bilety_po_matanu 1 курс 1 семестр (Билеты по матану)

Московский государственный технический университет им. Н.Э. БауманаФакультет ФН. Кафедра «Высшая математика»Экзаменационный билет № 1 по курсу:«МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ»МТ, РК, Э-5, 1 курс, 1-й семестрМодуль 1: Элементарные функции и пределы1. Числовая последовательность.

Определение предела последовательности, его геометрическая интерпретация. Сходящиеся последовательности. Основные свойства предела последовательности.Доказать необходимое условие сходимости последовательности.Определение числа «е» (5 баллов).2. Дать определение непрерывности функции на отрезке и сформулировать свойства функции, непрерывной на отрезке. (3 балла).3. Найти точки разрыва функции и сделать геометрическую интерпретацию вблизи точек разрыва (4 балла):xf ( x ) = 22 − 8x − 3xМодуль 2: Дифференциальное исчислениефункций одной переменной4. Сформулировать правило Лопиталя – Бернулли. Примеры. Доказать теорему о сравнении роста показательной, степенной и логарифмической функций при x → +∞ .

(5 баллов)5. Разложить функцию f ( x ) = x + 3 в точке x0 = 1 по формулеТейлора порядка 4 с остаточным членом в форме Пеано (3 балла)6. Исследовать функцию и построить её график (6 баллов)y=2x − 12 x27. Дополнительные вопросы (по программе): (4 балла)Билет рассмотрен и утвержден на заседании кафедры 25.11.2015 г.Зав. кафедрой «Высшая математика»Н.И. СидняевМосковский государственный технический университет им. Н.Э. БауманаФакультет ФН.

Кафедра «Высшая математика»Экзаменационный билет № 2 по курсу:«МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ»МТ, РК, Э-5, 1 курс, 1-й семестрМодуль 1: Элементарные функции и пределы1. Общее определение предела функции по Коши при произвольном стремлении аргумента. Расшифровка определения и геометрическая интерпретация предела для случаев: x → a − , x → ∞ .

Доказать локальную ограниченность функции, имеющей конечный предел и сформулировать теорему о замене переменной в пределе(5 баллов).nn +12. Найти предел последовательности lim 5 ⋅ 2n + 3n + 2 . (3 балла).n →∞ 2 ⋅ 3 + 2arcsin( 1x )3. Сравнить при x → +∞ функции f ( x ) =иx +1g ( x ) = x + 3 − x . (4 балла)Модуль 2: Дифференциальное исчислениефункций одной переменной4. Определение экстремума функции. Доказать теорему Ферма(необходимое условие экстремума). Определение критической истационарной точек функции. Сформулировать достаточное условие экстремума (4 балла).5. Сформулировать теорему о представлении функции по формулеТейлора с остаточным членом в форме Пеано.

Разложить функциюln(1 + x) по формуле Маклорена порядка n (4 балла).6. Исследовать функцию и построить её график (6 баллов)2y = 22 x − 6 .x + 2x + 17. Дополнительные вопросы (по программе): (4 балла)Билет рассмотрен и утвержден на заседании кафедры 25.11.2015 г.Зав. кафедрой «Высшая математика»Н.И. СидняевМосковский государственный технический университет им. Н.Э. БауманаФакультет ФН. Кафедра «Высшая математика»Московский государственный технический университет им.

Н.Э. БауманаФакультет ФН. Кафедра «Высшая математика»Экзаменационный билет № 3 по курсу:«МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ»МТ, РК, Э-5, 1 курс, 1-й семестрМодуль 1: Элементарные функции и пределы1. Общее определение предела функции по Коши при произвольномстремлении аргумента. Расшифровка определения и геометрическаяинтерпретация предела для случаев: x → a + , x → +∞ . Сформулировать теоремы о локальных свойствах предела функции: (а) о локальной ограниченности функции, имеющей предел; (б) о локальнойзнакоопределенности функции, имеющей предел, отличный от нуля(о сохранении функцией знака своего предела). Доказать одну изних (5 баллов).2.

Дать определение эквивалентности двух функций при данномстремлении. В качестве примера, из первого замечательного пределавывести эквивалентности (при x → 0 ) для функций tg x и 1 − cos x(3 балла).Экзаменационный билет № 4 по курсу:«МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ»МТ, РК, Э-5, 1 курс, 1-й семестрМодуль 1: Элементарные функции и пределы1. Общее определение предела функции по Коши при произвольномстремлении аргумента. Расшифровка определения и геометрическаяинтерпретация предела для случаев: x → a , x → −∞ . Сформулироватьтеоремы: (а) о предельном переходе в неравенстве; (б) о пределе промежуточной функции.

Доказать одну из них (5 баллов).2. Дать определение эквивалентности двух функций. В качестве примера, из второго замечательного предела вывести эквивалентности(при x → 0 ) для функций ln(1 + x ) и a x − 1 (3 балла).3. Найти предел функции lim ( x − 3 x 3 − 6 x 2 + 5 x + 4 ) . (4 балла).x →∞Модуль 2: Дифференциальное исчислениефункций одной переменной4. Определение производной функции в точке, ее геометрический имеханический смысл.

Определение дифференцируемости функции вточке. Доказать теорему о связи дифференцируемости и существования конечной производной. Сформулировать теорему о связидифференцируемости и непрерывности. (5 баллов)cos3 x5. Найти производную функции y = (tg x ) ( ) (3 балла)6. Исследовать функцию и построить её график (6 баллов)4x − 8y=( x − 1) 27. Дополнительные вопросы (по программе): (4 балла)Билет рассмотрен и утвержден на заседании кафедры 25.11.2015 г.Зав. кафедрой «Высшая математика»Н.И. Сидняев23. Найти точки разрыва функции f ( x ) = x 4 + 3x − x , сделать геоsin xметрическую интерпретацию вблизи точек разрыва. (4 балла).Модуль 2: Дифференциальное исчислениефункций одной переменной4. Сформулировать правила дифференцирования суммы, произведенияи частного двух функций, теорему о производной сложной функции,теорему о производной обратной функции, доказать две из них.

(5 баллов)5. Найти производную функции y = (3 + 2 x 2 ) 2 + 4 x (3 балла)6.Исследоватьфункциюипостроитьеёграфикy = x ⋅ (ln x − 1) (6 баллов)7. Дополнительные вопросы (по программе): (4 балла)Билет рассмотрен и утвержден на заседании кафедры 25.11.2015 г.Зав. кафедрой «Высшая математика»Н.И. СидняевМосковский государственный технический университет им. Н.Э. БауманаФакультет ФН. Кафедра «Высшая математика»Московский государственный технический университет им. Н.Э.

БауманаФакультет ФН. Кафедра «Высшая математика»Экзаменационный билет № 5 по курсу:«МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ»МТ, РК, Э-5, 1 курс, 1-й семестрМодуль 1: Элементарные функции и пределы1. Определение бесконечно малой функции при данном стремленииаргумента. Расшифровка и геометрическая интерпретация для случаев x → a + , x → +∞ . Доказать теоремы о связи функции, ее предела и бесконечно малой при некотором стремлении аргумента.Сформулировать свойства бесконечно малых функций (5 баллов)2. Сформулировать теорему о «втором замечательном пределе» , доказать её следствия.

(3 балла).x3. Найти предел функции lim 3 − 3 (4 балла).x →1 x − 1Экзаменационный билет № 6 по курсу:«МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ»МТ, РК, Э-5, 1 курс, 1-й семестрМодуль 1: Элементарные функции и пределы1. Определение бесконечно малой функции при данном стремленииаргумента.

Расшифровка и геометрическая интерпретация для случаевx → a − , x → −∞ . Сформулировать свойства бесконечно малых функций. Доказать одно из них. (5 баллов)2. Определение порядка малости (или роста) одной функции относительно другой при данном стремлении аргумента. Привести примеры.(3 балла).Модуль 2: Дифференциальное исчислениефункций одной переменнойМодуль 2: Дифференциальное исчислениефункций одной переменной4. Определение дифференциала функции, его геометрическийсмысл. Сформулировать правила нахождения дифференциала суммы, произведения и частного двух функций. Доказать инвариантность формы первого дифференциала. Определение дифференциалов высших порядков. (5 баллов)25. Найти производную функции y = (arc tg x) x (3 балла)6.

Исследовать функцию и построить её графикy= x(6 баллов)ln x(3. Найти предел функции. lim 2 − 3 xx →0 2 − x)ln(1+ 2 x )x2(4 балла).4. Доказать теорему Коши. Сформулировать теорему Лагранжа, датьгеометрическую интерпретацию этой теоремы. (5 баллов)5. Найти производную функции y =(2 x − 1)5 ⋅ sin 3 x(3 балла)cos3 x6. Исследовать функцию и построить её графикx3y=(6 баллов)3 − x27.

Дополнительные вопросы (по программе): (4 балла)7. Дополнительные вопросы (по программе): (4 балла)Билет рассмотрен и утвержден на заседании кафедры 25.11.2015 г.Зав. кафедрой «Высшая математика»Н.И. СидняевБилет рассмотрен и утвержден на заседании кафедры 25.11.2015 г.Зав. кафедрой «Высшая математика»Н.И. СидняевМосковский государственный технический университет им. Н.Э. БауманаФакультет ФН. Кафедра «Высшая математика»Московский государственный технический университет им. Н.Э.

БауманаФакультет ФН. Кафедра «Высшая математика»Экзаменационный билет № 7 по курсу:«МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ»МТ, РК, Э-5, 1 курс, 1-й семестрЭкзаменационный билет № 8 по курсу:«МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ»МТ, РК, Э-5, 1 курс, 1-й семестрМодуль 1: Элементарные функции и пределы1. Определение бесконечно малой функции при данном стремленииаргумента. Расшифровка и геометрическая интерпретация для случаев x → a , x → ∞ . Сформулировать арифметические теоремы определах (предел суммы, произведения и частного двух функций).Доказать одну из них.

(5 баллов)2. Дать определение односторонней непрерывности функции в точке. Сформулировать теорему о связи односторонней непрерывностис обычной (двусторонней). (3 балла).3. Найти предел функции. lim ln x ⋅ ctg ( 5π x ) . (4 балла).Модуль 1: Элементарные функции и пределы1. Определение бесконечно большой функции при данном стремленииаргумента. Расшифровка и геометрическая интерпретация для случаевx → a + , x → ∞ . Доказать теорему о связи бесконечно большой и бесконечно малой функций. (5 баллов)x →1Модуль 2: Дифференциальное исчислениефункций одной переменной4.

Доказать теорему Ролля. Дать геометрическую интерпретациюэтой теоремы. (5 баллов)arcsin 2 x5. Найти производную функции y = 3x − 1(3 балла)5x + 26. Исследовать функцию и построить её графикy = x + 2 arcctg x(6 баллов)7. Дополнительные вопросы (по программе): (4 балла)()Билет рассмотрен и утвержден на заседании кафедры 25.11.2015 г.Зав. кафедрой «Высшая математика»Н.И.