1625913083-a0ecf492c20bbb43d8038d2ed0c79acf (Аюпова 2012 - Лекции по векторному и тензорному анализу)

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФНОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТФизический факультетКафедра высшей математикиАЮПОВА Н.Б.ЛЕКЦИИ ПО ВЕКТОРНОМУ И ТЕНЗОРНОМУ АНАЛИЗУ(Курс лекций)Новосибирск2012Аюпова Н.Б. Лекции по векторному и тензорному анализу/Новосиб.гос.ун-т, Новосибирск,2012. 94 с.Учебное пособие соответствует программе курса "Векторный и тензорный анализ" ипредставляет собой изложение курса лекций.

Пособие содержит основные сведения. по следующимразделам: ортогональные тензоры, тензорная алгебра, тензорные поля и понятие ковариантнойпроизводной. В заключение приведены основные сведения теории поверхностей.Предназначено для студентов физического и геолого-геофизического факультетов НГУ.Рецензент к.ф-м.н., доцент каф. высшей математики ФФ А.И.ЧерныхКурс лекций подготовлен в рамках реализации Программы развитияНИУ-НГУ на 2009–2018 г.г. Новосибирский государственныйуниверситет, 2012Аюпова Н.Б., 201211.1Ортогональные тензоры в геометрии имеханикеВекторы.Рассматрим прямоугольную декартову систему координат. Пусть e1 ,e2 , e3 — орты, положенные в основу нашей координатной системы.Составим скалярные произведения ортов:0, i 6= jei ej = δij =1, i = jПусть x — произвольный вектор, отложенный для определенности изначала координат O.

Координаты вектора x можем определить каккоэффициенты разложенияx = x1 e1 +x2 e2 +x3 e3 ,xi — проекции вектора x на оси, x1 = x e1 , x2 = x e2 , x3 = x e3 .Здесь проекции записаны в виде скалярных произведений вектора xна соответствующие орты.Вектор x выражает какой-либо физический объект, например, параллельный сдвиг твердого тела, силу, скорость в данной точке и т.п.Этот объект существует независимо от координатной системы но нашспособ задания зависит от координатной системы.Между тем, координатные оси можно выбирать с большим произволом, их можно подвергать различным преобразованиям: произвольным параллельным сдвигам и поворотам вокруг начала O.Таким образом, способ задания векторов x координатами x1 , x2 ,x3 зависит от координатной системы.

Т.е. на картину изучаемых нами векторов накладывается, вообще говоря, случайный выбор координатной системы и изучаемая картина усложняется излишними подробностями. Основная задача тензорного исчисления - разобратьсяв создавшемся положении, научиться выделять то существенное, чтоотносится к самим изучаемым объектам, и отбрасывать то случайное,что привнесено произвольным выбором координатной системы.Для этого надо выяснить, как меняются координаты неизменного вектора x вследствие перехода от одной координатной системы кдругим.В дальнейшем будем рассматривать лишь поворот осей (включаязеркальное отображение) вокруг неподвижного начала O.3Пусть при неподвижном начале координат из старого базиса{e1 , e2 , e3 } переходим в новый {e′1 , e′2 , e′3 }.

Выразим новые орты вразложении по старымe′1 = A11 e1 +A12 e2 +A13 e3 ,e′2 = A21 e1 +A22 e2 +A23 e3 ,e′3 = A31 e1 +A32 e2 +A33 e3 .(1)Из этих соотношений видно, что коэффициентAij = e′i ej ,i, j = 1, 2, 3(2)совпадает со скалярным произведением e′i ej .Замечание.Матрица поворота Aij представляет собой это матрицуа косинусовcos(x′i , xj )Aij = cos(x′i , xj )Теперь выразим старые орты через новыеe1 = A′11 e′1 +A′12 e′2 +A′13 e′3 ,e2 = A′21 e′1 +A′22 e′2 +A′23 e′3 ,e3 = A′31 e′1 +A′32 e′2 +A′33 e′3 .(3)Аналогично предыдущему получимA′ij = ei e′j ,i, j = 1, 2, 3.(4)Сравнивая (2) и (4), получим, чтоAij = A′ji .(5)т.е.

kAij k и kA′ij k взаимно транспонированные. Но, кроме того, они ивзаимно обратные, так как определяют взаимно обратные преобразования (1) и (3).Итак, чтобы получить матрицу, обратную kAij k, достаточно еетранспонировать. Матрицы с этим свойством называются ортогональными. То, что матрицы kAij k и kA′ij k взаимно обратные, можно записать в виде равенства их произведения единичной матрицеX0, j 6= k,′Ajs Ask = δjk =1, j = ks4или, согласно (5),XAjs Aks = δjk .sОртогональная матрица имеет определитель ±1.det kAij k = ±1Положительный знак означает, что новый ортогональный репер имеетту же ориентацию, что и старый, а отрицательный — что ориентациярепера меняется на обратную.Теперь посмотрим, как будут меняться координаты при поворотеосей Найдем координаты вектора в старой координатной системеxi = x ei ,и, аналогично, в новой.x′i = x e′iУмножая скалярно на x равенства (3) и пользуясь последними формулами получаемx′1= A11 x1 + A12 x2 + A13 x3x′2x′3= A21 x1 + A22 x2 + A23 x3= A31 x1 + A32 x2 + A33 x3Другими словами, при повороте осей координаты каждого данноговектора подвергаются тому же ортогональному преобразованию, чтои орты.Xe′k =Aki ei(6)ix′k=XAki xi(7)iПреобразования, обратные (6) и (7) запишутся следующим образом:XXei =A′ik e′k =Aki e′k(8)XX(9)Aki x′kxi =A′ik x′k =Будем говорить, что нам дан вектор или тензор валентности 1или ранга 1, если для каждой из координатных систем нам даны тризанумерованных числа, преобразующихся по закону (7).51.2Двухвалентные тензоры.Возьмем два вектора x = (x1 , x2 , x3 ) и y = (y1 , y2 , y3 ).

и обозначимчерез aij всевозможные произведенияaij = xi yj .При повороте осей получим, согласно (7),Xx′p =Api xiiи аналогичноyq′ =XAqi xjjПеремножая эти два равенства почленно, получимXXx′p yq′ =Api Aqj xi yjiа значитa′pq =jXApi Aqj aij .(10)iБудем говорить, что нам дан тензор валентности два, если в каждойиз координатных систем нам заданы девять чисел, занумерованныхдвумя индексами aij , i, j = 1, 2, 3, и преобразующиеся при поворотекоординатных осей по закону (10).В дальнейшем будем опускать знак суммы, предполагая, что суммирование производится по повторяющимся индексам.Определим операции умножения вектора на тензор и тензора навектор.Пусть дан тензор P с элементами Pij и вектор a = (a1 , a2 , a3 )Под скалярным произведением тензора P на вектор a справа будемпонимать новый вектор b = P a, полученный по формулеbi = Pij ajПод скалярным произведением P на вектор a справа будем пониматьновый вектор c = a P , полученный по формулеcj = ai Pij6Пусть даны два тензора P и Q с элементами Pij и Qij соответственно.Скалярным произведением тензоров P и Q будем называть тензор Sс элементами SijSij = Pik QkjТензор δij можно рассматривать как тензор подстановки индекса:xi = δij xj .1.3Многовалентные тензоры.

Тензорная алгебра.По аналогии с двухвалентным тензором можно ввести понятие о тензоре любой валентности.Дан тензор валентности m, если для любой координатной системы даны 3m чисел ai1 i2 ...im занумерованных m индексов i1 i2 . . . im =1, 2, 3, которые в записи отличаются друг от друга 1-м, 2-м,..., m-мместом записи при букве a, и которые при повороте координатнойсистемы преобразуются по законуa′p1 ...pm = Ap1 i1 Ap2 i2 . . . Apm im ai1 ...im(11)Операции над тензорами1) сложение тензоров одинаковой валентности: пусть ai1 ...im иbi1 ...im — два тензора одинаковой валентности.Составим в каждой координатной системе числа ci1 ...im путем сложения соответствующих координат наших тензоровci1 ...im = ai1 ...im + bi1 ...im(12)Эти числа тоже являются компонентами тензоров.

В самом деле, длятензоров ai1 ...im и bi1 ...im по (11) имеет местоa′p1 ...pm = Ap1 i1 Ap2 i2 . . . Apm im ai1 ...imb′p1 ...pm = Ap1 i1 Ap2 i2 . . . Apm im bi1 ...imСкладываем эти равенства почленноc′i1 ...im = Ap1 i1 Ap2 i2 . . . Apm im ai1 ...im + Ap1 i1 Ap2 i2 . . . Apm im bi1 ...imи пользуемся формулой (12),c′i1 ...im = Ap1 i1 Ap2 i2 . . . Apm im ci1 ...im .7ci1 ...im Таким образом доказан тензорный закон преобразования компонент2) тензорное умножение ⊗C =A⊗BКаждая компонента тензора A умножается на каждую компонентутензора B. Ранг получившегося тензора равен сумме рангов исходных.Рассмотрим пример. Пусть размерность пространства равна 2.Тензор A — тензор второго ранга, тензор B — первого ранга. Вычислим компоненты тензора C = A ⊗ B;C111 = A11 B1 ,C112 = A11 B2 ,C121 = A12 B1 ,C122 = A12 B2 ,C211 = A21 B1 ,C212 = A21 B2 ,C221 = A22 B1 ,C222 = A22 B2 .3) Свертывания тензоровak = akiia′pqr = Api Aqj Ark aijka′p = a′pss = Api Asj Ask aijkAsj Ask = δjka′p = Api δjk aijka′p = Api aijj = Api aiРанг тензора понижается на 2Можно рассматривать скалярное произведение тензора на вектори вектора на тензор как свертку.4) Подстановка индексаbjki = aijkВернемся к случаю двухвалентных тензоров.Главные оси тензора.Пустьb=PaЕсли b коллинеарен a, то a —главное направление тензора.

Если приэтом b = λ a, то λ — главное значение, величина λ показывет во8сколько раз тензор увеличивает векторы, направленные по главнымосям тензора.Рассмотрим уравнениеP a = λaи составим характеристический многочленλ3 − λ2 (p11 + p22 + p33 )+ pp32 p11++λ 22p23 p33 p13 p31 p11+p33 p12 p11p21 − p21p22p31, его корни не зависят от координатной системы,pI2 = 22p23p12p22p32p13 p23 = 0p33 I1 = p11 + p22 + p33 = λ1 + λ2 + λ3 , p32 p11 p31 p11 p21 = λ1 λ2 + λ1 λ3 + λ2 λ3 ,++p33 p13 p33 p12 p22 p11 p12 p13 I3 = p21 p22 p23 = λ1 λ2 λ3 .p31 p32 p33 I1 , I2 , I3 — инварианты тензора1.4Симметричные и кососимметрические тензорыТензор называется симметричным, если значение компонент этоготензора не меняется при перестановке двух любых индексов этого тензора.Тензор называется кососимметрическим, если при транспозиции(перестановке) любых двух индексов у любой координаты, он меняетзнак.Для двухвалентного кососимметрического тензора:cij = −cjicii = −cii =⇒ cii = 0Докажем теорему о свойствах симметричного тензораКритерий симметричности.