Методичка (Для студентов очной формы обучения института ИТ)

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИРОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИМОСКОВСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТИ. М. АКСЕНЕНКОВА, Т.Р. ИГОНИНА,О.А. МАЛЫГИНА, А.В. ТАТАРИНЦЕВ,А.Г. ШУХОВ, Н.С. ЧЕКАЛКИНРЕДАКТОР: Н.С. ЧЕКАЛКИНМАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ3 СЕМЕСТРМетодическое пособиеДля студентов очной формы обученияинститута ИТМоскваМИРЭА20162АннотацияПособие по курсу "Математический анализ" (3 семестр) предназначено для студентов очной формы обучения института Информационныхтехнологий МИРЭА. Пособие включает следующие разделы: числовые ряды, ряды Тейлора, ряды Фурье, приложения теории рядов, функции комплексного переменного, теория вычетов и ее приложения. Материал пособия можно использовать при изучении курса дифференциальных уравнений, теории вероятностей и случайных процессов, при изучении другихспециальных и общепрофессиональных дисциплин.3ВВЕДЕНИЕПособие разработано коллективом преподавателей кафедры высшейматематики-2 Московского технологического университета (МИРЭА) длястудентов очной формы обучения института Информационных технологий(ИИТ).

Пособие содержит список теоретических вопросов для подготовкик сдаче экзамена, перечень рекомендуемой литературы, варианты контрольных работ по курсу, образец экзаменационного билета, типовой расчет.Основное содержание курса математического анализа 3-го семестрасоставляют теория рядов и теория функций комплексного переменного(ТФКП). В программу включены следующие разделы: числовые ряды (понятие сходимости ряда, признаки сходимости рядов с положительнымичленами, знакочередующийся ряд, абсолютная и условная сходимость,теорема Лейбница, действия с рядами); функциональные ряды (областьсходимости ряда, равномерная сходимость, теорема Вейерштрасса о равномерной сходимости, непрерывность суммы ряда, почленное интегрирование и дифференцирование функционального ряда, степенной ряд, рядТейлора); ряд Фурье; аналитические функции и их свойства, ряды Тейлораи Лорана для функции комплексного переменного, теория вычетов и ееприложения (вычисление контурных интегралов по основной теореме овычетах, вычисление несобственных интегралов).Данное пособие имеет следующую структуру.

Оно состоит из двухчастей: «Часть 1» и «Часть 2». Первая часть – это основные типы задач дляподготовки к сдаче контрольных работ и экзамена. Рекомендуется прорешать все задачи, сформулированные в этой части пособия. Список задачпервой части шире списка типовых задач второй части. На основе первойчасти у студента формируются представления о разной сложности заданийкурса математического анализа.

Часть 2 - это задачи типового расчета,студент выполняет только свой вариант. От студента требуется успешноеовладение материалом, т.е. необходимо знать основные определения, формулировки и доказательства основных теорем курса, а также уметь решатьтиповые задачи курса.4МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯВ течение 3-го семестра по курсу математического анализа проводятся контрольные работы и выполняется типовой расчет.Приведем примерные варианты контрольных работ.Примерный вариантконтрольной работы по разделу «Теория рядов»1. Исследовать ряд на сходимость, ответ обосновать: 8 7n  5а)  n 2   e n 2  1 ; б) 9n 1 n  1n 12.

Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость,11n14ответ обосновать: а)  (1)  sin ( ) ;б)  (1) n 9n  15nn 1n 1( x  3) n3. Найти интервал сходимости степенного ряда 8 . Исследоватьn  2 n(ln n)сходимость на концах интервала.4. Разложить функцию f (x) в ряд Тейлора в окрестности точки x0 . Указать область сходимости полученного степенного ряда.f ( x) x3, x0  35x  7Примерный вариантконтрольной работы по разделу«Теория функции комплексного переменного»1. Вычислить все значения (3  i 3 ) 2i .2. Решить уравнение s in2 z  2 . Ответы изобразить на комплексной плоскости.iz3.

Исследовать функцию f ( z )  e  2i на аналитичность.4. Функцию f ( z ) 1разложить в ряд Лорана в области | z | 5 2 .2z  55. Указать особые точки, их тип, найти вычеты в особых точках:5а)f ( z )  ( z  3)  e37z 3; б)e3 z  1f ( z)  2 2z ( z  4)Замечание: содержание контрольных работ может быть изменено поусмотрению преподавателя.Типовой расчет.

В типовой расчет входят задачи по теории рядов итеории функции комплексной переменной. Типовой расчет выполняетсякаждым студентом в отдельной тетради в соответствии с назначенным емуномером варианта. Студент подробно описывает решение каждой задачи,объясняет решения задач преподавателю, отвечает на вопросы. Наличиевыполненного типового расчета является обязательным условием допускастудента на экзамен.По итогам обучения на основе учебного плана проводится экзамен.Примерный вариант экзаменационного билета1. Исследовать ряд 15 n  n  3  n n 1n2на сходимость, ответ обосновать.2. Найти интервал сходимости степенного ряда( x  3) n nn23ln n.

Ис-следовать сходимость ряда на концах интервала.3. Разложить функцию f ( x)  ln( 12 x  7) в ряд Тейлора в окрестноститочки x0  2 . Указать область сходимости ряда.4. Разложить функцию f ( x)  9 x , заданную на интервале ( ;  ) , в рядФурье. Обосновать сходимость ряда Фурье. Нарисовать график суммы ряда Фурье.e2 z  3e z  4  0 .5. Решить уравнениеf ( z)  z  Im(5z  3i) .6. Установить, является ли функция аналитической7.

Указать особые точки, их тип, найти вычеты в особых точках:f ( z) cos 5 z  1.z 2 ( z  3i)8. Вычислить3z 2( z  2)  e dz ,4L : | z  1 | 2 .L9. Вычислить08dx .( x  9) 2210. Теоретический вопрос (из списка теоретических вопросов).6Замечание: по усмотрению преподавателя количество задач билетаможет быть изменено.Теоретические вопросы по курсу1.

Определение числового ряда, его сходимости. Примеры сходящихся и расходящихся рядов. Необходимый признак сходимости числового ряда. Признаки сравнения рядов с положительными членами.2. Признак Даламбера. Радикальный и интегральный признаки Коши сходимости рядов с положительными членами.3. Определение знакочередующегося числового ряда. Определениеабсолютной и условной сходимости. Признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда.4.

Свойства абсолютно сходящихся рядов. Свойства условно сходящихся рядов. Примеры.5. Определение функционального ряда, его области сходимости.Равномерная сходимость функционального ряда. Теорема Вейерштрасса.6. Теорема о непрерывности суммы функционального ряда. Теорема о почленном интегрировании функционального ряда. Теорема опочленном дифференцировании функционального ряда.7. Определение степенного ряда. Теорема Абеля. Радиус сходимости степенного ряда. Равномерная сходимость степенного ряда. Непрерывность суммы степенного ряда.

Теоремы о почленном интегрировании идифференцировании степенных рядов.8. Критерий разложимости функции в степенной ряд. Достаточноеусловие разложимости функции в степенной ряд. Разложения элементарных функций в ряд Маклорена ( e , sin x, cos x, ln (1  x), (1  x) ).9. Ряд Фурье по тригонометрической системе функций.

Коэффициенты Фурье. Разложение в ряд Фурье четной и нечетной функции. Примеры.10. Понятие функции комплексного переменного. Основные элементарные функции комплексного переменного, их свойства. Предел, непрерывность и дифференцируемость функции комплексного переменного.11. Понятие аналитической функции. Условия Коши-Римана. Примеры.

Определение интеграла функции комплексного переменного вдолькусочно-гладкой кривой, свойства. Теоремы Коши для односвязной и многосвязной области.12. Ряд Тейлора аналитической функции. Ряд Лорана аналитическойфункции. Теорема о разложении функции в ряд Лорана.

Область сходимости. Примеры разложения в ряд Лорана.xm713. Изолированные особые точки (и.о.т.). Классификация и.о.т. поглавной части ряда Лорана и на основе поведения функции в окрестностии.о.т. Примеры.14. Вычет аналитической функции в и.о.т. Теорема о нахождениивычета по ряду Лорана. Формулы вычисления вычетов в простом и кратном полюсе.

Примеры.15. Основная теорема о вычетах. Вычисление контурных интеграловс помощью вычетов. Вычисление несобственных интегралов по прямой иполупрямой. Примеры.Рекомендуемая литература1. Аксененкова И.М., Малыгина О.А., Чекалкин Н.С., Шухов А.Г.Ряды. Интеграл Фурье и преобразование Фурье. Приложения. М.: МИРЭА,2015.2. Математический анализ, 3 семестр.

Контрольные задания для студентов очного обучения факультетов РТС, ИТ, РТС. М.: МИРЭА, 2012.3. Математический анализ, 4 семестр. Учебно-методическое пособиедля студентов очного обучения факультетов РТС, ИТ, РТС. М.: МИРЭА,2012.4. Архипов Г.И.. Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу. М.: Высшая школа, 2000.5. Бугров Я.С, Никольский С.М. Сборник задач по высшей математике.

М., 2001.6. Ильин В.А, Позняк Э.Г. Основы математического анализа. М.:Изд-во физ.-мат. лит., 2002.7. Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И., Шикин Е.В., Заляпин В.И. Вся высшая математика. Том 1- 4. М.: URSS, 2005.8. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Т.1 и 2. М.: Дрофа,2004.9. Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И,Сборник задач по курсу математического анализа. Т.2, 3.