zeta (Фазовая структура модели Гросса), страница 4

На интервале 0 < x < 1воспользуемся свойством симметрии функции I(x), тогда(68)b̃ = 4x exp (I(1/2x) − I(1/x)/2) ,ã = b̃/x.Качественный вид фазовой кривой представлен на рис. 1. Будем считать bобратной длиной пространственного измерения, по которому наложены периодические условия, а a — температурой (напомним, что в модели Гросса—Неве мацубаровское суммирование идет по нечетным частотам).

Основной результат состоит17ãã4σc = 0σc = 0σc = 04σc = 0b̃Рис. 1. Фазовая диаграмма в случаеантипериодических условий по координате(mod 2π/a) и периодических условийпо координате (mod 2π/b)4b̃Рис. 2. Фазовая диаграмма в случаеантипериодических условийпо обеим координатамв том, что для любой длины пространственного измерения имеется фазовый переход. Если температура ниже температуры фазового перехода, то σc = 0, если жевыше, то σc = 0. В пределе бесконечного объема (b̃ → 0) имеем связь температурыфазового перехода с массой фермиона M = πTф e−γ . В отличие от трехмерного случая картина совершенно не зависит от значения константы связи.

При измененииконстанты связи рис. 1 только масштабируется.Аналогично рассматривается случай полностью антипериодических граничныхусловий. Уравнение фазовой кривой имеет вид:(69)lnb̃ 5− I(b̃/ã) + I(2b̃/ã) + I(b̃/2ã) = 04 2В параметрической форме(70)b̃ = 4 exp5I(x)−I(2x)−I(x/2),2ã = b̃/xВ этом случае фазовая кривая симметрична относительно замены a на b, поэтомудостаточно построить ее для x > 1. Качественная картина представлена на рис. 2.Придерживаясь прежней интерпретации a и b, мы видим, что, в случае антипериодических условий по пространственной координате, существует критическаядлина L = (π/M )e−γ .

Если длина пространственного измерения больше критической, то существует фазовый переход. При температурах ниже температурыфазового перехода σc = 0, выше σc = 0. Если же длина пространственного измерения меньше критической, то всегда σc = 0. В пределе бесконечного объема (b̃ → 0)связь температуры фазового перехода с массой фермиона M = πTф e−γ та же, что ив предыдущем случае, что не удивительно, ибо в этом пределе граничные условияпо пространственной координате не играют роли.18А.

С. ВШИВЦЕВ, А. Г. КИСУНЬКО, К. Г. КЛИМЕНКО, Д. В. ПЕРЕГУДОВ10. ЗаключениеВ работе построена регулярная процедура описания свойств эффективных потенциалов теорий на двумерных решетках. Способ описания основывается на использовании свойств дзета-функции Римана—Эпштейна и ее аналитическом продолжении, а также обобщении как ранее рассмотренных результатов [13,17], так ипостроенных новых точных функциональных соотношений типа маделунговских.Использование теоретико-числовых свойств дзета-функции позволило единым образом учесть различные типы граничных условий. Следует указать, что различные типы граничных условий можно поставить в соответствие либо конечномуобъему системы, либо введению такого важного физического параметра, как температура. Отметим также, что в физике твердого тела, например, для электронапроводимости в магнитном поле используется спектр вида [14](71)ε = A1 cos kx ax + A2 cos ky ay ,то есть двоякопериодическая решетка.

Таким образом, рассмотрение двоякопериодической структуры, проведенное в настоящей работе, возможно будет перенестии на другие задачи, используя развитый выше аппарат. На основе предложенной процедуры проведено исследование фазовой структуры модели Гросса—Неве вдвумерии на торе. Проведенный анализ модели показывает, что в случае нетривиальной топологии тора в отличие от непрерывного имеет место спонтанное нарушение симметрии в системе. Также отличительной чертой двумерия с нетривиальной топологией от трехмерия состоит в том, что фазовая картина не зависитот константы связи при смешанных граничных условиях.Таким образом, наше рассмотрение показывает, что наличие нетривиальной топологии, которое может быть обусловлено различной физической природой — температурой, конечными размерами системы, периодической зависимостью спектраот импульса [14] и другими эффектами может привести к изменению физическинаблюдаемых — генерации массы в модели Гросса—Неве.

Все это указывает нанеобходимость детального изучения “простых” моделей на которые обращалосьвнимание в ряде работ [1,5,9,12] и интерес к которым не иссяк и в настоящее время.Литература1. А. М. Поляков, Калибровочные поля и струны, ИТФ им. Л. Д. Ландау, 1995.2. X. Endoh et al, Phys. Rev. B37 (1988), 7443;R. J. Birgenem et al, Phys. Rev. B38 (1988), 6614.3. E. Fradkin, M. Stone, Phys. Rev. B38 (1988), 7215;X. G. Wen, A. Zec, Phys.

Rev. Lett. 61 (1988),1025.4. S. Chakravarty, B. I. Halperin, D. R. Nelson, Phys. Rev. Lett. 60 (1988), 1057.5. А. И. Ахиезер и др., Спиновые волны, М. Наука, 1967.6. И. Я. Арефьева, Вопросы квантовой теори поля и статистической физики (записки научныхсеминаров ЛОМИ), Л.: ЛОМИ, 1978, т. 77;I. Ya. Aref’eva, S. I. Azakov, Nucl.

Phys. B162(1980), 298.7. V. A. Novikov, M. A. Shifman, A. I. Vainstein and V. I. Zacharov, Phys. Rep. 1984 (116), 103.8. И. В. Криве, С. А. Нафтулин, ЯФ 52 (1990), no. 3(9), 855.9. I. Dzialoshinsky, A. M. Polyakov, P. Wiegmann, Phys. Lett. 127A (1988), 112;A. M. Polyakov,Mod. Phys. Lett. A3 (1988), 325.10. P. Wiegmann, Phys. Rev. Lett. 60 (1988), 821.1911. Э.

Маделунг, Математический аппарат физики, М.: Наука, 1968.12. В. М. Мостепаненко, Н. Н. Трунов, Эффект Казимира и его приложения, М. 1990.13. E. Elizalde, K. Kirsten, Topological symmetry breaking in self-interacting theories on toroidalspace-time, J. Math. Phys. 35(3) (1994), 1260–1273;E. Elizalde, An extension of the Chowla—Selberg formula useful in quantizing with the Wheeler—De Witt equation, J. Phys. A: Math. Gen.27 (1994), 3775–3785;E.

Elizalde and A. Romeo, Epstein function analysis of the Casimir effectat finite temperature for massive fields, unpublished or preprint?14. З. И. Боревич, И. Р. Шафаревич, Теория чисел, М.: Наука, 1985.15. И. М. Виноградов, Основы теории чисел, М.: Наука, 1965.16. C. A. Lütken and F.

Ravndal, A symmetry in the finite-temperature Casimir effect, J. Phys. A:Math. Gen. 21 (1988), L793–L796.17. А. С. Вшивцев, В. Ч. Жуковский, Рекуррентные соотношения для обобщенных функцийтипа дзета-функций Римана-Эпштейна, Вестн. Моск. ун-та. Сер. 3, Физика, Астрономия35 (1994), no. 1, 32–38.18.

F. Bloch, Ztschr. Phys. 52 (1928), 555.Московский институт радиотехники, электроники и автоматики (технический университет)117454, Проспект Вернадского, 78, Москва, Россия.