Методичка с заданиями по Алгебре и геометрии 2 (Е.Ю. Кузнецова, О.А. Малыгина - Методическое пособие)

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИМОСКОВСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТАЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯII семестрМЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕДля студентов очной формы обученияинститутов РТС, ИТ, Физико-технологического институтаМосква-2016УДК 512+514ББК 22.14+22.15А-45Алгебра и геометрия, 2 семестр[Электронный ресурс]: Методическое пособие / Кузнецова Е.Ю. Малыгина О.А. Морозова и др.- М.: МИРЭА-1 электрон.опт. диск(CDROM)Пособие «Алгебра и геометрия» (2-ой семестр) предназначено для студентов очной формы обучения институтов ИТ, РТС, Физико-технологического института. В неговходят следующие разделы: комплексные числа, линейные пространства, линейныеоператоры, квадратичные формы, геометрия евклидова пространства.Авторский коллектив: Кузнецова Екатерина Юрьевна, Морозова Татьяна Анатольевна,Малыгина Ольга Анатольевна, Пронина Елена Владиславовна, Параскевопуло ОльгаРигасовна, Руденская Ирина Николаевна, Таланова Людмила Ивановна, ЧекалкинНиколай Степанович.Редактор:Чекалкин Николай Степанович., к.ф.-м.н., доцент, заведующий кафедрой высшей математики-2 Физико-технологического института, Московский технологический университетРецензенты:Кесельман Владимир Михайлович, к.ф-м.н.,доцент, доцент кафедры прикладной математики МАМИ;Игонина Татьяна Романовна, к.ф-м.н., доцент,доцент кафедры высшей математики-2Физико-технологического института, Московский технологический университетМинимальный системные требования:Поддерживаемые ОС: Windows 2000 и выше.Память: ОЗУ 128МБ.Жесткий диск: 20 Мб.Устройства ввода: клавиатура, мышь.Дополнительные программные средства: Программа Adobe Reader.Подписано к использованию по решению Редакционно-издательского совета Московского технологического университета от 15.06.2016Объем: ___ МбТираж: 10ISBN _____________________© Е.Ю.

Кузнецова Е.Ю.,О.А. Малыгина ,Т.А. Морозова, Е.В. Пронина,О.Р. Параскевопуло,И.Н. Руденская,Л.И.Таланова,Н.С. Чекалкин ,2016© Московский технологический университет, 20163ОглавлениеВведение ............................................................................................................... 4Методические указания ...................................................................................... 5Часть 1 Основные типы задач для подготовки к контрольным работам иэкзамену (зачету) ................................................................................................. 9Часть 2 Типовой расчет .................................................................................... 26Заключение ........................................................................................................ 63Список литературы ...........................................................................................

63Сведения об авторах ......................................................................................... 644ВведениеДанное пособие разработано коллективом преподавателей кафедрывысшей математики-2 Московского технологического университета (МИРЭА) для студентов очной формы обучения институтов РТС, Информационных технологий и Физико-технологического института. Пособие содержит обзор основных тем курса алгебры и геометрии 2-го семестра, списоктеоретических вопросов для подготовки к сдаче экзамена (зачета), перечень рекомендуемой литературы.

Приведены примерные варианты контрольных работ по курсу, образец билета, также представлены основныетипы задач по алгебре и геометрии 2-го семестра.Пособие состоит из двух частей. Часть 1 – это основные типы задачдля подготовки к контрольным работам, экзамену (зачету). Для успешногоовладения материалом рекомендуется прорешать все задачи первой части.Часть 2 – типовой расчет, каждый студент выполняет свой вариантзадачи из второй части. Задания второй части также используются дляподготовки к контрольным работам и экзамену (зачету).В данном пособии представлены, во-первых, традиционные задачиалгебры и геометрии (2-ой семестр). Для этих задач выделены уровнисложности: стандартные задачи и задачи повышенной трудности (дляуглубленного изучения материала).

Во-вторых, введены задачи прикладного характера, возникающие в специальных дисциплинах, например, в электротехнике и радиотехнике. Здесь же есть задачи, встречающиеся в курседифференциальных уравнений. Решение подобных задач раскрывает взаимосвязи курса алгебры и геометрии сдифференциальными уравнениями, с электротехникой, радиотехникой.Выполнение заданий настоящего пособия предполагает использование материала целого ряда дисциплин.

Во-первых, по курсу «Алгебраи геометрия» (1-ый семестр) рекомендуется повторить такие разделы, какалгебра матриц, решение систем линейных уравнений, векторы. Вовторых, по курсу математического анализа 1-го семестра следует повторить раздел «Дифференцирование». В-третьих, успешное овладение материалом 2-го семестра по алгебре и геометрии возможно при наличиипрочных знаний и умений по элементарной математике (тригонометрии,алгебре, геометрии).5Методические указанияПособие по курсу «Алгебра и геометрия» (2-ой семестр) содержитзадачи по следующим разделам: комплексные числа; линейные пространства и подпространства; линейные операторы; квадратичные формы; евклидово пространство.От студента требуется успешное овладение материалом по указанным разделам, т.е.

необходимо знать определения понятий, формулировкии доказательства основных теорем курса. Студент также должен продемонстрировать умение решать типовые задачи данного курса.По курсу «Алгебра и геометрия» 2-ой семестр проводятся 2 контрольные работы и выполняется типовой расчет.Контрольная работа №1 проводится по теме «Комплексные числа.Линейные пространства».Примерный вариант контрольной работы №1151).

Вычислить  3  i . Результат изобразить на комплексной плоскости.2). Решить уравнениеной плоскости.z 3  27i  0 . Результат изобразить на комплекс-3). Доказать, что множество многочленов L = {p(x) = (a-b)x² + (a+b)x + b,a,b  R} образует линейное подпространство в пространстве P2 многочленов степени не выше 2. Найти размерность и базис подпространства L. Дополнить базис подпространства L до базиса всего пространства.     4). В пространстве V3 заданы векторы a  i  3 j  2k , b  2 j  k , c  i  j  2k .Показать, что система S = { a, b , c } образует базис в пространстве V3 .Найти матрицу перехода от базиса S к каноническому базису и коорди наты вектора x  4i  18 j  12k в базисе S.Контрольная работа №2 проводится по теметоры».«Линейные опера-Примерный вариант контрольной работы №261).

В пространстве V3 линейный оператор ̂ - проектирование на плоскость XOY. Найти:  ‒ матрицу оператора в базисе i , j , k . ,‒ образ вектора x  (3,4,5) ,‒ ядро и образ оператора.Существует ли обратный оператор?Найти собственные значения и собственные векторы оператора ̂ .Будет ли ̂ оператором простого типа?32). В каноническом базисе пространства R оператор ̂ действует по правилу ̂ x = x1 , x2  3x3 , x1  x2  2 x3 .

Показать линейность оператора ̂ .Найти матрицу оператора ̂ в каноническом базисе. Найти ядро и образ оператора. Обратим ли оператор? Если да, то указать явный вид обратного оператора.Замечание: по усмотрению преподавателя количество задач контрольныхработ может быть изменено.Типовой расчет выполняется каждым студентом в отдельной тетради в соответствии с назначенным ему номером варианта.

Студент подробно описывает решение каждой задачи, объясняет решения задач преподавателю, отвечает на вопросы. Наличие выполненного типовогорасчета является обязательным условием допуска студента на экзаменили зачет.По итогам обучения на основе учебного плана проводится экзаменили зачет.Примерный вариант экзаменационного (зачетного) билета1. Вычислить (2  2 3i) 25 . Результат изобразить на комплексной плоскости.2. Доказать, что векторы вида (a, b-a, 2a+b), a,b  R, образуют линейноеподпространство в пространстве R 3 .

Найти его базис и размерность.Дополнить базис подпространства до базиса всего пространства.3. В пространстве V3 линейный оператор Â – оператор проектирования наось OZ. Найти матрицу оператора Â в базисе (i, j, k). Найти образ вектора x = 2i – j + 3k. Найти ядро и образ оператора Â . Существует лиобратный оператор?2224. Квадратичную форму  ( x )  x1  5x2  4 x3  2 x1 x2  4 x1 x3 привести к каноническому виду методом Лагранжа. Найти положительный, отрица-7тельный индексы и ранг формы.

Исследовать на знакоопределенностьпо каноническому виду и по критерию Сильвестра.5. Матрица Грама в базисе{e1 , e2 } имеет 1 2 . Найти длины базисвид G  2 8ных векторов и угол между ними. Ортогонализировать базис {e1 , e2 } .Сделать проверку с помощью матрицы перехода.6. Теоретический вопрос (из списка теоретических вопросов).7. Разложить многочлен2на линейные множители.8. В пространстве P2 многочленов степени не выше 2 оператор Â действует по правилу Â (p(t)) = t (t)-2p(t-1). Показать линейность оператора.2 22Найти его матрицу в каноническом базисе и в базисе S=( t , t  1, t  2t ) .Замечание: по усмотрению преподавателя количество задач билетаможет быть изменено.Теоретические вопросы по курсу1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.Комплексные числа.

Действия с комплексными числами.Корни многочленов. Теорема Безу. Основная теорема алгебры.Определение линейного пространства. Примеры линейных пространств. Размерность и базис линейного пространства.Определение линейного подпространства. Примеры.Преобразование координат вектора при переходе к другому базису.Линейный оператор, его свойства. Матрица линейного оператора.Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к другому базису.Ядро и образ линейного оператора.

Обратный оператор. Матрица обратного оператора. Критерий обратимости линейного оператора.Собственные значения и собственные векторы линейного оператора.Линейные операторы простого типа. Достаточное условие операторапростого типа. Матрица оператора простого типа.Квадратичные формы. Матрица квадратичной формы. Преобразованиематрицы квадратичной формы при замене базиса.Канонический вид квадратичной формы. Метод Лагранжа приведенияквадратичной формы к каноническому виду. Закон инерции квадратичных форм.Знакоопределенные квадратичные формы. Их канонический вид, индексы и ранг. Критерий Сильвестра.Определение евклидова пространства. Скалярное произведение в евклидовом пространстве.814. Неравенство Коши - Буняковского.

Длины векторов и углы между векторами в евклидовом пространстве.15. Матрица Грама скалярного произведения. Критерий матрицы Грама.Преобразование матрицы Грама при замене базиса. Процесс ортогонализации базиса.Рекомендуемая литература1. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. 304 с.2.