zeta (Фазовая структура модели Гросса)

ФАЗОВАЯ СТРУКТУРА МОДЕЛИ ГРОССА—НЕВЕ С УЧЕТОМВЛИЯНИЯ ТЕМПЕРАТУРЫ И КОНЕЧНОГО ОБЪЕМАА. С. Вшивцев, А. Г. Кисунько, К. Г. Клименко, Д. В. ПерегудовАннотация. В работе предложена регулярная процедура (основанная на использовании дзета-функции Римана—Эпштейна) вычисления эффективного потенциаламодели Гросса—Неве на двумерной решетке с различными типами граничных условий, моделирующими эффекты конечного объема и температуры. Для разных типовграничных условий построены эффективный потенциал и фазовые структуры модели.

Показано, что в двумерии (в отличие от трехмерного случая) фазовая картинане зависит от константы связи.1. ВведениеИзучение нелинейных моделей теории поля, в частности σ-модели и ее модификаций: CP N−1 -модели, суперсимметричной σ-модели и др., имеет под собойсерьезные причины и историю [1]. С одной стороны использование моделей такогорода (σ-модель в 2 + 1-мерном пространстве-времени) при описании планарногоантиферромагнетизма у высокотемпературных сверхпроводников в несверхпроводящей фазе [2].

При этом исследования различных авторов [1,3] указывают насвязь результатов, получаемых в решеточных моделях и их предельных непрерывных случаях (длинноволновый предел). Этот предел можно поставить в соответствие континуальной квантовой модели антиферромагнитного спинового взаимодействия. Для О(3) σ-модели в работе [4] в двумерии устанавливалась связь снейтронными экспериментами на La2 CuO4 . Кроме того, лагранжиан этой моделис учетом слагаемых, нарушающих симметрию, успешно используется для описания основного состояния неелевского антиферромагнетика и возникающих над нимнизкоэнергетических возбуждений — спиновых волн [5].С другой стороны, двумерная σ-модель перенормируема [6] и обладает рядомсвойств, имеющих аналоги в квантовой хромодинамике (инстантоны, асимптотическая свобода, динамический механизм нарушения симметрии и др.) [7].

Этотаспект данной модели определяет интерес к ней физиков, интересующихся элементарными частицами и проблемами физики высоких энергий, в частности, моделямиадронов. Заметим, что основной акцент в исследовании этих моделей был сделанна изучении изменения свойств системы при изменении размерности, а также решении проблемы перенормируемости. Также проводились исследования по учетуконечной температуры и некоторых типов внеших полей [8].Вместе с тем, существует еще один аспект в изучении моделей такого рода —исследование влияния топологии (и этот факт отмечался еще в работах [9,10]). ВTypeset by AMS-TEX12А.

С. ВШИВЦЕВ, А. Г. КИСУНЬКО, К. Г. КЛИМЕНКО, Д. В. ПЕРЕГУДОВэтих работах указывалось на роль топологии для СРN−1 -моделей в описании явления сверхпроводимости в CuO смесях. При этом рассмотрение даже простейшегодвумерного варианта теории с различными граничными условиями оказываетсявесьма интересным с физической точки зрения, так как мы имеем топологию тора, а различные граничные условия либо соответствуют учету конечного объемасистемы, либо позволяют ввести температуру.С учетом сказанного, нашей задачей будет описание общей процедуры, основанной на вычислении дзета-функции Римана—Эпштейна, которая позволяет учитывать различные топологии простого типа при вычислении термодинамического иэффективного потенциалов, необходимых для описания широкого класса свойствизучемых систем.

Наш подход существенным образом использует теоретико-числовые свойства дзета-функции Римана—Эпштейна. Это дает возможность получить ряд точных функциональнах соотношений, которые охватывают все типыграничных условий. Заметим, что полученные нами соотношения пока распространены на двумерную решетку и дают обобщения таких хорошо известных вфизике твердого тела соотношений как формулы Маделунга [11]. Вместе с темобласть возможного приложения полученных нами результатов не ограничиваетсярассмотренным в работе примером.Имеется ряд моделей теории поля, которые приводят к задаче о вычислениидзета-функции оператора Гельмгольца на пространстве типа T n ×Rm . В настоящей работе мы также посвятим некоторое внимание разработке методов вычисления дзета-функции оператора Гельмгольца на пространстве T 2 ×Rλ−2 и применимэти методы к исследованию модели Гросса—Неве.Обычно в теории поля используется тот или иной вариант петлевого разложения.

При этом “однопетлевой” член представляет собой логарифм регуляризованного детерминанта оператора квадратичной формы “свободного” лагранжиана.Часто этот оператор является оператором Гельмгольца, поэтому встает задача овычислении логарифма регуляризованного детерминанта оператора Гельмгольца.Как известно, вычисление и регуляризацию удобно производить, используя дзетафункцию соответствующего оператора.Помимо уже упомянутой модели Гросса—Неве, можно привести другие примеры систем, которые приводят к задаче о вычислении дзета-функции оператораГельмгольца.

Среди них можно назвать эффект Казимира при конечной температуре [12], топологическое нарушение симметрии и топологическую генерациюмассы, топологическую генерацию члена Черна—Саймонса в трехмерных калибровочных теориях, модели квантовой гравитации в пространствах с топологиейтора.2. Эффективный потенциал и дзета-функцияВ этом разделе мы изложим связь эффективного потенциала с дзета-функцией.Пусть A — оператор c положительно определенными собственными значениями, λn — его собственные значения. Эффективным потенциалом будем называтьвыражение(1)VA =nln λn3Конечно, часто такое выражение расходится, поэтому под эффективным потенциалом понимается некоторая его регуляризация. Ее удобно произвести, введядзета-функцию оператора Aλ−s(2)ζA (s) =nnЕсли λn достаточно быстро стремятся к бесконечности с ростом n (например,для оператора Гельмгольца λn ∼ n2 ), то при достаточно большой s ряд сходится.

Учитывая формулу (ax ) = ax ln a, будем понимать расходящееся выражениедля VA как предел при s → 0 производной от ζA (s):(0)VA = −ζA(3)В квантовой гравитации эта формула служит основой метода регуляризации припомощи дзета-функции. Поскольку при s = 0 ряд для дзета-функции заведоморасходится, мы сталкиваемся здесь с примером так называемой аналитическойрегуляризации. В отличие от регуляризации, скажем, Паули-Вилларса, когда регуляризованное выражение определено при всех значениях регулятора M , а приM → ∞ расходится, при нашей регуляризации дзета-функция определена толькодля s с достаточно большой вещественной частью, то есть начинает расходитьсязадолго до s = 0.

Поэтому существенную роль играет аналитическое продолжениедзета-функции.Следует отметить отличие нашего подхода от подходов других авторов, в частности, [13]. Мы с самого начала концентрируемся на простейшей дзета-функции,соответствующей оператору Лапласа на двумерном торе — дзета-функции Эпштейна(4)Z(a, b; s) =+∞(a2 n2 + b2 m2 )−s ,m,n=−∞(m,n)=(0,0)— выражая через нее эффективный потенциал оператора Гельмгольца с помощьюинтегрального преобразования и учитывая различные (периодические и антипериодические) граничные условия комбинированием дзета-функций от разных параметров. Авторы работ [13] с самого начала рассматривают общий случай оператора Гельмгольца с произвольными граничными условиями, что делает формулыгромоздкими и практически не позволяет продвинуться в их анализе. Нам удалось существенно продвинуться в вычислении частных значений дзета-функцииЭпштейна.подобным результатоммаделунговская∞является Наиболее2 известным2 −snсумма (m,n)=(0,0) (m +n ) = 4ζ(s)β(s), где β(s) = n=1 (−1) (2n+1)−s .

Поэтому область применения найденных формул для частных значений дзета-функцииЭпштейна не ограничивается теорией поля на торе, они могут оказаться полезными в других моделях, в частности, в физике твердого тела.Дальнейшее изложение строится следующим образом. В разделе 3 подробно вычисляется эффективный потенциал оператора Гельмгольца на цилиндре S 1 ×Rλ−1 .Результаты этого вычисления в некоторых случаях были ранее получены некоторыми авторами иными способами.

Цель раздела 3 — на простом примере изложитьА. С. ВШИВЦЕВ, А. Г. КИСУНЬКО, К. Г. КЛИМЕНКО, Д. В. ПЕРЕГУДОВ4приемы, которые непосредственно переносятся на более сложный случай в разделе 4. Там мы рассматриваем оператор Гельмгольца на торе T 2 ×Rλ−2 и показываем, что вычисление эффективного потенциала в случаях периодических и антипериодических граничных условий сводится к изучению дзета-функции Эпштейна.В разделе 5 производится аналитическое продолжение дзета-функции Эпштейнаспособом, аналогичным продолжению дзета-функции Римана. Это приводит наск функциональному уравнению и позволяет сразу вычислить ряд частных значений дзета-функции.

Однако у полученной в разделе 5 формулы аналитическогопродолжения есть недостаток — она явно симметрична по a и b, что затрудняетпостроение асимптотики a b. Поэтому в разделе 6 мы строим другое аналитическое продолжение дзета-функции Эпштейна, которое дает удобную асимптотическую формулу при a b. В разделе 7 мы приводим формулы для частныхзначений дзета-функции Эпштейна при некоторых соотношениях между a и b.Основной идеей является факторизация двукратного ряда, входящего в определение дзета-функции Эпштейна, так что она в существенном представляется в видепроизведения обычной дзета-функции Римана на так называемые L-функции Дирихле.