y-m (Поля Янга-Миллса с внешним током)

ПОЛЯ ЯНГА—МИЛЛСА С ВНЕШНИМ ТОКОМА. С. Вшивцев и Д. В. ПерегудовАннотация. В работе рассмотрена процедура квантования неабелевой калибровочной теории с лагранжианом1 a µνL = − FµνFa + Jaµ Vµa4вблизи нетривиального классического решения. Проведена классификация теорий повнешнему току. Построен и исследован глюонный пропагатор в модельном сферически симметричном неабелевом поле.1. Введение.Работа посвящена применению метода канонического квантования к одной частной модели теории поля.

Метод канонического квантования был впервые сформулирован Дираком в 1925 г. [1]. В 1950 г. [2] Дирак распространил его на теории сосвязями, заложив основы так называемого обобщенного гамильтонова формализма. После появления неабелевых калибровочных теорий в 1954 г. [3] метод нашелсебе нетривиальное применение. Хотя уже в 1967 г. Фаддеев и Попов [4] указаливид производящего функционала функций Грина для полей Янга—Миллса, тольков 1969 г. Фаддеев [5] внес полную ясность, рассмотрев проблему с гамильтоновойточки зрения. Изложению современного понимания метода канонического квантования посвящена книга [6].С идейной стороны предлагаемая работа близка к работам по квантованию калибровочных теорий в окрестности внешних полей различной конфигурации.

Первой по праву следует назвать работу Саввиди [7] (с добавлениями Нильсена иОлесена [8], см. также Скалозуба [9]). Позднее были предложены другие внешниеполя [10], в частности, так называемое поле “3λ” (см., например, [11], где рассматривается теория при ненулевой температуре). Отличительной особенностью этихполей является то, что они не удовлетворяют уравнениям Янга—Миллса, поэтомуканоническая процедура построения теории возмущений на фоне внешнего полянеприменима.

Браун и Вайсбергер [10] первыми написали модифицированный лагранжиан поля Янга—Миллса с внешним током. В качестве исходного пункта припостроении теории такой лагранжиан рассматривали Кабо и Шабад [12]. В настоящей работе подробно анализируется гамильтонова структура теории с внешнимАвторы выражают благодарность А.

В. Борисову и И. В. Тютину за полезные замечания иобсуждение, а также А. А. Славнову, В. Ч. Жуковскому и В. В. Владимирскому за внимание кработе.1Typeset by AMS-TEX2А. С. ВШИВЦЕВ И Д. В. ПЕРЕГУДОВтоком. Оказывается, что безобидный на первый взгляд лагранжиан приводит(в зависимости от структуры внешнего тока) к четырем разным гамильтоновымтеориям, которые различаются, помимо прочего, по числу физических степенейсвободы. В настоящей работе наиболее подробно исследованы неабелевы внешниеполя без нулевой компоненты (к этому типу относится поле “3λ”).Квантование калибровочной теории в окрестности внешнего поля, являющегосярешением классических уравнений Янга—Миллса:µν∇abµ Fb = 0,было подробно рассмотрено в работе Арефьевой, Славнова и Фаддеева [17].

Подчеркнем еще раз, что целью нашей работы является квантование калибровочнойтеории в окрестности внешнего поля, удовлетворяющего классическим уравнениямЯнга—Миллса с ненулевым током:µνν∇abµ Fb = −Ja .Обычно в теории поля КЭД те или иные конфигурации полей полностью характеризовались двумя инвариантами Fµν F µν и Fµν F̃ µν (где F̃µν = εµνλσ F λσ ), приэтом сами поля удовлетворяли уравнениям Максвелла, в правой части которыхмог быть ток J. (На него накладывалось условие непрерывности, отвечающее сохранению заряда системы). Так как в КЭД любой ток можно задать “руками”,то проблемы с конструированием полей не возникало и считалось, что любые полямогут быть смоделированы. Это первое обстоятельство, которое существеннымобразом отличает КЭД от КХД, где задача моделирования полей не столь тривиальна, так как мы пока (а может и вообще, в силу гипотезы конфайнмента) неможем задавать токи в правой части уравнений Янга—Миллса, а соответственно и конфигурации полей.

Другим не менее важным обстоятельством являетсясуществование девяти инвариантов в теории Янга—Миллса [10,13,14], которые,как будет показано в настоящей работе, не только не фиксируют структуры поля (ввиду неоднозначности Ву и Янга [15]), но и, отвечая решениям уравненийЯнга—Миллса с током в правой части, могут относится к разным калибровочнонеэквивалентным физическим теориям.

Последнее обстоятельство весьма важно,так как ставит вопрос о том, какова физическая реализация, отвечающая той илииной конфигурации неабелева поля. Ответ на этот вопрос лежит не в заданиивектор-потенциалов поля, а в точном указании (предъявлении) полного лагранжиана, в рамках которого эти конфигурации полей возникают в качестве решенийклассических полевых уравнений движения. Решение поставленной задачи можетбыть осуществлено проведением процедуры канонического квантования одной измоделей теории поля с током.В работе рассматривается модель векторного поля Vµa (x) с лагранжианом (см.

[12]):(∗)1 a µνFa + Jµa Vaµ ,L = − Fµν4a = 1, 2, 3,aгде Fµν= ∂µ Vνa − ∂ν Vµa + gεabc Vµb Vνc . Рассматривается проблема квантования указанной модели во внешнем поле, то есть вблизи нетривиального решения Aaµ (x)классических лагранжевых уравнений. Ток J связан с полем A равенством:ab∇µ F̄bµν = −Jaν .ПОЛЯ ЯНГА—МИЛЛСА С ВНЕШНИМ ТОКОМ3(В величинах с чертой буква V заменена на букву A).Целями настоящей работы являются:(1) проведение процедуры последовательного квантования модели (*),(2) исследование свойств глюонных пропагаторов в поле “3λ”.Несколько слов о дальнейшем изложении.

Раздел 2 посвящен построению обобщенного гамильтонова формализма для модели (*). При этом естественно возникает классификация теорий по внешнему току, включающая четыре случая. Дляодного из них (назовем его “простым”, подробнее смотри пункт 2а) произведено тщательное построение гамильтонова формализма, для остальных приведенылишь результаты.“Простой” случай подвергнут квантованию в разделе 3. Там приведен анализсвободной теории, явно построены для нее физические переменные. Получено выражение для производящего функционала функций Грина.В разделе 4 этот производящий функционал раскладывается по теории возмущений.

Решаются (в общем виде) уравнения для пропагаторов. Явному вычислениюпропагаторов в поле “3λ” посвящен раздел 5.Обозначения. Одно обозначение уже было использовано — это буквы с чертойнаверху, что означает замену поля V на внешнее поле A. Наряду с полнымиобозначениями (типа Vµa ) широко используются сокращенные, в которых опущены изотопические индексы (Vµ , Fµν , . . .

). Изотопические векторы и изотопичеµские операторы различаются по контексту. Так, записи ∇ab ξµb соответствует проµсто ∇ ξµ , “скалярному произведению” ξa Mab ηb — запись ξ M η. Принято специальное обозначение для операторов, соответствующих векторам — они обозначаются шляпками:(Â)ab = gεacb Ac .Некоторые конкретные равенства:∇µ = ∂µ + V̂µ ,Для операторов умножения:Fµν = ∂µ Vν − ∂ν Vµ + V̂µ Vν .ÂB̂ − B̂ Â = (ÂB).Все операторы (даже интегральные) записываются как операторы умножения.2.

Обобщенный гамильтонов формализм.а) Обобщенный гамильтонов формализм в (“простом”) случае J0 = 0,∂0 Jk = 0, Jka = Jk la . Будем строить для модели (*) гамильтонов формализм всоответствии с [6]. Как известно, для этого нужно ввести сопряженные к Vµaпеременные Eνb , то есть задать фундаментальные скобки Пуассона: aEµ (x, t), Vνb (y, t) = gµν δ ab δ(x − y).Исключение скоростей V̇µa производится при помощи равенствEµa =∂L.∂ V̇aµ4А. С. ВШИВЦЕВ И Д.

В. ПЕРЕГУДОВДифференцирование дает:Ek = Fk0 = ∇k V0 − V̇kE0 = 0.Верхние равенства позволяют исключить скорости V̇ka , нижние представляют собой первичные связи: ϕ = E0 .Гамильтониан определим равенством: 2E + B23µ3µk− Jµ V − V0 (∇ Ek ) ,= d xH = d x Eµ V̇ − L 2ϕ=0где E 2 = −Ek E k , B 2 = 12 Fkn F kn . Тогда уравнения движения имеют вид:η̇ = {H, η} + d3 x ua (x) {ϕa (x), η}ϕ = 0,где ua (x) — 3неопределенные функции. С помощью обобщенного гамильтониана∗H = H + d x ua ϕa уравнения движения можно переписать в виде:η̇ = {H ∗ , η}ϕ = 0.Эти уравнения порождают ряд условий непротиворечивости, когда мы приравниваем нулю производные ϕ̇, ϕ̈ и т. д.

Такие условия интерпретируются каквторичные связи. Выявим их.{H ∗ , ϕ} = ∇k Ek = χОчевидно, χ — новые связи. Их простой вид обусловлен требованием J0 = 0.k E )V .{H ∗ , χ} = ∇k Jk + (∇k 0Новые связи ψ = ∇k J k . Они независимы в силу условия Jµa = Jµ la .{H ∗ , ψ} = −Jˆk (∇k V0 − E k ) = −ω.{H ∗ , ω} = (Jˆk ∇k )u + (что-то от E и V ).Обозначим M = Jˆk ∇k и предположим Det M = 0. Это естественное предположение(оно имеется уже у Кабо и Шабада [12]), так как M может оказаться необратимым лишь на множестве исключительных функций Vµa (x). При построении теориивозмущений нужно только проследить, чтобы M был обратим при подстановке внего внешнего поля. Тогда условия {H ∗ , ω} = 0 не порождают новых связей, ноопределяют все три коэффициента ua .

Отметим еще, что M симметричен в силусвязей ψ = 0. Действительно:kˆ kˆ kM† = ∇k Jˆk = Jˆk ∇k + (∇k J ) = Jk ∇ + ψ̂ = Jk ∇ = M .ПОЛЯ ЯНГА—МИЛЛСА С ВНЕШНИМ ТОКОМИтак, полная система связей:5ϕ = E0 χ = ∇ Ekkψ = ∇k J kω = Jˆk (∇k V0 − E k ).Скобки Пуассона связей (обозначено Ψ = {ϕ, χ, ψ, ω}):000M† (x)? 0?M† (x) δ(x − y){Ψ(x, t), Ψ(y, t)} = 0− M(x)0? − M(x)???(здесь ? — несущественные для дальнейшего части). Det{Ψ, Ψ} = Det4 M = 0, такчто мы имеем дело со связями второго рода.Оставим явную гамильтонизацию теории до раздела 3, а сейчас вспомним обусловиях, наложенных с самого начала на ток J.б) Классификация теорий по внешнему току.

В пункте а) мы не обсуждалисмысла наложенных на J условий, хотя было видно, что они играют значительнуюроль при построении формализма. Это построение осуществляется совершенноразличным образом в зависимости от структуры тока, причем выделяются четыреслучая.Назовем ток Jµa (x) абелевым, если Jµa (x) = Jµ (x)la (x), l2 = 1.Если J0a (x) = 0, будем говорить об отсутствии заряда.Ниже приводится таблица, в которой указано “число связей первого рода” +“число связей второго рода” для всех четырех типов гамильтонова формализма.токабелевнеабелевс зарядом2+60+10без заряда2+80+12Сделаем несколько замечаний.