circ (Вращение плоскости поляризации волн в анизотропных средах)

ВРАЩЕНИЕ ПЛОСКОСТИ ПОЛЯРИЗАЦИИВОЛН В АНИЗОТРОПНЫХ СРЕДАХА. С. Вшивцев, Д. В. Перегудов, А. В. ТатаринцевАннотация. Для анизотропных сред с различными типами симметрии сформулированы условия, при которых наблюдается вращение плоскости поляризации волн.Полученные результаты могут представлять интерес при решении обратной задачипостроения моделей геофизических сред по наблюдаемому эффекту вращения плоскости поляризации.ВведениеМногие процессы в окружающем нас мире имеют волновую природу. Распространение волн в твердых телах описывается основным уравнением теории упругости [1–2]:∂2(1)δik 2 − cijkl ∇j ∇l uk = 0.∂tЗдесь uk (x, t) — вектор смещения, а cijkl — так называемый тензор Гука, характеризующий упругие свойства среды.

Он удовлетворяет условиям симметрии:cijkl = cjikl = cklij ,что позволяет трактовать уравнение (1) как лагранжево с лагранжианомL=11 ∂ui ∂ui+ cijkl εij εkl ,2 ∂t ∂t2где εij = 12 (∇i uj +∇j ui ) — тензор деформаций. Кроме того, на cijkl накладываетсяусловиеcijkl εij εkl > 0положительной определенности потенциальной энергии упругой деформации. Решения уравнения (1) и построение функции Грина этого уравнения детально обсуждались в работе [17] (см.

также цитированную там литературу). Существенную роль при этом играла лагранжевость уравнения (1) (эрмитовость входящегов него дифференциального оператора).Авторы считают своим приятным долгом выразить благодарность В. А. Магницкому, А. А. Гвоздеву и S. Treitel за интерес к работе и обсуждения.The research described in this publication was made possible in part by Grant № MRU300 fromInternational Science Foundation and Russian Government.1Typeset by AMS-TEXА. С.

ВШИВЦЕВ, Д. В. ПЕРЕГУДОВ, А. В. ТАТАРИНЦЕВ2В настоящей работе мы предлагаем обобщение уравнения (1):(2)∂2δik 2 − cijkl ∇j ∇l + 2ηikl ∇l uk = 0,∂tкоторое, как будет показано, содержит новые эффекты. В “технических” целях ииз эвристических соображений мы хотели бы сохранить лагранжевость, поэтомупотребуем ηikl = −ηkil ; тогда ηikl сводится к тензору более низкого ранга:ηikl = εikm ΩmlВпервые уравнение (2) было рассмотрено в работе [3].

Появление дополнительногослагаемого может быть объяснено в рамках теории эффективных сред и связаннойс ней процедурой осреднения, а также с учетом неоднородности среды и наличиемвнешних гиротропных сил.Импульсное представление и спектральная задачаАнализ уравнения (2) легче производить в импульсном представлении.

Будемискать решения (2) в виде:ui (x, t) = Ui e−iωt+ikx .Тогда (2) примет вид алгебраической задачи на собственные значения:(3)(ω 2 δik − Rik )Uk = 0,где Rik = 2ik(εikm Ωml )nl + k 2 Γik , Γik = cijkl nj nl — тензор Грина—Кристоффеля,ni = ki /k —вектор волновой нормали. В силу сделанных предположений матрица R̂ является эрмитовой, и к решению задачи (3) применима техника, развитаяв [17]. Правда, собственные векторы U(a) не могут теперь быть выбраны вещественными (по крайней мере все три сразу). Они имеют вид:U(a) = V(a) + iW(a) ,где V и W — вещественные неколлинеарные векторы.

Это соответствует эллиптической поляризации волн. Однако из собственных векторов по-прежнему можносоставить ортонормированный базис:(4)(a)(b)(Ui )∗ Ui= δ ab ,а для построения функции Грина применим метод проекционных операторов.Вращение плоскости поляризацииПод вращением плоскости поляризации обычно понимают следующее. Пусть всреде распространяется плоская монохроматическая волна (то есть фиксированычастота и направление волнового вектора, но не фиксированы его модуль и поляризация). Пусть в некоторой точке пространства колебания происходят вдольВРАЩЕНИЕ ПЛОСКОСТИ ПОЛЯРИЗАЦИИ3какого-либо определенного направления (линейная поляризация). Если при сформулированных условиях колебания во всех остальных точках пространства такжепроисходят вдоль определенных направлений, но сами направления меняются отточки к точке, то говорят о вращении плоскости поляризации.Для получения этого эффекта нужно, чтобы решениями спектральной задачи (3)были поляризованные по кругу волны с разными волновыми векторами и совпадающими плоскостями поляризации.

Именно такова ситуация в электродинамике,где при определенных условиях решениями спектральной задачи для уравненийМаксвелла являются волны правой и левой круговых поляризаций, а сам эффектносит имя Фарадея [5,6]. Теория упругости сложнее тем, что спектральная задача (3) имеет три решения. В силу (4) мы не можем требовать совпадения плоскостей поляризации всех трех волн, а только двух из них.Покажем, что уравнение (2) описывает эффект вращения плоскости поляризации. Потребуем совпадения плоскостей поляризации двух решений спектральнойзадачи (3). В силу (4) третий собственный вектор U(3) ортогонален этой плоскостии может быть выбран вещественным. Спектральная задача для U(3) распадаетсяна два уравнения:(3)= 0,(3)= 0.εikm (Ωml nl )Uk(ω 2 δik − Γik )Uk(3)Первое из них означает, что Uk ∼ Ωkl nl , тогда второе дает искомый критерий:уравнение (2) описывает вращение плоскости поляризации, если для некоторого ωвыполняется соотношение:(5)(ω 2 δik − Γik )Ωkl nl = 0.Мы в состоянии продвинуться в анализе еще дальше, если, пользуясь известным нам собственным вектором U(3) , совершим редукцию спектральной задачи.Спроецируем R̂ на плоскость, перпендикулярную вектору U(3) .

Выберем в этойплоскости базис из собственных векторов Γ̂. В этом базисе Γ̂ будет диагональна:Γ̂ =v12 (n)020v2 (n),где v1 (n) и v2 (n) — скорости волн в обычной теории. Антисимметричная матрицаεikm (Ωml nl ) характеризуется единственным отличным от нуля элементом:0Ω(n)−Ω(n)0.Иначе говоря, матрица R̂ приобретает вид:R̂ =k 2 v12 (n) 2ikΩ(n)−2ikΩ(n) k 2 v22 (n).4А. С. ВШИВЦЕВ, Д. В. ПЕРЕГУДОВ, А.

В. ТАТАРИНЦЕВМы можем тут же выписать ее собственные значения:2222ω1,2 = 12 k (v1 (n) + v2 (n)) ± k 16Ω2 (n) + k 2 (v12 (n) − v22 (n))2 .Выражение для ω2 таково, что всегда существует область импульсов с ω22 < 0.Мнимая частота интерпретируется как нарушение устойчивости среды по отношению к данному типу возмущений. Это принципиальное свойство рассматриваемой модели; мы не можем избавится от него, не потеряв одновременно вращенияплоскости поляризации.Собственные векторы для произвольного направления распространения отвечают эллиптически поляризованным волнам; эффекта вращения плоскости поляризации обычно не наблюдается.

Однако для акустических осей кристалла, когдаv1 (n) = v2 (n), собственные векторы соответствуют волнам правой и левой круговых поляризаций и эффект вращения плоскости поляризации имеет место (вполной аналогии с электродинамикой, см. [5]). Количество и расположение акустических осей в кристаллах различной симметрии обсуждались в работе [18].В своем “чистом” виде вращение плоскости поляризации будет наблюдаться, когда колебания поляризованы в плоскости, перпендикулярной U(3) . В каждой точкепространства колебания будут происходить вдоль какого-то направления, а самонаправление будет меняться от точки к точке.

Если же в некоторой точке пространства существует также U(3) -составляющая вектора смещения, то колебанияв этой и других точках будут эллиптическими. Плоскость поляризации колебанийбудет проходить через вектор U(3) и поворачиваться от точки к точке.Уравнение (5) имеет два очевидных решения, которые мы и обсудим ниже.Изотропная средаТензор Гука изотропной среды строится из δ-символов и с учетом свойств симметрии имеет вид:cijkl = λδij δkl + µ(δik δjl + δil δjk ).Одним из собственных векторов тензора Грина—КристоффеляΓik = µδik + (λ + µ)ni nkбудет вектор волновой нормали n. Очевидно, мы удовлетворим критерию (5),если возьмем Ωkl = Ωδkl (впервые эта модель была предложена в [3]).

Поставимспектральную задачу:(6)(ω 2 δik − Rik )Uk = 0,Rik = k 2 (vt2 δik + (vl2 − vt2 )ni nk ) + 2ikΩεikl nl .(vl2 = λ + 2µ и vt2 = µ — квадраты скоростей продольной и поперечной волн вобычной теории.) Как уже отмечалось, одним из ее решений является U(3) = n (ссобственным значением ω 2 = k 2 vl2 ). Два оставшихся решения могут быть описаныследующим образом. Введем единичные векторы l и m, так√ что l, m, n составляют правую тройку.