Семестр_3_Лекция_13 (Все лекции по физике в пдф)

Семестр 3. Лекция 13.Лекция 13. Основные положения электромагнитной теории Максвелла.Уравнения Максвелла для электромагнитного поля. Вихревое электрическое поле. Токсмещения. Закон полного тока. Уравнения Максвелла в интегральной и дифференциальной формах.Закон электромагнитной индукции Фарадеяεi d∂B= − ∫∫ B,dS или rot ECT = −свидеdt S∂t()()тельствует о том, что изменение магнитного поля приводит к появлению сторонних сил в проводнике, действующие на носители тока. Как показывает пример с проводником, поступательнодвижущимся в магнитном поле, эти сторонние силы аналогичны силам, действующим на электрические заряды со стороны электрического поля.

Поле этих сил является вихревым, поэтомуего называют вихревым электрическим полем.Первая гипотеза Максвелла состоит в том, что появление вихревого электрического поляиз-за меняющегося во времени магнитного поля в некоторой области пространства, не зависит отналичия в этой области проводника или носителей тока.

При этом электрическое поле в любойобласти пространства является суперпозицией электростатического (кулоновского) поля (с напряжённостью Eq ), создаваемого электрическими зарядами, и вихревого электрического полей (с напряжённостью EB ), создаваемого переменным магнитным полем. Напряженность суммарного электрического поля E = Eq + EB . Найдем дивергенция суммарного электрического поля. Т.к.  ∂B  ρρи div EB = div  rot  −div Eq == 0 , то div E = div Eq + div EB = .ε0ε0  ∂t  ( )( )( )( )( )Из Eq = − grad ( ϕ ) и rot Eq = rot ( − grad ( ϕ ) ) = 0 следует равенство( )∂Brot E = rot Eq + rot EB = −.∂t( )( )( )Ток смещения.Теорема о циркуляции для вектора напряжённости магнитного поля имеет вид rot H = j .( )Применим к обеим частям дивергенцию div rot H( ( )) = div ( j ) .

Левая часть равна нулюdiv rot H( ( )) = 0 , но правая div ( j ) = − ∂ρ∂t (уравнение непрерывности электрического заряда).∂ρ= 0 , т.е. объемная плотность заряда не зависит от времени. Следовательно, ра∂tвенство rot H = j применимо для случая, когда div ( j ) = 0 . В этом случае векторное поле плот-Откуда следует( )1Семестр 3. Лекция 13.ности тока j является вихревым, поэтому линии токаS2замкнутые. Рассмотрим теорему о циркуляции вектораS1S3напряженности вокруг замкнутого проводника, в кото ром течёт постоянный ток ∫ H ,dl = I .(HHГ)ΓЛинии тока в этом случае замкнутые, поэтому есливзять несколько поверхностей S1, S2, S3, S4 имеющих видIS4мешков, общим горлом которых является контур Г, тодолжно выполняться равенство H,dl=j,dS=j,dS=j,dS=∫∫∫∫∫∫∫∫∫ j ,dS = I()(Γ)S1()S2()(S3)S4т.к.

сила тока в любом сечении проводника одинаковая.Теперь поместим в цепь конденсатор С. Пусть по цепиS2протекает постоянный ток. Поверхность S3 проведём та-S1S3ким образом, чтобы она охватывала одну из обкладокконденсатора. Так как в конденсаторе нет тока проводи-Hмости, тоHГC∫∫ ( j ,dS ) = 0 ,S4IS4∫ ( H ,dl ) = ∫∫ (Γно по-прежнему j ,dS = ∫∫ j ,dS = ∫∫ j ,dS = I .)S1()S2()S3Но расположение конденсатора можно поменять, так, чтобы одна его обкладка находилась внутри поверхности не S3, а например, S2.

Тогда получим равенства ∫∫ j ,dS = 0 и()S2∫ ( H ,dl ) = ∫∫ ( j ,dS ) = ∫∫ ( j ,dS ) = ∫∫ ( j ,dS ) = I .ΓS1S3S4Получаем противоречие – циркуляция векторного поля по контуру Г, не охватывающемуучасток цепи с конденсатором, зависит от произвольного выбора места расположения конденсатора. Чтобы снять это противоречие Максвелл выдвинул гипотезу о том, что наряду с током проводимости существует ток смещения, который также создаёт магнитное поле.

Плотность токасмещения задаётся скоростью изменения вектора электрического смещения∂DjCM =.∂tПлотность полного тока – векторная сумма плотности тока проводимости и плотности токасмещения2Семестр 3. Лекция 13.jПОЛН = jПРОВ + jСМ .Найдём дивергенцию вектора плотности полного тока. Учтём закон сохранения электрического∂ρи теорему Гаусса для вектора смещения div D = ρ :заряда div ( jПРОВ ) = −∂t ∂D ∂ρ∂ρ ∂∂ρ ∂ρdiv ( jПОЛН ) = div ( jПРОВ ) + div ( jСМ ) = − + div div D = − +=0.=− +ttttt∂t∂∂∂∂∂( )( ( ))Таким, образом, векторное поле плотности полного тока не имеет источников, т.е.

является вихревым, следовательно, силовые линии полного тока являются замкнутыми.Рассмотрим случай, когда по замкнутой цепи течёт постоянный ток, тогда∂ρ= 0 и div ( jСМ ) , от∂tкуда∂ρ ∂=div D∂t ∂t( ( )) ∂D = div  = div ( jСМ ) = 0 . ∂t Т.к. цепь замкнутая, то не происходит накапливания электрического заряда ни в одной точке цепис течением времени и поэтому можно считать, что вдоль цепи D = const . Поэтому нет тока сме∂D щения jCM == 0 и jПОЛН = jПРОВ .∂tЕсли цепь содержит конденсатор, то между обкладками отсутствует ток проводимости.

Поэтому силовая линия тока проводимости имеет разрыв на обкладках конденсатора – т.е. обкладкиимеются стоки и источники поля векторов плотности тока проводимости div ( jПРОВ ) ≠ 0 . Из урав∂ρнения непрерывности для тока div ( jПРОВ ) = −следует, что источниками (и стоками) электриче∂tского тока в цепи являются меняющиеся электрические заряды на обкладках.

Но, в то же самоевремя, изменение электрического заряда на обкладках служит стоком и источником тока смещения в пространстве между обкладками ∂D  ∂div ( jCM ) = div div D= ∂t  ∂t.( ( )) = ∂ρ∂tТ.е., из-за изменения электрического заряда конденсатора (во времени) векторное поле смещенияв пространстве между обкладками будет меняться во времени, что приведёт к появлению токасмещения в пространстве между обкладками конденсатора. Поэтому между обкладками конденсатора jПОЛН = jСМ .Так как сила тока проводимости (с учётом знака) равна потоку вектора плотности тока проводимости через ориентированную поверхность I = ∫∫ j ,dS , то, аналогично, можно опреде-()Sлить силу тока смещения (с учётом знака) через ориентированную поверхность3Семестр 3.

Лекция 13.I СМ = ∫∫ГSH)Если поверхность S неподвижная, то  ∂D  dI СМ = ∫∫ ,dS  = ∫∫ D,dS .∂t dt SS (II( ∂D jСМ ,dS = ∫∫ ,dS  .∂tS )Закон полного тока: сила полного тока равна сумметока проводимости и тока смещения.−q+qВывод. Если в теореме о циркуляции для напряженности магнитного поля заменить ток проводимости наDHполный ток, то противоречие будет снято:∂D/∂t ∂Drot H = jПОЛН = jПРОВ + jСМЕЩ , rot H = j +.∂t( )( )Или, в интегральной форме:d∫ ( H ,dl ) = I + dt ∫∫ ( D,dS )ΓS- циркуляция вектора напряжённости магнитного поля по любому замкнутому (ориентированному) контуру равна сумме токов проводимости и смещения через ориентированную поверхность, ограниченную этим контуром. Ориентации контура и поверхности согласованы правиломправого винта (буравчика).Это соотношение свидетельствует о том, что магнитное поле может порождаться переменным во времени электрическим полем.Пример.

Найдем циркуляцию вектора напряжённости магнитного поля в пространстве между обкладками плоского конденсатора включённого в цепь с постоянным током.Пусть сила тока в цепи равна I. Конденсатор плоский, обкладки – круги радиусом R. Расстояние между обкладками d много меньше R (в этом случае электрическое поле между пластинами в каждый момент времени приближённо можно считать однородным).

Ток в цепи постоянный, поэтому заряды «положительной» и «отрицательной» обкладок линейно зависят от времениq = I ⋅ t + q0 .Пусть n - единичный вектор нормали к пластине с положительным зарядом. Между обкладками вектор смещения направлен перпендикулярно пластинам D = D ⋅ n от положительно за-ряжённой к отрицательно заряженной. Нормальная составляющая вектора смещения равна длиневектора Dn = D . С другой стороны, внутри плоского конденсатора Dn = σ =4qq( σ = - поверхноSSСеместр 3. Лекция 13.стная плотность стороннего заряда, S = πR 2 - площадь обкладки конденсатора), поэтомуI ⋅ t + q0.

Найдём вектор-производнуюS∂D ∂∂n ∂D= (D⋅ n) = n+D.∂t ∂t∂t∂t∂n ∂D ∂DНо n = const , поэтому= 0 и вектор=nтоже направлен перпендикулярно пластинам.∂t∂t∂tD=Пусть в рассматриваемом случае заряд положительной пластины увеличивается, тогда∂D>0 и∂t∂Dвекторыи D направлены одинаково.∂tПоле между пластинами обладает осевой симметрией, поэтому найдём циркуляцию поконтуру Г, который является окружностью в плоскости, перпендикулярной оси симметрии, с центром на оси симметрии.

Пусть радиус окружности равен r.Контур ограничивает плоский круг S, на котором можно ввести ориентацию, совпадающуюпо направлению с направлением вектора смещения D . Поток этого векторного поля через по верхность круга равен Φ D = ∫∫ D,dS = Dπr 2 . Поэтому сила тока смещения()SI СМ ddr222 dD2 I= ∫∫ D,dS = ( Dπr ) = πr= πr=I 2.dt SdtdtSR()Силовые линии магнитного поля являются окружностями, лежащими в плоскости, перпендикулярной оси симметрии, центры окружностей находятся на этой оси. Поэтому выбранныйконтур Г совпадает с какой-то силовой линией.

Тогда вектор напряжённости магнитного поля направлен по касательной к Г и его величина зависит только от радиуса окружности r. Ориентацию∂Dна Г выберем согласованной c направлением векторного поля. Так как в рассматриваемом∂t∂Dслучае векторыи D направлены одинаково, то направления касательных векторов H и dl∂t совпадают, поэтому H∫ ,dl = ∫ Hdl = H 2πr .(Γ)ΓТок проводимости между обкладками конденсатора отсутствует (I=0), поэтомуd∫ ( H ,dl ) = dt ∫∫ ( D,dS ) .ΓТогда H 2πr = ISr2IrI, откуда H =. В частности, при r=R получаем H =- такое же зна22R2πR2πRчение, как если бы между обкладками конденсатора протекал ток проводимости силой I.♣5Семестр 3.

Лекция 13.Уравнения МаксвеллаГипотезы Максвелла позволяют записать систему уравнений электромагнитного поля.Теорема ГауссаДифференциальнаяИнтегральная формаформаdivD = ρ∫∫ ( D,dS ) = qΣSдля электрического поляЗакон электромагнитной индукции(закон Фарадея)∂Brot E = −∂td∫ ( E,dl ) = − dt ∫∫ ( B,dS )divB = 0∫∫ ( B,dS ) = 0 ( )ΓS(теорема о циркуляции вектора напряжённости электрического поля)Теорема ГауссаSдля магнитного поляТеорема о циркуляции вектора напряжённости магнитного поля ∂Drot H = j +∂t( )∫ ( H ,dl ) = IΣ+Γ dD,dS∫∫dt S()В материальной среде эти уравнения дополняются уравнениями (материальные уравнения)Дифференциальная форма j = γ ⋅ E + ECTИнтегральная форма∂ρdiv ( j ) = −∂t∫∫ ( j ,dS ) = − dt ∫∫∫ ρdV(Закон ОмаЗакон сохранения электриче-)I ⋅ R = ϕ1 − ϕ1 + ε12ского зарядаS D = ε0 ⋅ E + P , в однородном изотропном диэлектрике D = ε 0 εE B = µ 0 ⋅ H + J , в однородном, изотропном магнетике B = µ 0µH .(dV)Условия на границе раздела средD2 n − D1n = σ , E1t = E2t , B2 n = B1n , H 2t − H1t = i .Данная система уравнений в дифференциальной форме содержит 15 координат векторов E , D , B , H , j и функцию ρ - объёмной плотности электрического заряда – итого 16 неизвестных.

Количество уравнений Максвелла в координатной форме равно 8, материальных уравнений– 10, итого 18 уравнений. (При этом некоторые уравнения могут быть следствием других в данной системе.).Кроме того, необходимо добавить начальное распределение зарядов (токов) и значения неизвестных параметров на границе рассматриваемой области.В общем случае, нахождение характеристик электромагнитного поля является достаточнотрудоёмкой задачей.6Семестр 3. Лекция 13.Оператор «набла».Введем оператор, обозначаемый ∇ , который сопоставляет функции её градиент∇f grad ( f ) ∂f ∂f ∂f или в декартовых координатах ∇f  , ,  . ∂x ∂y ∂z  Если ввести векторы-орты декартовой системы координат ( eX ,eY ,eZ ) , то это соответствие ∂f ∂f ∂fможно записать в виде равенства ∇f = eX+ eY+ eZ.∂x∂y∂zПоэтому для оператора «набла» используют обозначение в виде вектора ∂ ∂ ∂∇ = eX+ eY+ eZ∂x∂y∂zс условием, что он действует на функцию только слева.Если в некоторой области задано непрерывно-дифференцируемое векторное поле a , то спомощью этого обозначения оператора «набла» дивергенция векторного поля записывается как скалярное произведение ∇ ,a = div ( a ) , а ротор векторного поля – как векторное произведение()( ∇ × a ) = rot ( a ) .