Шпоры для РК (Механика, колебания)

2) Кинематика точки.

Кинематика изучает движение тел, не интересуясь причинами, обуславливающими это движение.

Тело, размерами которого в условиях данной задачи можно пренебречь, называется материальной точкой.

Материальная точка при своем движении описывает некоторую линию, которая называется траекторией.

Одна из хар-ик траектории – ее кривизна С=lim /s, при s0.

Радиус кривизны – величина, обратная С.

Расстояние между начальной и конечной точками движения, отсчитанное вдоль траектории, называется путем, пройденным частицей.

Прямолинейный отрезок, проведенный из точки начала движения в точку конца движения, называется перемещением частицы.

Перемещение – вектор характеризуется численным значением и направлением.

Если за равные, сколь угодно малые промежутки времени частица проходит одинаковые пути, то движение частицы называют равномерным.

Вектор скорости направлен по касательной к траектории.

Величина, равная пределу отношения изменения скорости ко времени, при t0, называется ускорением.

Составляющая вектора ускорения, направленная по касательной к траектории движения, называется тангенциальным ускорением.

Составляющая вектора ускорения, направленная по нормали к траектории движения, называется нормальным ускорением.

Динамика мат. Точки. Силы.

1) Совокупность тел, выделенная для рассмотрения, называется механической системой.

Система тел, взаимодействующих только между собой, называется замкнутой.

Центром масс тела называется точка С, положение которой определяется радиус-вектором r: r=(m_ir_i/m_i).

Центр масс твердого тела движется так, как двигалась бы материальная точка с массой, равной массе тела, под действием приложенных к телу сил.

1) Момент силы.

l=r*sin называется плечом силы относительно точки О.

Две равные по величине противоположно направленные силы, не действующие вдоль одной прямой, называются парой сил.

Расстояние между прямыми, вдоль которых действуют силы, называется плечом пары.

Момент импульса материальной точки и механической системы.

Момент импульса относится к одному из трех аддитивных интегралов движения.

Для отдельно взятой частицы моментом импульса относительно точки О называется псевдовектор M=[r,p]=[r,mv].

Моментом импульса системы относительно точки О называется векторная сумма моментов импульсов частиц, входящих в систему.

Проекция вектора момента импульса на некоторую ось z называется моментом импульса частицы относительно этой оси.

Основное уравнение динамики вращательного движения

M=I*(dw/dt)

Р абота и кинетическая энергия.

1) Величина, равная dA=Fds, называется работой, совершаемой силой F на пути ds.

Работа - физческая величина (мера), характеризующая изменение энергии в механике.

Работа, совершаемая в единицу времени, называется мощностью.

Величина, равная Т=mv²/2, называется кинетической энергией.

Если на частицу действует сила F, то кинетическая энергия не остается постоянной.

Кинетическая энергия тела при плоском движении слагается из энергии поступательного движения со скоростью центра масс системы и энергии вращения вокруг оси, проходящей через центр масс тела.

Кинетическая энергия вращающегося тела равна половине произведения момента инерции на квадрат угловой скорости при:

1. тело вращается вокруг неподвижной оси

2. тело вращается вокруг одной из главных осей инерции

3. тело - шаровой волчок.

Силой является мера взаимодействия тел друг с другом.Силы делятся на консервативные и диссипативные, а также внутренние и внешние.

Консервативной является сила, работа которой зависит только от начального и конечного положения тела в пространстве, но не зависит от пути, по которому двигается тело.

Если частица в каждой точке пространства подвержена воздействию других тел, то эта частица находится в поле сил.

Поле сил, в котором действующие силы проходят через один неподвижный центр, называется центральным полем.

Поле называется однородным, если во всех точках поля силы одинаковы по величине и направлению.

Поле, изменяющееся со временем, называется нестационарным (стационарное – наоборот).

В современной физике различают 4 типа взаимодействия:

1. гравитационное

2. электромагнитное

3. сильное или ядерное

4. слабое (ответственное за многие процессы распада элементарных частиц).

Гравитационные и электромагнитные силы – фундаментальные.

Если после прекращения воздействия тело принимает первоначальные размеры, то деформация называется упругой.

Величина, равная отношению силы к величине поверхности, на которую действует сила, называется напряжением.

Если сила направлена по нормали к поверхности, то напряжение называется нормальным.

Если сила направлена по касательной к поверхности, то напряжение называется тангенциальным.

При деформации сдвига любая прямая, перпендикулярная к слоям, повернется на некоторый угол .

В качестве характеристики деформации сдвига берется величина =tg называемая относительным сдвигом.

Относительный сдвиг пропорционален тангенциальному напряжению =(1/G).

Коэффициент G зависит только от свойств материала и называется модулем сдвига.

Трение, возникающее при относительном перемещении двух соприкасающихся тел, называется внешним.

Трение между частями одного и того же тела называется внутренним.

Трение между твердым телом и жидкой или газообразной средой, а также между слоями такой среды называется вязким.

Сухое трение разделяется на скольжение и качение.

Сила трения, возникающая при попытке вызвать скольжение, называется силой трения покоя.

Силой нормального давления называется сила, направленная по нормали к поверхности соприкосновения тел.

В системе отсчета, связанной с землей, на всякое тело массой m действует сила называемая силой тяжести.

Сила, с которой тело действует на опору или подвес, называется весом тела.

1) Консервативные силы.

Консервативной является сила, работа которой зависит только от начального и конечного положения тела в пространстве, но не зависит от пути, по которому двигается тело.

Работа таких сил на замкнутом пути равна 0.

Силы, действующие на частицу в центральном поле и в стационарном однородном, консервативны.

Поле консервативных сил является частным случаем потенциального силового поля.

Поле называется потенциальным, если его можно описать с помощью ф-ции П(x, y, z, t), градиент которой определяет силу в каждой точке поля.

Функция П называется потенциалом.

Когда потенциал не зависит явно от времени, то потенциальное поле оказывается стационарным.

1) Закон сохранения механической энергии.

Полная механическая энергия системы невзаимодействующих частиц, на которые действуют только консервативные силы, остается постоянной.

Полная механическая энергия системы тел, на которые действуют лишь консервативные, силы остается постоянной.

E=Eкин+Eпот=const

Полная энергия замкнутой системы тел, между которыми действуют только консервативные силы, остается постоянной.

1) Гармонические колебания.

В зависимости от характера воздействия на колеблющуюся систему различают свободные, вынужденные, автоколебания и параметрические колебания.

1) Сложениие взаимно перпендикулярных гармонических колебаний равных и кратных частот.

Пусть x=a*cost, а y=b*cos(t+), где  - разность фаз обоих колебаний.

В итоге получается уравнение эллипса: x²/a² + y²/b² - (2(xy)/(ab))*cos=sin².

1. При =0: y=bx/a - прямая. Результирующее движение - гармоническое колебание вдоль прямой с частотой  и амплитудой А=a²+b².

2. =: уравнение (x/a+y/b)²=0  y=-(b/a)*x - прямая.

3. =/2: x²/a²+y²/b²=1.

Если частоты взаимно перпендикулярных колебаний не одинаковы, то траектория результирующего движения - сложная кривая, называемая фигурой Лиссажу.

1) Потенциальные энергии тяготения и упругих деформаций.

1. Тяготение: П(h)=-m₁m₂/r

2. Деформация: П(x)=kx²/2.

Связь между потенциальной энергией и силой.

F_xdx=-dП.

Компонента силы по оси z равна частной производной потенциальной энергии по переменной z, взятой с обратным знаком.

1) Свободные незатухающие колебания.

Свободными или собственными колебаниями называются колебания, которые происходят в системе, предоставленной самой себе после того, как она была выведена из положения равновесия.

Примером может служить математический маятник.

Уравнение, описывающее перемещения при колебаниях: x’’+₀²x=0 или mx’’=-kx

x=A cos(₀t+φ)

Энергия и импульс гармонического осциллятора.

Осциллятор называется гармоническим, если его потенциальная энергия пропорциональна квадрату отклонения от положения равновесия, что имеет место при малых колебаниях.

Фазовая траектория.

{x=A cos(₀t+φ)

{υ= -υ_макс sin(₀t+φ)

(x/A)²= - (υ/ υ_макс) + 1

1) Свободные затухающие колебания.

Затухающие колебания описываются уравнением: x’’+2x’+₀²x=0.

2=r/m, ₀²=k/m, где r - коэффициент сопротивления, k - коэффициент квазиупругой силы.

₀² - собственная частота системы.

=₀²-^2|, x=a₀e^-tcos(t+),период затухающих колебаний: T=2/(₀²-^2|).

Скорость затухания колебаний определяется величиной , которую называют коэффициентом затухания.

Декремент и логарифмический декремент затухания.

Декрементом затухания называется отношение значений амплитуд, соответствующим моментам времени, отличающимся на период: a(t)/(a(t+T))=e^T.

Логарифмический декремент затухания: =T.

Добротность колебательной системы.

Для характеристики колебательной системы употребляется величина Q=/ называемая добротностью системы.

С ростом коэффициента затухания период увеличивается.

1)Упругие волны в стержнях. Волновое уравнение.