь к вариационным принципам теории упругости.§ 5.2. Принцип минимума полной потенциальной энергииПусть функционал зависит от трех компонент поля перемеще­ний:ди] ди, ди, ди2 ди2 ди2 диъ диъ диъ 'ά ν .

(8)дх, ’ дх2 ’ дхг ’ дх, ’ <3х2 ’ дх, ’ дх, ’ дх2 ’ дх, уварьируя и], и2, и3, получим три уравнения типа (5):__ ψ + _ ψ + ___Ψ _ ψЭх, 4,1 Эх, “ь2 Эх, ""3=о’— Ψ//т,3 -ψ „ = ο ,дх,ас.ас,ор^— Ψ, , + — Ψ„ , + — Ψ...,- Ψ,. 0 .ас, з' ас,ас. "3.3Х2(9 )|^ Л 3Уравнения(9)называютсяуравнениямиЭйлера —Остроградского. Мы хотели бы подобрать функцию Ψ такую,чтобы уравнения (9) совпали с уравнениями теории упругости Ла­ме. Запишем уравнения Ламе в их исходной форме, т. е. до выделе­ния операторов Лапласа:э( ди.1 ди, ди._ Эг/,+ —^ + — 1 + 2 п — ί- +λЭх,Эх2 Эхз ;Эх,да..Гди,Лк дхи + -да^+ * ,= 0 ,дх,Эх,Эа,,Эсг„Эс7тЭх,Эх,Эх,+( 10)х 2= о,д а ,, д а 23 д а■+ ■+ ■ 33 + Х3 = 0.Эх,Эх,Эх.Здесь компоненты объемной силы переобозначены как X , , X ,, Х 3.Следует подчеркнуть, что в системе (10) фигурируют только пе­ременные и,, и,, г/3.

Переменные а :] не фигурируют. Через а у здесьобозначены известные линейные комбинации производных Эм, /Эх( .Сравним свободные члены в (9) и (10). Для их совпадения должнобытьНет необходимости рассматривать экзотические случаи, когдаобъемные силы зависят от смещений. Достаточно ограничиться са­мым простым случаем, когда эти силы постоянны (например, дей­ствует сила тяжести). ТогдаΨ = -Α > , - Х 2и 2- Х ъиъ +....(11)Для совпадения первых слагаемых в первых уравнениях (9), (10)должно быть:Гди Лди,ди._ ди,6Ψ= Л — 1 + — 1 + — I + 2μ — - ■σ„к дхидх.дх,Ч θχ, ^(Э3х, /ди, ,Далее, в уравнениях (10) во втором слагаемом первого уравнения ив первом слагаемом второго уравнения под знаком производнойстоит одна и та же функция. Поэтому в системе (9) должно быть5Ψ5Ψдих2 ди21Следовательно, функция Ψ в (8) от переменныхможет,<Эх, дх]зависеть только через их сумму (или полусумму ε η ). Следовательно,6Ψί дих=Мда.к дх2ди2 ^= сг,12·дх.1/Аналогичны результат будет и для ε χι, ε 23.Таким образом, мы видим, что структура уравнений равновесиядитребует, чтобы функция Ψ зависела не от девяти аргументов ——,6'Х;а только от шести аргументов:Е '’~ди, ^1 Г ди— ^ + —2 ^ дх.