ЛЕКЦИИ А. В. Домрин, А. Г. Сергеев (ЛЕКЦИИ А. В. Домрин, А. Г. Сергеев в пдф)

Математический институт им. В. А. СтекловаРоссийской академии наукА. В. Домрин, А. Г. СергеевЛекции по комплексному анализуПервое полугодиеМосква2004УДК 517.5ББК (В)22.16Д66Домрин А. В., Сергеев А. Г.Д66Лекции по комплексному анализу : В 2 частях. / А. В. Домрин,А. Г. Сергеев. — М.: МИАН, 2004.ISBN 5-98419-006-0Часть I : Первое полугодие. — 2004. — 176 с.ISBN 5-98419-007-9Издание осуществлено при поддержке Российского фонда фундаментальныхисследований (грант № 04-01-14126).ISBN 5-98419-007-9 (ч.

I)ISBN 5-98419-006-0c Домрин А. В., Сергеев А. Г., 2004c Математический институтим. В. А. Стеклова РАН, 2004Памяти Анатолия Георгиевича ВитушкинаСодержаниеПервое полугодиеЛекция 1. Комплексная плоскость . . . . . . . . . . . . . .1.1. Определение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2. Алгебраическая структура . . . . . . .

. . . . . .1.3. Полярное представление . . . . . . . . . . . . . .1.4. Топология комплексной плоскости . . . . . . . .1.5. Компактификация комплексной плоскости . . .Лекция 2. Комплексная дифференцируемость. Геометрический смысл производной . . . . . . . . . . .

. .2.1. R-дифференцируемость . . . . . . . . . . . . . .2.2. C-дифференцируемость. Условия Коши–Римана2.3. Производная по направлению . . . . . . . . . . .2.4. Голоморфные функции и конформные отображения . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .2.5. Геометрический смысл комплексной производной2.6. Голоморфность и конформность отображенийрасширенной комплексной плоскости . . . . . .Лекция 3. Дробно-линейные функции . . . . . . . . . . . .3.1. Дробно-линейные отображения расширенной комплексной плоскости .

. . . . . . . . . . . . . . . .3.2. Конформность дробно-линейных отображений .3.3. Группа дробно-линейных отображений . . . . .3.4. Круговое свойство дробно-линейных отображений3.5. Сохранение симметрии при дробно-линейныхотображениях . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .3.6. Свойство трех точек . . . . . . . . . . . . . . . .3.7. Дробно-линейные изоморфизмы основных областей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Лекция 4. Интеграл и первообразная . . . . . . . . . . . . .4.1. Определение интеграла вдоль пути . . . . . .

. .4.2. Свойства интеграла вдоль пути . . . . . . . . . .4.3. Лемма Гурса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.4. Первообразная . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.5. Первообразная вдоль пути . . . . . . . . . . . . .Лекция 5. Теорема Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. .5.1. Теорема Коши о гомотопии . . . . . . . . . . . .5.2. Теорема Коши для многосвязной области . . . .1112248121213151718202121222324263031353538424547535359viСодержание5.3.Лекция 6.6.1.6.2.6.3.6.4.6.5.6.6.6.7.6.8.6.9.6.10.6.11.6.12.6.13.6.14.6.15.Лекция 7.7.1.7.2.7.3.7.4.7.5.7.6.7.7.7.8.7.9.7.10.7.11.Лекция 8.8.1.8.2.8.3.8.4.Интегральная формула Коши . .

. . . . . . . . . 62Ряды Тейлора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65Напоминание . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65Разложение голоморфной функции в ряд Тейлора 66Неравенства Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . 67Теорема Лиувилля . . .

. . . . . . . . . . . . . . 67Множество точек сходимости степенного ряда . 68Голоморфность суммы степенного ряда . . . . . 72Бесконечная дифференцируемость голоморфныхфункций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74Коэффициенты ряда Тейлора . . . . . . . . .

. . 74Интегральная формула Коши для производных 75Теорема Морера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75Три эквивалентных определения голоморфнойфункции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76Разложение голоморфной функции в окрестности нуля . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 76Теорема единственности . . . . . . . . . . . . . . 78Теорема Вейерштрасса о рядах голоморфныхфункций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79Аппроксимация голоморфных функций полиномами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

81Ряды Лорана и особые точки . . . . . . . . . . . 82Разложение голоморфной функции в ряд Лорана 82Сходимость рядов по целым степеням z − a . . . 85Неравенства Коши для коэффициентов Лорана 86Замечание о рядах Лорана и Фурье . . . . . . . 87Изолированные особые точки. Определение . . . 88Описание устранимых особых точек . . . . .

. . 89Описание полюсов . . . . . . . . . . . . . . . . . 90Теорема Сохоцкого . . . . . . . . . . . . . . . . . 93a = ∞ как изолированная особая точка . . . . . 94Целые функции с полюсом на бесконечности . . 95Мероморфные функции с полюсом на бесконечности . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95Вычеты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97Теорема Коши о вычетах . . . . . . . . . . . . . . 97Вычет в терминах ряда Лорана . . . . . . . . . . 98Формулы для вычисления вычетов . . . . . . . . 99Вычет в точке a = ∞ . .

. . . . . . . . . . . . . . 100Содержание8.5.8.6.8.7.Теорема о полной сумме вычетов . . . . . . . . .Лемма Жордана . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Пример на вычисление преобразования Фурьеот рациональных функций . . . . . . . . . . . . .Лекция 9. Аналитическое продолжение. Постановка задачи9.1. Постановка задачи . .

. . . . . . . . . . . . . . .9.2. Аналитическое продолжение Γ-функции . . . . .9.3. Аналитическое продолжение логарифма . . . . .Лекция 10. Теория Вейерштрасса . . . . . . . . . . . . . . . .10.1. Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . .10.2.

Элементы и их аналитическое продолжение . .10.3. Свойства непосредственного аналитического продолжения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10.4. Продолжение канонических элементов вдольпути . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .10.5. Эквивалентность аналитического продолженияпо цепочке и вдоль пути . . . . . . . . . . . . . .10.6. Теорема о продолжении вдоль гомотопныхпутей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Лекция 11. Аналитические функции . . . . . . . . . . . . . .11.1. Определения .

. . . . . . . . . . . √. . . . . . . . .11.2. Пример: аналитическая функция z . . . . . . .11.3. Пример: аналитическая функция ln z . . . . . .11.4. Действия над аналитическими функциями . . .11.5. Изолированные особые точки аналитическойфункции . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .11.6. Классификация изолированных особых точек .11.7. Примеры аналитических функций и их особыхточек . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11.8. Ряды Пюизо . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Лекция 12. Римановы поверхности . . . . . .

. . √. . . . . . .12.1. Риманова поверхность функции w = z . . . . .12.2. Риманова поверхность функции w = ln z . . . .12.3. Риманова поверхность функции w = arcsin z . .12.4. Риманова поверхность аналитической функции12.5. Одномерные комплексные многообразия . . . .12.6. Неразветвленные голоморфные накрытия . .

. .12.7. Риманова поверхность аналитической функции(продолжение) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .vii101101103106106107110114114115116118120122126126128130131134136138140144144147147149150152158163viiiСодержаниеВторое полугодие165Лекция 13. Принцип аргумента . . .

. . . . . . . . . . . . . . 16513.1. Логарифмический вычет . . . . . . . . . . . . . . 16513.2. Принцип аргумента . . . . . . . . . . . . . . . . . 16713.3. Теорема Руше . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169Лекция 14. Принцип сохранения области и обращение голоморфных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . 17414.1. Принцип сохранения области . . . . .

. . . . . . 17414.2. Локальное обращение голоморфных функций . 17514.3. Теорема Гурвица . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179Лекция 15. Принцип максимума модуля и его следствия . . 18115.1. Принцип максимума модуля . . . . . . . . . . . . 18115.2. Лемма Шварца . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . 183Лекция 16. Принцип компактности. Последовательности голоморфных функций . . . . . . . . . . . . . . . . 18616.1. Принцип компактности . . . . . . . . . . . . . . . 18616.2. Теорема Монтеля . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18816.3. Непрерывные функционалы на семействах голоморфных функций . . .